方差为什么能表示离散程度？

方差为什么能表示离散程度？

就比如我把需要平方的地方改成四次方，把需要开方的地方开四次方，就不能这样表示么？关于其能够表示离散程度我无异议，不过最重要的疑问在于是否只能是“平方”？

答主：非数学专业。

我理解用平方是因为平方能较好的表示数据间的差距即离散度。 贴一个比较科普的例子吧，看完后可以自己思考一下用四次方表示的情况。

----------------来源互联网，出处不详，部分节选--------------------

• 问题一：

  如果要从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛？你将设计什么方案？ S：总分高的。
  T：若有一名选手射击5次，总分30；而另一名选手射击10次，总分50分，你又会选择谁？
  S：看来还是算平均分合适。

• 问题二：

  你选择谁？
  甲：3、5、6、7、9
  乙：4、5、6、7、8
  从数据中，可以看出用平均数来选拔是不可取的。尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的。 让学生充分研讨，经过观察分析数据，比较容易达成这样的共识：甲最多9，最少3环，波动范围较大，而乙最多8，最少4，波动范围较小。 因此乙较稳定，应该选拔乙。

• 问题三：

  极大值与极小值的差能分析准确吗？
  甲：3、5、6、7、9
  丙：3、6、6、6、9
  不难发现，虽然最多比最少差距相同，但丙比甲要稳定。同时还发现：在平均数相同的情况下，单纯比较最大与最小两个数据，不能够说明一组数据的整体波动情况，每个数据都有决定权。那么又如何反映一组数据的波动情况？
  S：用各个数据减去它们的平均数，得到各个数据的偏差；再将各偏差相加。
  经过一算：不难得出甲、乙、丙的偏差和都为0。到这一步，同学们会突然想到去掉偏差的负号问题。 老师引导学生进行探索、分析，最后归纳出两种方法。

  -（1）先求各偏差的绝对值，再相加； -（2）先求各偏差的平方，再相加。

• 问题四：

  算一算下列数据的偏差和。
  甲：3、5、6、7、9
  乙：4、5、6、7、8
  丙：3、6、6、6、9
  用方法一算得：甲：8；乙：6；丙：6（又如何比较乙、丙的稳定性呢？）
  用方法二算得：甲：20；乙：10；丙：18（这种算法算得，三者的稳定性都不一样？也让学生初步体会用平方而不用绝对值的目的就是将数据间的差距拉大）

转载自 知乎 作者：张龙