用微笑曲线对比特币期权进行Delta对冲

��率增益要小得多，仅在3.1%到7.6%之间。

然而，对于其他所有期权，所有调整后的微笑曲线delta的表现都不如BS delta。然而，这并不令人意外，因为比特币价格在2020年的大部分时间里都是稳定趋势。Hull和White（2017年）提出的实际HW对冲比率和Lee（2001年）的最小方差（MV）对冲也没有改进BS delta（除了对于平值期权，MV对冲与ST对冲相同）。HW delta的一个主要缺点是它使用回归来估计其参数，这使得对于比特币这种非常容易出现收益跳跃的资产来说，独立同分布的假设不适用。任何跳跃的影响都会长时间保持在滚动窗口内，因此对HW对冲比率有很大的影响。

图2和图5显示，2021年的特点是价格更高、波动更大，总体波动率水平增加，同时出现更平坦但仍然不对称的微笑形隐含波动率曲线。在整个2021年，比特币价格在30,000美元和近70,000美元之间波动巨大，正如图2所示，30天的微笑曲线在这一时期朝末尾变得相对平坦。但是平坦的微笑曲线使得调整后的delta的关键成分，即微笑曲线的斜率，几乎是多余的。因此，在我们样本的第二年，所有微笑曲线调整的delta在所有20天和30天期权的标准BS对冲比率上都没有显著改善也就不足为奇了。然而，在2021年，非常短期的10天微笑曲线表现出一些奇怪的特征，在比特币价格的牛市阶段呈上升趋势。这就是为什么微笑曲线隐含（SM）delta对冲10天虚值认购期权相比使用BS delta表现出了非常显著的效率提升，达到了15.9%。

接下来，表3和表4以两种方式检验表2中结果的稳健性：首先通过以每日频率重新进行分析（表3），然后使用永续合约而非相同到期期货作为对冲工具。表3中的结果显示与表2中的结果类似的模式，只是整体上不太显著——但这并不让我们感到惊讶，因为现在每年只有365个而不是1095个观察值。它们证实了我们从表2中得出的结论，即在2021年没有任何调整过的微笑曲线delta能够改善BS delta。在2020年，我们也看到了相对于BS delta的相同表现模式，即ST delta值在ATM期权上的表现确实优于 BS，但现在有一些证据表明HW delta值在ATM期权和OTM看跌期权上的表现也优于 BS，货币性为 0.9——但这些方差比率统计数据都没有统计学意义。

表3. F-检验对冲结果（每日再平衡，固定到期期货）。

注：方差比率和单侧F检验的显著性水平分别针对零假设 与备择假设 。对冲是基于与期权相同到期日期的期货合约，并且每8小时进行再平衡。我们比较不同delta对冲误差的方差相对于使用BS delta对冲的方差，并将两年的样本分为两部分。我们使用了三种不同期限的期权，货币性从0.7到1.3不等，货币性 <1 时使用 OTM 看跌期权，货币性 >1 时使用 OTM 看涨期权。对于H∗，分别用，和表示10%、5%和1%的显著性水平，H+同样如此。

表4. F-检验对冲结果（8小时再平衡，永续合约）。

注：方差比率和单侧F检验的显著性水平分别针对零假设 与备择假设 。对冲是基于与期权相同到期日期的期货合约，并且每8小时进行再平衡。我们比较不同delta对冲误差的方差相对于使用BS delta对冲的方差，并将两年的样本分为两部分。我们使用了三种不同期限的期权，货币性从0.7到1.3不等，货币性 <1 时使用 OTM 看跌期权，货币性 >1 时使用 OTM 看涨期权。对于H∗，分别用，和表示10%、5%和1%的显著性水平，H+同样如此。

表4与表2完全相同，使用8小时再平衡频率进行分析，但对所有期权使用永续合约作为对冲工具。我们看到与表2完全相同的BS delta表现不佳的模式，对于使用微笑曲线隐含（即SM）delta和ATM期权的ST/MV delta对冲OTM看跌期权，效率提升非常显著。除了微笑曲线隐含（SM）delta对冲再次为对冲10天OTM看涨期权带来大量显著的效率收益外，2021年没有任何调整过的微笑曲线delta能够显著超越BS delta。对于ATM期权，使用ST/MV delta也有一些小的（<5%）效率提升，并且表4中的方差比率几乎始终小于表2中的方差比率。

这一发现使我们产生了这样的疑问：与期权相同期限的期货相比，永续合约是否提供了更好的对冲工具？为了回答这个问题，我们研究了方差比率，其中分子是永续套期保值误差的方差，分母是期货套期保值误差的方差。我们再次将样本分为两个一年期，并按delta（现在包括BS delta）和期权列出结果，表5显示了结果。在表中，方差比小于（大于）1 表示使用永续合约可以获得较好（较差）的对冲效果。F统计量的显著性取决于与同期限期货相比，永续合约提供的对冲工具是优（+）还是劣（*）。很明显，结果几乎不取决于期权的货币性，而更多地取决于期权的到期日和当时的市场状况。对于10天期期权，OTM看涨期权的比率大多小于1。对于20天和30天期权，使用永续期权进行对冲可以看到一些非常显著的改善，尤其是在2021年。

表5. 期货与永续对比的F-检验（每8小时再平衡）。

注：方差比率和单侧F检验的显著性水平分别针对零假设 与备择假设 。对冲是基于与期权相同到期日期的期货合约，并且每8小时进行再平衡。我们比较不同delta对冲误差的方差相对于使用BS delta对冲的方差，并将两年的样本分为两部分。我们使用了三种不同期限的期权，货币性从0.7到1.3不等，货币性 <1 时使用 OTM 看跌期权，货币性 >1 时使用 OTM 看涨期权。对于H∗，分别用，和表示10%、5%和1%的显著性水平，H+同样如此。

尽管结果表格提供了关于不同微笑曲线调整的delta的整体相对效率，但我们的两年样本涵盖了各种市场制度。如图5所示，比特币市场在稳定趋势、区间震荡和暴跌暴涨之间快速波动。因此，为了帮助理解哪个delta在哪种市场状态下表现最好，图8描述了方差比率的时间序列，即微笑曲线调整的delta对冲误差的方差除以BS delta对冲误差的方差。这是每8小时重新平衡一次对冲，现在每个方差只使用最近90个观察值进行计算-与HW delta参数估计使用相同的窗口。我们强调，大于1的值表示微笑曲线调整后的delta相对于BS delta的对冲性能较差，为了清晰起见，我们以对数标度显示结果，因此在这些图中，1的方差比表示为零。任何低于零的线表示该delta改进了BS delta，但高于零的线显示该delta提供的对冲效果不如BS。

图8. 滚动样本的对冲表现。(a) 10天期权结果和 (b) 30天期权结果。

方差比率显示各种永续期权对冲比率相对于BS delta的表现，使用每8小时重新平衡一次，其中对冲误差的方差是使用前90个观察值计算的。我们列出了两年样本中 (a) 10 天期和 (b) 30 天期期权的对数结果。实线0为参考值，大于0的比率表示相对于BS的表现较差，小于0的比率表示相对于BS的表现较好。 上图(a) 中描述的是m=0.8的OTM看跌期权的表现，而 (b) 中的顶部图表显示了m=0.7的OTM看跌期权的表现，中间图表显示了(a)和(b)的ATM期权的表现，下图是(a)货币性为1.2和(b)货币性为1.3的OTM看涨期权。

上面的三个图表（a）展示了10天期权的结果，下面的三个图表（b）展示了30天期权的结果。在每种情况下（a）和（b），上图都是OTM看跌期权，这些图表证实了表2的结果：几乎整个期间，ST（蓝色）和MV（绿色）的delta都表现不佳，都低于BS；根据Derman（1999）对市场分类的预期，在市场有区间限制的时期，SM delta的表现优于BS delta，但当市场有趋势时，比如2021年1月开始的第一次大牛市和同年晚些时候的第二次牛市，SM delta的表现就不如BS delta；而HW delta的表现则各有不同。每组图表的中间图表展示了对冲ATM期权的方差比率。在这种情况下，所有的微笑曲线调整的delta非常相似，因为比特币的微笑曲线在这一点上通常（但并不总是）非常平缓。每组图表的底部图表展示了对冲OTM看涨期权的不同delta的表现。同样，SM delta似乎是最好的选择，但仅适用于10天期权，与BS相比的改进程度也不及OTM看跌期权。对于30天期权，没有任何一个delta能够持续改进BS，尤其是在2021年期间。

7. 结论

之前的学术实证研究只针对股票指数期权进行了无模型微笑曲线隐含和制度依赖微笑曲线调整的delta对冲的研究。虽然结果不一，但普遍的结论是，微笑曲线调整的对冲比率只能在某些情况下改善Black-Scholes delta对于虚值看跌期权的表现。但我们已经证明了比特币隐含波动率微笑曲线与股票指数期权的表现截然不同，因此研究从业者通常青睐的微笑曲线调整对冲比率的有效性是非常有意义的。

我们鼓励使用各种调整后的delta的潜在用途，其中大多数仅依赖于对冲期权的虚实关系和到期时间的隐含波动率微笑曲线的斜率。通过使用Deribit期权的独特数据集，我们能够比较在Deribit交易所上最活跃的比特币期权的对冲效果，即行权价在当前BTC指数上下浮动30％，到期时间最长一个月的期权。我们分析了delta对冲误差的方差，其中对冲工具可以是与期权到期时间相同的期货合约，也可以是永续合约——这是一种仅在加密货币衍生品市场上独有的创新产品。在每隔八小时（与永续合约的资金支付时间相吻合）或每日重新平衡对冲，并在使用相同到期时间的期货合约或永续合约作为对冲工具的情况下，我们得出了一些非常稳健的结果。此外，我们没有像Coleman等人（2001）、Vähämaa（2004）、Alexander等人（2012）和许多其他人那样，简单地通过对比不同对冲比率的均方误差进行表格比较，而是应用了一种简单的方差比率检验，该检验提供了使用给定delta相对于BS delta的效率增益的统计意义。

通过这种方法，我们证明了对于虚值期权来说，微笑曲线隐含（粘性货币性）delta 的对冲效果明显优于标准的 Black-Scholes delta，在某些情况下效率提高了40%以上。最小方差delta也优于BS delta，但仅限于价内期权，因为它与粘性树delta相吻合。没有其他经过微笑曲线调整的delta能持续改进BS delta，甚至在2021年的大部分时间里，微笑隐含和最小方差delta的对冲表现也很差。唯一的例外是在虚值短期看涨期权的微笑隐含对冲，当隐含波动率曲线的斜率变为正时。与标准普尔500指数等股票指数相比，比特币价格并不是以稳定的方式向上波动，然后突然崩盘–其价格上涨幅度可能与价格下跌幅度一样大，因此其微笑曲线可能非常对称，甚至完全向上倾斜。我们还证明，无论期权的货币性如何，永续合约都是比与期权相同期限的期货更好的对冲工具。这一点在期限较长的期权中尤为明显，在这些期权中，永续合约与期货之间的基差最大。

我们的研究主要集中在稳健的无模型框架上，这也是许多从业者的首选。我们没有考虑使用任何参数随机和/或局部波动率模型进行对冲，原因很简单，这些过程的尺度不变性意味着delta实际上是无模型的，因此与本研究中使用的微笑隐含delta重合。由于我们在研究中引入了Lee（2001）的稳健最小方差delta，因此我们认为添加不同的随机波动率过程用于动态delta对冲，是一个对于当前加密交易行业不太相关的研究问题。

本文关注的是频繁再平衡的动态delta对冲，这可能有助于比特币期权的做市商在2021年才真正开始成熟的市场中获得竞争优势。然而，比特币市场发展得如此迅速，以至于像Jump Trading、Jane Street、XBTO和Cumberland DRW这样的大型专业交易商正在进行比特币期权交易，每天的交易量通常达到10亿美元以上。许多新的到期期权和期权合约规模也在不断推出以满足需求，例如，CME最近推出了面向零售交易商的微比特币期权。尽管如此，比特币期权的买卖价差仍然相对较大，远高于比特币期货或永续合约。因此，比特币期权市场做市的盈利能力更多地依赖于准确的动态delta对冲，而不是delta-gamma-vega对冲。如果未来比特币期权的买卖价差减少，那么研究比特币期权账本的伽马和维加对冲可能会很有趣。然而，在撰写本文时，使用期权对冲价格和波动性风险的交易成本可能会侵蚀通过降低价差可能带来的额外利润。

声明

我们对匿名审稿人表示感谢，他们的意见使论文有了很大改进。

披露声明

作者声明不存在利益冲突。

附注

1. 相比之下，从非尺度不变模型（如Dupire的局部波动率模型（1994）或Derman和Kани的粘性树模型（1994））得出的Delta理论上不等同于尺度不变的Delta。最小方差Delta也不是尺度不变的Delta，它是包括来自非零价格波动率相关性的Vega效应的总导数。

2. 例如，可以参考最近的 CAIA文章、medium上的另一篇 文章，以及 risklatte 和 stackexchange 等几个量化金融论坛。

3. 在这部分文献中，Nastasi等人（2020）校准了适用于大宗商品期权的微笑一致性模型，以捕捉微笑动态，而Malz（2000）则解释了在衡量外汇期权风险时如何将微笑调整考虑在内。

4. Deribit期权有（双）日、（双）周、（双）月和季度到期，最长可达9或12个月。其标的物是“Deribit BTC指数”（BTC），该指数是11个交易所上最新比特币价格的等权平均值，其中不包括最高价和最低价，剩下的9个价格用于计算指数。目前，这些交易所包括币安、Bitfinex、Bitstamp、Bittrex、Coinbase Pro、Gemini、Huobi Global、Itbit、Kraken、LMAX Digital和OKEx，该指数每秒更新一次。期权到期日的数量多于期货到期日，因此为了让 Deribit 同时列出比特币和美元的期权价格，他们使用与期权到期日相同的（可能是合成的）期货价格。这并不意味着（可能是合成的）期货合约就是标的物。事实上，Deribit的期权规范文件 明确指出标的物是Deribit BTC指数。对于期限较短的期权，其执行范围从 BTC 当前价格的 50%到 150%不等，对于期限超过 6 个月的期权，其执行范围最高可达 BTC 当前价格的 800%。

5. 参见 CBOE历史期权数据，了解CBOE上SPX期权的交易量。

6. 参见 比特币期权交易量和 高盛比特币期权。

7. 其次是CME（5%），然后是OKEx（2.5%），以及FTX和Bit.com，详情请参阅 The Block Options。

8. 为了计算最终收益，Deribit使用到期前30分钟的BTC指数平均值作为结算值，详见官方 Deribit的期权规范文件 。需要注意的是，Deribit比特币期权市场并不完整。指数本身不可交易，需要昂贵的复制和频繁的再平衡。由于缺乏关于结算价值精确计算的信息，因此对于交易者来说，市场并不完整。然而，对这一问题的详细讨论超出了本文的范围，我们建议参考Alexander等人（2022a）进行深入讨论。

9. 请参阅2022 年去中心化加密货币市场 排名。

10. 反向期货是以比特币的美元价格或比特币指数的价值为基础的以比特币计价的期货合约。标准期货和反向期货都使用美元价值作为标的物，但它们的区别在于结算方式：CME的标准期货的名义金额为0.1或5个比特币，并以美元支付，而反向期货的名义金额为1美元或10美元，并以比特币支付。另一方面，这种支付机制导致了不同的盈亏（PnL）计算。对于标准期货来说，需要将期货的开盘价减去收盘价，并将结果乘以名义金额，从而得到以美元计算的盈亏。反向期货（和期权）的结算程序不同，它采用开盘价的倒数减去收盘价的倒数，然后将结果乘以持仓的名义金额，从而得到以比特币计量的盈亏。这里的“开盘价”和“收盘价”是指进入和退出持仓时期货合约的美元价值。

11. 请参阅 Deribit永续资金费率，了解Deribit资金费率计算的描述。

12. 请参阅The Block或Coinglass。需要注意的是，超过八个交易所显示了异常高的交易量。然而，我们忽略了许多因洗盘交易而人为抬高交易量的交易所。

13. Coleman等人（2001）和许多其他作也主张采用这种近似方法。

14. Derman（1999）称 SS 模型是用隐含波动率树复制 BS 模型的 “穷人尝试”。

15. 除了非常深的虚值看跌期权（m=0.7）和看涨期权（m=1.3），这些期权在短期到期日类别中的交易量不足。我们只能计算75%的时间内的合成价格，因此在我们的最终结果中排除了这些期权。

16. 当然，每个行权水平的PCP值都会有所不同。由于交易通常集中在ATM期权上，很难找到一个同时有看涨和看跌期权活跃交易的ITM/OTM行权水平，因此我们使用从ATM期权反推得到的PCP值。我们插值两个相邻到期日的ATM PCP值，并在需要时使用这些值来获得合成固定期权价格。

17. 例如，因为我们在构建中始终持有永续合约，当永续合约的基差为正时，对冲者需要支付资金费用，而当基差为负时，对冲者会收到资金费用。对于对冲多头期权头寸的情况则相反。无论如何，从图7中我们可以看到永续合约的基差是变化的，有时为正，有时为负。编写对冲算法在资金费用到期前完全退出对冲头寸并不困难，但如果对冲头寸将收到资金费用，则不会退出。这种“资金费用策略”如今在对冲基金中非常常见，在没有防止此类策略性交易机器人运作的监管市场中。无论如何，我们只是建议在对冲策略中添加资金费用策略，我们不探讨潜在的利润或损失，因为这不是一项高频交易策略的研究。

18. 对于ATM期权来说，ST和MV delta是相同的，因此结果是相同的，但仅限于这种情况。

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原文来自：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14697688.2023.2181205