সম্ভাব্যতার মধ্যে ট্রেডিং দর্শন

সম্ভাব্যতার মধ্যে ট্রেডিং দর্শন

১৯৮৭ সালটি ছিল ভারতীয় প্রখ্যাত গণিতবিদ শ্রীনিভাসা রামানুজনের (১৮৮৭-১৯২০) জন্ম শতবার্ষিকী। তাঁর স্মরণে বিভিন্ন কর্মসূচি অনুষ্ঠিত হয়। সমসাময়িক বিশিষ্ট পরিসংখ্যানবিদ, ভারতীয় বংশোদ্ভূত রামানুজন (C. Radhakrishna Rao, ১৯২০) তিনটি বক্তৃতা দিতে আমন্ত্রিত হন। পরে, ভারতীয় পরিসংখ্যান ইনস্টিটিউট (Indian Statistical Institute) রামানুজনদের বক্তৃতা ভিত্তিক একটি বই প্রকাশ করে, ১৯৮৯ সালে তার জন্য পরিসংখ্যান ও সত্য প্রকাশ করে। এই বইটির দ্বিতীয় সংস্করণ ১৯৯৭ সালে প্রকাশিত হয়।

• প্রথম সংস্করণের প্রারম্ভে, লাউস উল্লেখ করেছেনঃ

  ছাত্রকালে, আমি গণিতের বিষয়ে পড়তাম, যা একটি যুক্তি যা প্রদত্ত পূর্বাভাস থেকে ফলাফল বের করে। পরে আমি পরিসংখ্যান পড়তাম, যা একটি যুক্তিসঙ্গত পদ্ধতি যা অভিজ্ঞতা থেকে শেখায়, এবং যা প্রদত্ত ফলাফল থেকে প্রমাণিত হয়। আমি বুঝতে পেরেছি যে গণিত এবং পরিসংখ্যান মানবজাতির প্রাকৃতিক জ্ঞানের উন্নতি এবং কার্যকরভাবে দৈনন্দিন বিষয়গুলি পরিচালনা করার সমস্ত প্রচেষ্টায় গুরুত্বপূর্ণ।

  আমি বিশ্বাস করিঃ

  • সর্বশেষ বিশ্লেষণে, সমস্ত জ্ঞানই ইতিহাস।

  • বিমূর্ত অর্থে, সমস্ত বিজ্ঞানই গণিত।

  • আর যুক্তির জগতে সব বিচারই পরিসংখ্যানগত।

    এই প্রবন্ধটি গণিত এবং পরিসংখ্যানের গুরুত্ব এবং তাদের নিজ নিজ প্রাসঙ্গিকতা সম্পর্কে ব্যাপকভাবে ব্যাখ্যা করে।

    দীর্ঘকাল ধরে, উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতের সমস্ত বিষয়গুলি সম্ভাব্যতাকে অন্তর্ভুক্ত করেছে, যার মধ্যে ক্লাসিক্যাল সম্ভাব্যতা (অর্থাৎ একই সম্ভাব্যতার সাথে সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা করার জন্য) একটি উল্লেখযোগ্য অনুপাত। সুতরাং, সম্ভাবনাগুলি প্রায়শই অ্যারে সমন্বয়গুলির সাথে সংযুক্ত থাকে, যখন অ্যারে সমন্বয়গুলি আরও জটিল গণিতের মজার বিষয়। যদিও শিক্ষার্থীরা কখনও কখনও জটিল বিষয়গুলির দ্বারা বিভ্রান্ত হয়, তবে এটি কেবল দক্ষতার দিক এবং জ্ঞানীয় দিক থেকে প্রায়শই খুব বেশি বিভ্রান্ত হয় না। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে, পরিসংখ্যানের গুরুত্বের কারণে, উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতে ধীরে ধীরে পরিসংখ্যানের বিষয়গুলি যুক্ত করা হয়েছে। এটি 95 সালে চালু হওয়া উচ্চ মাধ্যমিকের পাঠ্যক্রমের মধ্যে, নতুন ক্রমবর্ধমান বিশ্বাসযোগ্যতা অঞ্চলগুলি সহজেই আত্মবিশ্বাসের জল সরবরাহ করে, তবে এটি একটি ছোট সমস্যা নিয়ে আসে।

    পোল্যান্ডে জন্মগ্রহণকারী এবং ১৯৩৮ সালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে অভিবাসনপ্রাপ্ত আরেকজন বিশিষ্ট পরিসংখ্যানবিদ জেজি নাইম্যান (Jerzy Neyman, ১৮৯৪-১৯৮১; তিনি আমার পূর্বপুরুষ, অর্থাৎ আমার নির্দেশক অধ্যাপকের নির্দেশক অধ্যাপক) ১৯৩৪ সালে প্রথম বক্তৃতা দিয়েছিলেন। তাঁর বক্তৃতার শেষে, সম্মেলনের সভাপতি আর্থার লায়ন বোলি (Arthur Lyon Bowley, ১৮৬৯-১৯৫৭) বক্তৃতায় বলেছিলেন যে, আমি নিশ্চিত নই যে এই বিশ্বাসটি একটি বিশ্বাসের কৌতুক নয়।

    বছর পেরিয়ে গেছে, সত্তর বছরেরও বেশি সময় পেরিয়ে গেছে, এবং আজ পরিসংখ্যানবিদরা অবশ্যই বিশ্বাস ব্যবধানের অর্থ পুরোপুরি বুঝতে পেরেছেন। তবে বিশ্ববিদ্যালয়ে, সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান, পরিসংখ্যান এবং গাণিতিক পরিসংখ্যানের মতো পাঠ্যপুস্তকগুলিতে, বিশ্বাস ব্যবধান সাধারণত দ্বিতীয়ার্ধের বিষয়গুলির মধ্যে থাকে। অর্থাৎ, বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা সংশ্লিষ্ট কোর্সে বিশ্বাস ব্যবস্থার সাথে যোগাযোগ শুরু করার সময়, মোটামুটি পর্যাপ্ত সম্ভাব্যতা পরিসংখ্যান ভিত্তি রয়েছে। এখন এই বিষয়টি গণিতবিদদের পক্ষে পছন্দসই, তবে 95 তম প্রোগ্রামের পরে, 98 তম প্রোগ্রামটি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে (99 তম পাঠ্যক্রমের সাথে একত্রিত হওয়ার পরে এটি প্রতিবছর বাস্তবায়িত হয়) । তবে পর্যাপ্ত প্রস্তুতির অভাবের কারণে, উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা এটি গ্রহণ করা সহজ নয়, বরং প্রত্যাশিত।

    কেন এই বিষয়টি উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতের পাঠ্যবস্তুতে প্রবেশ করতে পারে, যদিও এটি কিছুটা গভীর বিষয়? মূলত এটির গুরুত্বের কারণে অনুমান করা হচ্ছে। এটি কেবলমাত্র মিডিয়াতে প্রকাশিত বিভিন্ন জরিপের ফলাফলের বিশ্বাসের স্তর এবং আত্মবিশ্বাসের স্তরগুলি দেখে বোঝা যায়।

    কিছু পরিসংখ্যান পাঠ্যপুস্তকে, বিশ্বাসের ব্যবধান একটি অধ্যায়ের একটি অংশ দখল করে। বিভিন্ন পরামিতি, বিভিন্ন বন্টন, বিভিন্ন বিশ্বাসের ব্যবধান থাকতে পারে; এমনকি একই পরামিতি এবং একই বন্টন, বিভিন্ন পদ্ধতিতে, বিভিন্ন বিশ্বাসের ব্যবধান পেতে পারেন। কখনও কখনও, অভাবের শর্ত, বা জটিল গণনা ইত্যাদির কারণে, কেবল পিছনে ফিরে যান এবং কাছাকাছি বিশ্বাসের ব্যবধান পেতে পারেন। অবশ্যই, কিছু শর্ত প্রয়োজন, এবং কিছু থিওরি ব্যবহার করুন। বিশ্বাসের ব্যবধানও তুলনামূলকভাবে ভাল হতে পারে। পরিসংখ্যানের বিভিন্ন যুক্তির পদ্ধতি রয়েছে, তবে এটি এলোমেলো ঘটনা পরিচালনা করে, এটি স্বর্গের উপর নির্ভর করে, কার সাথে কে বিতর্কিত হয় তা কম নির্ভর করে। তবে তুলনামূলকভাবে, একটি মূল্যায়নও করা উচিত। এটি ঠিক যেমন একটি ঘড়ি যা থামে না, প্রতিদিন ধীরে ধীরে এবং 1 মিনিট, তবে কীভাবে সঠিকভাবে বিচার করা যায়?

    জুমার স্বাভাবিক বন্টন, বিশ্বাসের পরিসীমা এবং আত্মবিশ্বাসের মাত্রা ব্যাখ্যা করে জুমার বলেছেনঃ

    উচ্চ মাধ্যমিক স্তরের পরিসংখ্যানগত যুক্তি শুধুমাত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মানের অনুমান করে, যার পিছনে তত্ত্বটি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতার তত্ত্ব। কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতার তত্ত্বটি পরিচয় করিয়ে দেওয়ার জন্য, একটি সাধারণ বন্টন প্রবর্তন করা প্রয়োজন। এই অংশটি কেবলমাত্র শিক্ষার্থীদের কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতার তত্ত্ব সম্পর্কে একটি কার্যকরী উপায়ে অন্তর্দৃষ্টি তৈরি করার জন্য একটি সাধারণ উপস্থাপনা। একটি নির্দিষ্ট আস্থা স্তরের জন্য, একটি আস্থা ব্যবস্থার সূত্র দেওয়া হয়, তারপরে শিক্ষার্থীদের একটি র্যান্ডম টেবিলের অনুকরণ বা পরীক্ষার মাধ্যমে ধাতু প্লেটটি n বার প্রেরণ করা হয় যার ধনাত্মক সম্ভাব্যতা p হয়, আস্থা ব্যবস্থার সূত্রটি প্রবেশ করে, যা আস্থা ব্যবস্থার অর্থ ব্যাখ্যা করে; এবং এইভাবে ব্যাখ্যা করে, কেন বেশিরভাগ শিক্ষার্থী p এর সাথে প্রাপ্ত আস্থা ব্যবস্থার অন্তর্ভুক্ত হবে?

    এই অনুচ্ছেদটি ব্যাখ্যা করার সাথে সাথে বেশ কয়েকটি সমস্যা রয়েছে, তবে এটিও বোঝা যায় না। যদি প্রথম বাক্যের পিছনে তত্ত্বটি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্ব হয়, তবে এটি কোথা থেকে জন্মগ্রহণ করে তা জানা যায় না? এটি পরিসংখ্যানবিজ্ঞানের দৃষ্টিভঙ্গি নয়। পাঠ্যক্রমের ব্যাখ্যা অস্পষ্ট হওয়ার কারণে, যারা গুরুত্ব সহকারে পড়ান, যারা শিক্ষার্থীদের বোঝাতে চান তাদের উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিত শিক্ষকরা কেবল এর নীতিগুলি গভীরভাবে অধ্যয়ন করতে হবে, তাদের নিজস্ব ব্যাখ্যা দিতে হবে। কেউ কেউ এমনকি এই ধারণাগুলি পরিষ্কার করতে সক্ষম বলে মনে করে এমন নিবন্ধও উপস্থাপন করেছেন। কেবল এটির ব্যাখ্যা, প্রায়শই এখনও দুর্বল হয়।

    কেন বিশ্বাস ব্যবধানের ধারণাগুলি প্রায়শই ঝাঁকুনির মতো অব্যবহৃত হয়ে পড়ে? মূল অনুসন্ধান, বা অনেক শিক্ষার্থী, সম্ভাব্যতার অর্থটি সঠিকভাবে বুঝতে ব্যর্থ হয়। এটি এই নিবন্ধটি লেখার উদ্দেশ্য।

• সম্ভাব্যতার অর্থ

  একটি বাক্সে ছয়টি দিক থাকে, একটি বাক্সে, কেন এমনকি সংখ্যার সম্ভাবনা পাওয়া যায়? ডকগুলি দেখতে আলাদা নয়, তবে প্রতিটি দিকের সম্ভাবনা সমান, অর্থাৎ 1/6। যদিও এটি একটি ক্লাসিকাল জোকস, তবে এই সম্ভাবনার অর্থ এখনও পাওয়া যায়। ব্যবহারের পরিসীমা যেমন ড্র, জ্যাকপট, জুয়া এবং লটারি অন্তর্ভুক্ত। আবার যদি কোনও চাকরির বিজ্ঞপ্তিতে কোনও ব্যক্তির নাম নিবন্ধিত হয়, তবে বিশেষ তথ্য না থাকলে, সবাই একই সম্ভাবনা গ্রহণ করে, যেমন 2/85।

  ২০০৯ সালের জুলাই-আগস্টের শেষের দিকে, বিশ্ব গল্ফার টাইগার উডস মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের মিশিগানে অনুষ্ঠিত বাইক ওপেন (Buick Open) তে অংশগ্রহণ করেন। প্রথম রাউন্ডের শেষের দিকে, নেতার পিছনে ৮ পয়েন্ট পর্যন্ত, 95 তম স্থানে রয়েছেন। এটি তার ক্যারিয়ারের প্রথম দুটি টানা টুর্নামেন্টের প্রথমটি হ্রাস করতে পারে। প্রথমটি ছিল ব্রিটিশ ওপেন (দ্য ওপেন চ্যাম্পিয়নশিপ, যা ব্রিটিশ ওপেন নামে পরিচিত) । তবে টাইগাররা সর্বোপরি ছোট করতে পারেনি এবং প্রথম তিনটি রাউন্ড শেষ করার পরে উডস শীর্ষে উঠেছিল।

  这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。

  একজন যুবক একটি মেয়েকে দেখে অবাক হয় এবং মনে করে যে এটি তার বর্তমান নববধূ। মূল্যায়নের পরে আত্মবিশ্বাস পূর্ণ, নিজেকে অনুসরণ করার সম্ভাবনা ৮০%। অন্যরাও ভাল দেখায় না, তাকে জিজ্ঞাসা করে যে ৮০% এই সংখ্যাটি কীভাবে এসেছে?

  স্বতন্ত্র সম্ভাব্যতা অবশ্যই কিছু বস্তুনিষ্ঠ তথ্যের উপর ভিত্তি করেও হতে পারে; তবে একই তথ্যের মুখোমুখি হলেও, বিভিন্ন ব্যক্তির কাছে বিভিন্ন সিদ্ধান্ত থাকতে পারে এবং তাই বিভিন্ন স্বতন্ত্র সম্ভাব্যতা দেওয়া যেতে পারে।

  উদাহরণস্বরূপ, একটি মেয়েকে অনুসরণ করার জন্য, প্রায় কম মেয়েই আপনাকে পরীক্ষা করতে বলবে, বারবার তাড়া করবে, এবং তারপরে কয়েকবার সফল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করবে। এই ধরণের পুনরাবৃত্তিযোগ্য পর্যবেক্ষণযোগ্য ঘটনাগুলির জন্য, সম্ভাবনা সম্পর্কে কথা বলার সময়, বিষয়গত সম্ভাবনা প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। প্রতিদিন সকালে বাইরে বেরিয়ে যাওয়ার সময়, আমরা আকাশের দিকে তাকিয়ে দেখতে অভ্যস্ত নই, আজ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত? কেবলমাত্র প্রায়শই বাবা-মা মনে করেন যে সম্ভাবনা বেশি হবে, এই বন্ডটি, এবং শিশুরা মনে করে যে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কম হবে।

  যদিও এটা বলা হয় যে, বিষয়বস্তু বিষয়বস্তু, তবে এটি যুক্তিসঙ্গত হওয়া উচিত; উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষাটি উপযুক্ত এবং অসম্পূর্ণ; যদি অনুমান করা হয় যে, যোগ্যতার সম্ভাবনা 0.9 হয়, তবে এটি ঠিক আছে, তবে মানুষ সবসময় কিছুটা আত্মবিশ্বাসী, তবে যদি একই সাথে 0.8 এর সম্ভাবনা থাকে তবে এটি অসম্পূর্ণ হবে। বিভিন্ন সম্ভাবনার সম্ভাবনা যোগ করা হয় 1। এমনকি বিষয়বস্তু, একচেটিয়াভাবে বিতর্ক করা যেতে পারে, তবুও এটি নিজেকে বলতে হবে। বলা যায় না যে, বিষয়বস্তু হওয়ায়, এটি ঘটনার সম্ভাব্যতা নির্বিচারে নির্ধারণ করতে পারে। অতএব, সম্ভাবনার যে কোনও ধরণের ব্যাখ্যা, স্বাভাবিকভাবেই বলা হয়, বা কিছু সাধারণ নিয়ম পূরণ করতে হবে। এটি সবার পক্ষে বোধগম্য।

  উপরের তিনটি সম্ভাব্যতার সাধারণ ব্যাখ্যা, যা প্রায়শই ঘটনার সম্ভাবনাকে মূল্যায়ন করে এমন কয়েকটি চিন্তাভাবনা। যদিও বিভিন্ন পরিস্থিতির জন্য, তবে প্রায়শই ইন্টারঅ্যাক্টিভ হয়। আমরা সকলেই হত্যাকারীকে হত্যা করার উদাহরণ শুনেছি। একজন তার পিতামাতার সাথে একই নামের হত্যাকারী, একজন আন্তরিক ব্যক্তি বলেছিলেন যে তার মা হত্যাকারীকে হত্যা করেছিলেন। মা বলেছিলেন যে ময়ূর উগুয়ে হত্যাকারীকে হত্যা করেননি, তবে কাপড় তৈরি করতে থাকেন। কিছুক্ষণ পরে, অন্য কেউ বলেছিলেন যে হত্যাকারীকে হত্যা করেছিলেন। মা এখনও তার কাপড় তৈরি করতে থাকেন, এত ভাল ছেলে কীভাবে হত্যা করতে পারে? তবে যখন তৃতীয় ব্যক্তি এসেছিল তখন হত্যাকারীকে হত্যা করেছিলেন, তার মা ভয় পেয়েছিলেন এবং তার কাপড় ভাঁজ করার যন্ত্রটি ফেলে দিয়েছিলেন।

  অবশ্যই, আপনি অবিশ্বাস করতে পারেন, যে কোনও ফলাফলের ফলাফল যাই হোক না কেন, সবাই মনে করে যে এটি কেবলমাত্র একটি ক্ষণস্থায়ী পরিস্থিতি, দৃ firm়ভাবে বিশ্বাস করে যে এটি একটি ন্যায্য ব্রোঞ্জের ফলক। এটি অসম্ভব নয়, যেমন একটি মা থাকতে পারে, এমনকি আরও অনেক লোকের সাক্ষ্য, যতক্ষণ না সে নিজের চোখে দেখে না, সে তার ছেলেকে হত্যা করবে তা বিশ্বাস করবে না। জেনে রাখুন যে এলোমেলো ঘটনা, ঘটনাগুলি যতক্ষণ পর্যন্ত সম্ভাব্যতা ইতিবাচক হয়, সম্ভাবনাগুলি যতই ছোট হোক না কেন, সবই ঘটতে পারে। সর্বোপরি, ব্রোঞ্জের ফলকের ইতিবাচক উপস্থিতির সম্ভাবনা কী, কেবলমাত্র ঈশ্বরই জানেন। তবে সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের সাথে যুক্ত, আমাদের সিদ্ধান্ত গ্রহণে সহায়তা করার জন্য আরও বেশি সম্ভব। অনুমানিত ফলাফলগুলি সময়ের সাথে অগ্রসর হয়, পরিবর্তন করা যায় না। ঠিক যেমন আবহাওয়ার পরিস্থিতিতে একটি ঘূর্ণিঝড়ের সাথে কতটা বৃষ্টিপাত আসবে তা ঘনিষ্ঠভাবে বিবেচনা করা প্রয়োজন, এমনকি নতুন দিকগুলি পরিচালনা করতে হবে, এবং পরেও এটি সংশোধন করা উচিত। এলোমেলো চিন্তাভাবনা, যেমনটি আমরা আগে উল্লেখ করেছি

  যদিও উপরের তিনটি সম্ভাব্যতার ব্যাখ্যা বাস্তব জীবনে দেখা যায়, তবে গণিতবিদরা অবশ্যই এখানেই থামেন না; তারা বিমূর্তকরণ এবং সাধারণীকরণ পছন্দ করে; সমীকরণের মতো সমাধানকারীরা একটি নির্দিষ্ট ধরণের সমীকরণের সমাধানের জন্য সূত্রগুলি সন্ধান করে, কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে সমাধানের জন্য সন্তুষ্ট না হয়। আবার, যখন বাস্তব সংখ্যা সিস্টেমটি সম্পূর্ণরূপে বোঝা যায়, তখন বাস্তব সংখ্যা সিস্টেমটিকে একটি নীতিগত পদ্ধতিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অর্থাৎ, একটি সেট দেওয়া হয়, সংখ্যাগুলির সেট বলা হয়, যার উপাদানগুলির জন্য দ্বৈত সংজ্ঞায়িত হয়, এবং 10 টি অ্যাক্সিওম দেওয়া হয় যা অনুসরণ করে। আপনি জানতে চান যে দ্বৈত সংযোজন একটি উপাদান, একটি গুণক?

  সম্ভাব্যতা প্রবর্তন করার জন্য একটি পদ্ধতিগত পদ্ধতি কি? প্রথমে একটি সেট আছে, যা একটি নমুনা স্পেস নামে পরিচিত, যা একটি পর্যবেক্ষণের সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সেট। এই পর্যবেক্ষণটি সত্য হতে পারে বা কেবল ভার্চুয়াল হতে পারে। নমুনা স্পেসের কিছু উপসেট, যা আমাদের আগ্রহী, যা একটি ইভেন্ট। সমস্ত ইভেন্টও একটি সেট গঠন করে। অবশেষে একটি সম্ভাব্যতা ফাংশন নির্ধারণ করুন, অর্থাৎ প্রতিটি ইভেন্টের জন্য, 0,1-এর মধ্যে একটি মান দিন, এই ইভেন্টের সম্ভাব্যতার জন্য। এই স্পেস ইভেন্টের সেট, এবং সম্ভাব্যতা ফাংশন, তিনটিই সম্ভাব্যতা স্পেস গঠন করে।

  এটিতে নমুনা স্পেসের জন্য খুব বেশি চাহিদা নেই, তবে এটি ফাঁকা সেট হতে পারে না; এবং ইভেন্টের সেটটি কয়েকটি শর্ত পূরণ করতে হবে। সহজভাবে বলতে গেলে, আপনার আগ্রহের ঘটনা খুব কম হতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ, আপনি কেবল একটি ইভেন্ট এ ঘটতে আগ্রহী হতে পারবেন না, তবে এ ঘটতে আগ্রহী হবেন না। সুতরাং ইভেন্টের সেটটি যথেষ্ট বড় হতে হবে, অন্তত যা কিছু হওয়া উচিত তা অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। এটি বিয়ের আগে অতিথি তালিকা তৈরির মতো। খুব কম লোককে আমন্ত্রণ জানানো যেতে পারে, কেবলমাত্র উভয় পক্ষের বাবা-মা। এবং একবার কোনও ব্যক্তির তালিকায় যুক্ত হয়ে গেলে, তার সাথে একইভাবে ঘনিষ্ঠ ব্যক্তিরাও আমন্ত্রণ জানানো হবে। সুতরাং প্রতিটি তালিকায় 1 জনের সাথে, কেবলমাত্র 1 জন বাড়বে না, তবে এর সাথে কয়েকজন বাড়বে। এবং সম্ভাবনা ফাংশন, যেহেতু সম্ভাবনার নাম, অবশ্যই কিছু মৌলিক শর্ত পূরণ করতে হবে, যা আমরা সম্ভাবনার বিষয়ে অতীতে জানতাম।

  সম্ভাব্যতা স্পেসের কাঠামোর অধীনে, সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা করার যে কোনও পদ্ধতি গ্রহণ করে, যে কেউ তাদের নিজস্বভাবে প্রকাশ করতে পারে এবং তার সম্ভাব্যতার অর্থ খুঁজে পেতে পারে। কিন্তু অবমুক্তকরণের পরে, এটি ব্রোঞ্জের বোর্ড, জ্যাকস, এবং পোকার কার্ড ইত্যাদির মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, এটি আরও সাধারণ সমস্যা নিয়ে আলোচনা করতে পারে এবং যথেষ্ট তত্ত্ব রয়েছে যা খনন করা যায়।

  গণিতের অন্যান্য ক্ষেত্রের তুলনায় সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিকাশ বিলম্বিত হয়; কিন্তু আনুষ্ঠানিকীকরণের পর, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব দ্রুত গভীর এবং সুদূরপ্রসারী হয়ে উঠেছে এবং গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র হয়ে উঠেছে। এটি বিংশ শতাব্দীর গুরুত্বপূর্ণ সম্ভাব্যতাবিদ, রাশিয়ার কোমোগলোভের (Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987) 1933 সালে প্রকাশিত তার 100 পৃষ্ঠারও কম বইয়ে সম্ভাব্যতার ভিত্তি স্থাপন করার জন্য ধন্যবাদ। এই বইটিতে তিনি বলেছেনঃ

  গাণিতিক শাখা হিসেবে সম্ভাব্যতা তত্ত্বকে অ্যাক্সিমাম থেকে বিকাশ করা যেতে পারে এবং হওয়া উচিত, যেমন জ্যামিতি ও বীজগণিত।

• কোথায় সম্ভাবনার মহাবিশ্ব?

  ফ্রান্সের নিউটনের নামে পরিচিত ল্যাপ্লাস (Pierre-Simon, Marquis de Laplace, 1749-1827) বলেছেনঃ

  গেমস অব চ্যান্সের বিবেচনায় উদ্ভূত এই বিজ্ঞানটি মানব জ্ঞানের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বস্তু হয়ে উঠতে হবে। জীবনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নগুলি, বেশিরভাগ অংশের জন্য, সত্যিই কেবলমাত্র সম্ভাবনার সমস্যা।

  সম্ভাবনাগুলি এলোমেলো ঘটনাগুলির জন্য; কিন্তু পৃথিবীতে সবকিছুই এলোমেলো হয় না, আমরা বলেছি যে অনিবার্যতাও রয়েছে; অনুমান করুন যে এক বা দুটি দিকে নিক্ষেপ করা সমস্তই মানুষের মাথার ব্রোঞ্জের প্লেট, এবং পর্যবেক্ষণটি সেই দিকটি পাবে। আপনি জানেন যে এটি একটি অনিবার্য ঘটনা, তবে এটি এখনও বলা যেতে পারে যে একটি মানুষের মাথার সম্ভাবনা 1 এবং অন্যান্য পরিস্থিতির সম্ভাবনা 0; অর্থাৎ এটিকে একটি বিপর্যয়যুক্ত প্যাচার্ড এলোমেলো ঘটনা হিসাবে বিবেচনা করুন।

  কিছু পদার্থবিজ্ঞানীরা বিশ্বাস করেন যে, তামার প্লেটটি নিক্ষেপের গতি, কোণ, স্থলটির স্থিতিস্থাপকতা, তামার প্লেটের আকৃতি এবং ওজন ইত্যাদির দ্বারা গণনা করা যেতে পারে। এটি নিক্ষেপ করার পরে, তামার প্লেটটি একপাশের দিকে থাকবে, তাই এটি এলোমেলো নয়। লটারির ক্ষেত্রে, যদি শুরুর শর্তগুলি নির্ণয় করা যায় তবে একটি বল খোলা হবে, এবং এটিও গণনা করা যেতে পারে, তাই এটি এলোমেলো নয়। তবে আপনি প্রায়ই জানেন যে তামার প্রভাব (butterfly effect) । পরিমাপটি খুব সম্ভবত ভুল হতে পারে, এবং কখনও কখনও কিছু ক্ষুদ্র পার্থক্য, তবে প্রভাবগুলি খুব বড় হতে পারে। সুতরাং আমরা বিশ্বাস করি যে এগুলি এলোমেলো ঘটনা।

  কিছু ধর্মতত্ত্ববিদ মনে করতে পারেন যে সবকিছুই আসলে ঈশ্বরের ইচ্ছায় চলছে, তবে আমরা জানি না। আমি নিশ্চিত নই। আপনি কি প্রিন্স জেসন এবং আর্গোনাটস দেখেছেন? এটি গ্রীক পৌরাণিক কাহিনীভিত্তিক একটি চলচ্চিত্র, যা দ্বাদশ রাশিচক্রের মেষ রাশির সাথে সম্পর্কিত। এটি 1963 সালে মুক্তি পেয়েছিল। আমি ছোটবেলায় দেখেছি, তবে এখনও মুগ্ধ হয়েছি। প্রিন্স জেসনের বিভিন্ন আকস্মিক বিপর্যয় এবং বারবার বীরত্বপূর্ণ হত্যাকাণ্ডের সাথে দেখা হয়েছে, যা পরবর্তীতে হেরার সাথে দেবদূত জিউসের সাথে লড়াই করে, পৃথকভাবে হস্তক্ষেপ করে এবং সহায়তা করে।

  প্রযুক্তিগত অগ্রগতির সাথে সাথে, মানুষ ধীরে ধীরে অনেক ঘটনাকে বুঝতে শুরু করে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে মহিলারা গর্ভবতী হয়ে গেলে, শিশুর লিঙ্গ নির্ধারিত হয়। কিন্তু একটি বড় পেটযুক্ত মহিলার জন্য, ভাল জিনিসগুলি অজানা কারণে, তারা এখনও তাদের ছেলেদের জন্মের সম্ভাবনা সম্পর্কে অনুমান করতে পারে। পরীক্ষার আগের দিন, শিক্ষার্থীরা সযত্নে প্রস্তুতি নিচ্ছে, তবে তাদের মস্তিষ্ককে অনুমান করে, তাদের মনে হয় যে তারা খুব সম্ভাব্য বিষয়গুলি নিয়ে এসেছে। শিক্ষক জানতে পেরেছেন এবং খুব হাসছে। ক্লাসের মধ্যে বারবার ইঙ্গিত দেওয়া হয়েছে যে তারা নিজেরাই, প্রায়ই নির্ধারিত হবে, আর কী অনুমান করা উচিত? আসলে পরীক্ষার প্রয়োজন ছিল।

  কিন্তু যে প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়েছে তার শিক্ষককে, সেই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা বিচার করার কোন মানে হয় না; কারণ তার জন্য, প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা ১ বা ০, অন্য কোন মান নেই। একইভাবে, যে ব্যক্তি পিছনে ফল দেখবে, ফলটি মাকড়সা বা আপেল হবে, তার সম্ভাবনা ১ বা ০। এলোমেলো এবং এলোমেলো ভিন্ন। আমরা বলেছি যে, সম্ভাবনার যুক্তি, এটি যথেষ্ট নমনীয়, যাতে আপনি ঝাঁকুনি দিতে পারেন, তবে যুক্তিসঙ্গত হতে পারেন, অন্যথায় এটি উঁচু করা হয়। যদি আপনি স্পষ্টভাবে জানেন যে এটি একটি আপেল, এটি একটি মাকড়সা হওয়ার সম্ভাবনা ০.৫; বা ডাক্তাররা সমস্ত তথ্য ধরে রেখেছেন, এটি জন্মগ্রহণের সম্ভাবনা ০.৫, তবে আমরা কখনই সম্ভাবনা সম্পর্কে কথা বলি না।

• সম্ভাব্যতার ব্যাখ্যা

  ২ নং ধাপে আমরা সম্ভাব্যতা স্পেসের মাধ্যমে সম্ভাব্যতা প্রবর্তন করেছি; যেহেতু নমুনা স্পেসটি ভার্চুয়াল হতে পারে, তাই ঘটনাটিও ভার্চুয়াল; কিন্তু যদি সত্যিই একটি পর্যবেক্ষণ থাকে, যেমন একটি চার-পার্শ্বযুক্ত, চার-পার্শ্বযুক্ত, পৃথকভাবে চিহ্নিত পয়েন্টগুলি 1, 2, 3, 4 এবং ফলাফলের সংখ্যাগুলি পর্যবেক্ষণ করা হয়; তবে নমুনা স্পেসটি 1, 2, 3, 4 এর সমষ্টি; ইভেন্টগুলির সেটটি বৃহত্তম, অর্থাৎ নমুনা স্পেসের সমস্ত উপসেট সমন্বিত সেটটি গ্রহণ করা যায়; যদি আপনি সাজানো সমন্বয়গুলি শিখে থাকেন, তবে আপনি জানেন যে বৃহত্তম ইভেন্টের সেটে মোট 16 টি (২ এর চারটি) উপাদান রয়েছে; তবে সম্ভাব্যতা ফাংশনে, অনুমান করুন যে 1, 2, 3, 4 পয়েন্টগুলির সম্ভাব্যতা ঘটেছে, যথাক্রমে 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, এবং 1 যোগ করা হয়েছে; যেহেতু কোনও ইভেন্টের সম্ভাব্যতা, এই ইভেন্টটি 1, 2, 3, 4 এর মধ্যে বেশ কয়েকটি ঘটনা ধারণ করে, তবে এই ধরণের

  এমনকি আপনি যদি সম্ভাব্যতা স্পেসের ধারণাটি গ্রহণ করে থাকেন, যেহেতু গণিতবিদরা প্রায়শই কিছু পছন্দসই সংজ্ঞা দেয়, আপনি এখনও জানতে আগ্রহী হতে পারেন যে পয়েন্ট নম্বর 1 এর সম্ভাব্যতা 0.1 বলতে কী বোঝায়? প্রতি 10 বার, পয়েন্ট নম্বর 1 কি একবার আসে? না না! একটি গণিত স্নাতক, যিনি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব নিয়ে পড়েন, আপনাকে দয়া করে ব্যাখ্যা করবেনঃ

  假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。

  আপনি বাস্তববাদী, সম্ভবত এই ব্যাখ্যাটি খুব বাস্তববাদী মনে করবেন না. প্রথমে প্রশ্ন করুন, অনন্তের কাছাকাছি কী? আপনি কি অবিরাম ছুঁড়ে চলেছেন, থামবেন না, সূর্যোদয়, বসন্ত এবং শরৎ আসে, ছুঁড়তে থাকুন, এমনকি যদি আপনি সফল হন, তবে অনন্তটি এখনও পৌঁছায়নি, তবে ছুঁড়তে থাকুন। যে গণিত বিভাগের স্নাতক, যখন আপনি জিজ্ঞাসা করেন, অনন্ত, মাছের মতো পানির মতো, এটি তার গণিত বিভাগের চার বছরের শীতল উইন্ডোতে শিখেছেন এমন কয়েকটি একক কৌশলগুলির মধ্যে একটি। আপনাকে অবশ্যই অনন্তের কথাটি থামাতে হবে, কারণ এমনকি আপনিও অনন্তের সাথে ছুঁড়তে থাকেন, আপনিও কি মনে করেন যে আপনি সফল হবেন? আপনি কীভাবে সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা করতে পারেন, যা অনন্তের সাথেও জড়িত? তবে আপনি এত তাড়াতাড়ি কথা বলতে পারেন না যে আমি অ-সম্ভাব্যতার মান বুঝতে পারি, তবে আপনি কীভাবে আমাকে সম্ভাব্যতার ধারণাটি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

  সম্ভাব্যতার মান ব্যাখ্যা করার জন্য, সম্ভাব্যতা এবং অসীম, স্তর পর স্তর ঘূর্ণন করা হবে। এটি একটি পয়েন্ট নামকরণ সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করার মতো, ফলাফলটি অনলাইনে পড়ে যাবে, ধাপে ধাপে কঠিন। শেষ পর্যন্ত, এটি বলা সহজ, পয়েন্টগুলি অনির্ধারিত নাম। তবে যাইহোক, আপনার বোঝা উচিত যে উপরের চারটি দিকের জন্য, কেবলমাত্র একবার ছুঁড়ে ফেলা, পয়েন্ট 1 এর সম্ভাবনা 0.1 দেখাবে, যা 0.1 এর অর্থ। সম্ভাবনা কেবল কয়েকবার ছুঁড়ে ফেলার ফলাফল নয়। সম্ভাব্যতার বড় নমুনার (n খুব বড়) অধীনে, শক্তি প্রদর্শিত হয়। সম্ভাব্যতার মান, যেহেতু এটি একটি গ্রহণযোগ্য যৌক্তিকতার সাথে ব্যাখ্যা করা যায় না।

  আগে যে গণিত বিভাগের স্নাতকের ব্যাখ্যাটি ছিল, তখন এটি কার্যকর হতে পারে; এটি হল বড় সংখ্যার আইনগুলির একটি সহজ সংস্করণ; গণিতের অর্থ হ'ল, ঘটনার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি, ঘটনার সম্ভাব্যতার সাথে মিলিত হওয়ার সম্ভাবনা। জেনে রাখা উচিত যে এলোমেলো বিশ্বে, এখনও কিছু আইন অনুসরণ করা উচিত, এবং সংখ্যাসূচক আইন তাদের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ। অবশ্যই আমরা উল্লেখ করেছি যে বাস্তবে ঘটনাগুলি অসীম সংখ্যক বার পর্যবেক্ষণ করা যায় না। এটি কি বলা যেতে পারে যে, ঘটনার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি, যখন পর্যবেক্ষণের সংখ্যা যথেষ্ট বড় হয়, তখন ঘটনার সম্ভাব্যতার কাছাকাছি হওয়া উচিত?

  ঘটনাটি ঘটতে পারে যতক্ষণ পর্যন্ত এর সম্ভাবনা ইতিবাচক থাকে; সুতরাং, পর্যবেক্ষণের সংখ্যা যত বড়ই হোক না কেন, খুব বিচ্যুতি (যেমন, 1,000,000 বার পর্যবেক্ষণ করা হলে, 1 টি পয়েন্টের সংখ্যা 0 বা 1,000,000 বার ঘটে) ঘটতে পারে তা রোধ করা যায় না। তবে, এই সময়ে, পরিসংখ্যানবিদরা লাফিয়ে উঠেছেন এবং এটি পরীক্ষা করতে পারেন যে পয়েন্ট 1 এর সম্ভাবনা সত্যই 0.1 কিনা, যা পরিসংখ্যানের অনুমানগুলির মধ্যে পড়ে। সহজভাবে বলতে গেলে, একটি অনুমানের অধীনে, এই ফলাফলটি পর্যবেক্ষণ করা হবে, এটি অস্বাভাবিক কিনা? অস্বাভাবিক বলা হয়, যা ঘটার সম্ভাবনা খুব ছোট, যা একটি পূর্বাভাসের চেয়ে কম।

  যদি এটি অস্বাভাবিক হয় তবে প্রাথমিক অনুমানটি গ্রহণযোগ্য নয়। সংযোজন হিসাবে, যদি একটি তামা বোর্ডকে ন্যায্য বলে মনে করা হয়, তবে 100 বার ছোঁড়া হবে এবং কমপক্ষে 80 টি ইতিবাচক ঘটনা ঘটবে, 10 বার ছোঁড়ার তুলনায় কমপক্ষে 8 টি ইতিবাচক ঘটনা ঘটবে, প্রথমটি আরও অস্বাভাবিক, কারণ এটি হওয়ার সম্ভাবনা পরেরটির তুলনায় অনেক কম। সুতরাং, একইভাবে আশি শতাংশেরও বেশি ইতিবাচক সংখ্যা পাওয়ার পরে, যত বেশি ছোঁড়া হবে ততই আমরা এই তামা বোর্ডকে অন্যায় বলে বিশ্বাস করব, এবং এটি গ্রহণ করার সম্ভাবনা কমপক্ষে 0.8। এটি আমাদের পরিসংখ্যানের মধ্যে দেখায় যে, নমুনাতে বৃহত্তর সংখ্যাটি আরও নির্ভুলতা তৈরি করবে।

  র্যান্ডম ওয়ার্ল্ডে, কে সঠিক, প্রায়শই অজানা। আমরা প্রায়শই মোমকে সত্য বলে প্রমাণ করতে পারি না। তবে এটি একটি অনুমান, আপনি যে অনুমানটি গ্রহণ করেন তা বিবেচনা করুন। 4 টি মুখের পয়েন্ট নম্বর 1 এর সম্ভাবনা সত্য কিনা তা 0.1। এমনকি কয়েকবার ছোঁয়ার পরেও এটি সত্য কিনা তা প্রমাণ করা যায় না। কেবলমাত্র ডেটা দেখায় যে মোমটি মোম গ্রহণ করতে পারে বা মোমটি মোম গ্রহণ করতে পারে না। এখানে 0.1 এর সম্ভাবনা রয়েছে। এটি গ্রহণ বা না করার সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য একটি প্রক্রিয়া রয়েছে।

  এছাড়াও, চারটি দিকের জন্য, পয়েন্ট 1 এর সম্ভাব্যতাও অনুমান করা যেতে পারে, বিভিন্ন অনুমান পদ্ধতি রয়েছে, যা বিভিন্ন অনুমান পেতে পারে; গণিতে, বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে, একই ফলাফলের দিকে পরিচালিত করতে হবে; তথাকথিত সুযোগ সমান্তরাল; তবে পরিসংখ্যানগুলিতে, কিছু সীমাবদ্ধতা না থাকলে, প্রায়শই কোনও একক পদ্ধতি নেই; অনির্ধারিত ভবিষ্যতের জন্য, আমরা প্রায়শই অনুমান করতে চাই, এবং পরিসংখ্যান এই ক্ষেত্রে একটি ভাল ভূমিকা পালন করতে পারে; যেমন তামা বোর্ডের ইতিবাচক সম্ভাব্যতা, এবং রোগীর বেঁচে থাকার সম্ভাবনা ইত্যাদি, সমস্ত অনুমান করা যায়; তবে কখনও কখনও মনে হয় যে একটি অনুমান, যদিও সুস্পষ্ট, তবে অনুমানটি সত্যিকারের মানের সাথে মিলতে খুব কঠিন, এক ঝলক, প্রায়শই সঠিক অনুমান করা হয় না; নির্ভর অঞ্চল ধারণা, ইত্যাদির কারণে উত্পন্ন হয়।

• আস্থা ব্যবধান

  আমরা প্রায়শই একটি অজানা পরিমাণের উপর অনুমান করি। অজানা পরিমাণগুলি হতে পারে একটি ঘটনার সম্ভাবনা, একটি বন্টনের পরামিতি (যেমন প্রত্যাশিত মান এবং ভেরিয়েবলের সংখ্যা ইত্যাদি) বা কোনও বস্তুর জীবনকাল ইত্যাদি। এই অজানা পরিমাণগুলিকে প্যারামিটার বলা হয়। কখনও কখনও একটি প্যারামিটার অনুমান করা হয় এবং এই প্যারামিটারটির সম্ভাব্যতা দেওয়া হয়।

  ডাটা হল পরিসংখ্যানবিদদের সিদ্ধান্ত নেওয়ার প্রধান ভিত্তি. ডাটা না থাকলে, তারা প্রায়ই একটি সহজ এবং সাধারণ পরিস্থিতিতে একটি সরলীকৃত উদাহরণ দেখায়। যদি একটি তামার প্লেটকে ইতিবাচক হওয়ার সম্ভাবনা p অনুমান করা হয় তবে স্বাভাবিকভাবেই, এটি কয়েকবার, উদাহরণস্বরূপ, n বার, এবং ফলাফলটি পর্যবেক্ষণ করা হয়। এই প্রক্রিয়াটিকে নমুনা বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি বিক্ষোভের ফলাফল গুরুত্বপূর্ণ নয়। মোট ইতিবাচক সংখ্যা, a এর সাথে, সমস্ত তথ্যের মালিকানা রয়েছে। একটি পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান বলা হয়, এবং n এবং a ব্যবহার করে একটি নির্ভরতা অঞ্চল পাওয়া যায়, কিন্তু এটি একমাত্র নয়। এছাড়াও p এর জন্য, বিভিন্ন নির্ভরতা অঞ্চল সূত্র রয়েছে। তবে পাঠ্যক্রমটি ভালভাবে লেখা হয়েছে, যেমন একটি নির্ভরতা অঞ্চল সূত্র।

  এখানে দুটি বন্টন জড়িত, গণনা জটিল, যদি n যথেষ্ট বড় হয় (n খুব ছোট নয়), আমরা প্রায়ই স্বাভাবিক বন্টন ব্যবহার করে আনুমানিক করতে পারি। এটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম, কেন্দ্রীয় সীমা তত্ত্ব ব্যবহার করতে পারে। এটি উল্লেখ করা উচিত যে, কেবলমাত্র একটি স্বাভাবিক বন্টন দিয়ে আনুমানিক করার জন্য কেন্দ্রীয় সীমা তত্ত্ব ব্যবহার করা প্রয়োজন, এটি নির্ভরতা ব্যাসার্ধের জন্য নয়।

  ধাতু বোর্ডের পজিটিভ সম্ভাব্যতা p অনুমান করার জন্য, নমুনা গ্রহণের আগে, নির্ভরতা ব্যাপ্তিটি একটি এলোমেলো ব্যাপ্তি, যদি আত্মবিশ্বাসের স্তরটি 95% সেট করা হয়, তবে (অথবা আরও সঠিকভাবে বলতে গেলে, যদি এই নির্ভরতা ব্যাপ্তিটি কেবলমাত্র আনুমানিক হয় তবে প্রায়শই) 0.95 এর সম্ভাবনা থাকে।

  আমরা প্রথমে নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখাবো: Suppose a department store's anniversary celebration, customers shop to a certain amount, then you can draw 1 lottery ball from 1 to 10. যদি আপনি 5 নম্বরে ড্র করেন, তবে আপনি আজ কোম্পানির ব্যয় থেকে 30% বন্ধকী পেতে পারেন। ড্র করার আগে, আপনি জানেন যে বন্ধকী পাওয়ার সম্ভাবনা 0.1 রয়েছে, সুযোগটি ছোট নয়। একবার ড্র করা হলে, 3 দেখলে, বন্ধকী পাওয়ার সম্ভাবনা অবশ্যই 0 হবে।

  এই ধরনের অনেক উদাহরণ আছে । হাত ঝাঁকুনির আগে, আপনি বলতে পারেন যে 0.341 এর সম্ভাবনা রয়েছে, যদি আপনি এটি না করেন তবে আপনি এটি না করেন, 0.341 খেলতে পারবেন না । আরেকটি উদাহরণ দিন । ধরুন যে কোনও ব্যাংকের লটারি লটারি, 1 থেকে 42 নম্বর থেকে প্রতিটি সংখ্যার মধ্যে, 6 য়ার্ডের জন্য 6 য়ার্ড খোলা আছে । আপনি 6 য়ার্ডের জন্য একটি বাজি রেখেছেন, এবং আপনি জানেন যে 6 য়ার্ডের আগে, আপনি জানেন যে কমপক্ষে 1 য়ার্ড জিততে সহজ, কারণ সম্ভাবনা প্রায় 0.629।

  আরও দেখুন যেহেতু পাঠ্যক্রমে বলা হয়েছে যে, ধনাত্মক (পাঠ্যক্রমে পজিটিভ পয়েন্টের জন্য দুটি শব্দ কম আছে, তাই বোঝা যায় না) ধাতু প্যানেলের সম্ভাব্যতা n বার, নির্ভরযোগ্যতার পরিসীমা পেতে। আপনি দেখুন, p মূলত পূর্ব নির্ধারিত, একটি অস্থায়ী পরিসীমা, p এর মধ্যে পড়ে না, একবার দেখে দেখুন, কীভাবে আপনি বলতে পারেন যে এই পরিসীমাটি 0.95 এর সম্ভাবনা রয়েছে? এমনকি যদি আপনি অ্যানিমুলেট না হন তবে বাস্তবে একটি ধাতু প্যানেল ছুঁড়ে ফেলুন, তবে p কেবল অজানা, তবে একটি নির্দিষ্ট (অনির্দিষ্টভাবে বলা হয় যে তামার প্যানেলের ইউনিটগুলি জানে) ছুঁড়ে ফেলার পরে স্থির নির্ভরযোগ্যতার পরিসীমা, ইতিমধ্যে অনিয়মিত, এটি কেবল একই p মানকে অন্তর্ভুক্ত করবে, বা p কে অন্তর্ভুক্ত করবে না। সুতরাং, ধাতু প্যানেল, প্রতিটি ব্যক্তির 95% নির্ভরযোগ্যতা রয়েছে, কীভাবে এটি সাধারণভাবে ঘোষণা করা যায় যে, এর পরিসীমাটি p এর জন্য 950.

  ৯৫% এর কি দরকার? ০.৯৫ হল একটি সম্ভাব্যতা মান, এবং সম্ভাব্যতা মান কখনই শুধুমাত্র একবারের পরীক্ষার ফলাফল নয়। আপনি প্রায় বলতে পারেন, যদি পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি করা হয়, তবে অনেকগুলি নির্ভরযোগ্যতার ব্যবধান পাওয়া যায়, তবে এতে পি এর নির্ভরযোগ্যতার ব্যবধান রয়েছে, যা সমস্ত ব্যবধানের প্রায় ৯৫%। সুতরাং, ০.৯৫ এর অর্থ একই রকম, যেমনটি আমরা পূর্ববর্তী বিভাগে সম্ভাব্যতার ব্যাখ্যা করেছি। তবে এটি লক্ষ করা উচিত যে একই পি এর জন্য, যদি পুরো ক্লাসটি ৪০ জন হয়, তবে ৪০ টির মধ্যে ৯৫% নির্ভরযোগ্যতার ব্যবধান পাওয়া যায় না, যার মধ্যে পি এর সংখ্যা ৮৫% এরও বেশি হয় না (এমনকি ৩৪ টিরও বেশি) খুব অবাক করাও যায়। এই সম্ভাবনাটি প্রায় ০.০১৩৮৮ (নোট ২) খুব বড় নয়, তবে ক্লাসগুলি যথেষ্ট পরিমাণে থাকে তবে এটি খুব কঠিন নয়।

• পরিস্থিতির ব্যাখ্যা

  সম্ভাব্যতা আমাদের জীবনের অভ্যাসের সাথে সম্পর্কিত, তাই সম্ভাব্যতার সঠিক ব্যবহার এলোমেলো জগতে আরও সুনির্দিষ্ট সিদ্ধান্ত গ্রহণে সহায়তা করবে। তবে প্রায়শই সম্ভাব্যতা প্রয়োগ করা সহজ হয় না এবং প্রাপ্ত সম্ভাব্যতার মানগুলি প্রায়শই ভুল বলে মনে করা হয়। এবং এটি বিতর্কিত, বিভিন্ন সম্ভাব্যতার মানগুলি উত্থাপিত হয়। এর মধ্যে কী কারণ রয়েছে? একটি প্রধান কারণ হ'ল পরিস্থিতির ভুল ব্যাখ্যা।

  অতীতে, গণিতের পাঠ্যক্রমে, আমরা এমন একটি অ্যাপ্লিকেশন সমস্যার মুখোমুখি হয়েছি। সমস্যাটি বোঝা যায়, গণিতের সূত্রগুলি লেখার পরে, গণিতটি সমাধান করা হয়। এই সময়টি পূর্ববর্তী দীর্ঘ বর্ণনাটি ফেলে দেওয়া যেতে পারে। তবে সম্ভাবনার ক্ষেত্রে, কিছু সহজ বলে মনে হয় এমন পরিস্থিতি রয়েছে যা বিভিন্ন ব্যাখ্যা করার কারণে দক্ষিণ-পূর্ব-পশ্চিম-পশ্চিমের সিদ্ধান্তে পরিণত হতে পারে। নীচে কয়েকটি উদাহরণ দিন।

  ২১ নম্বরে (ইংরেজি ভাষায় ২১) গণিতের অধ্যাপক ক্লাসে একটি প্রশ্ন করেন। তিনটি দরজা রয়েছে, যার মধ্যে একটি দরজা গাড়ির পিছনে এবং অন্য দুটি দরজা ছাগলের পিছনে। আপনি প্রথম দরজাটি বেছে নেওয়ার পরে, আয়োজক দ্বিতীয় দরজাটি খুলবেন এবং ছাগলটি দেখতে পাবেন। আপনি যদি প্রশ্ন করেন তবে তৃতীয় দরজাটি বেছে নেবেন কি না? একজন শিক্ষার্থী উত্তর দেয়ঃ

  হ্যাঁ, কারণ আমার গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা ৩৩.৩৩% থেকে ৬৬.৬৭% পর্যন্ত বাড়বে যদি আমি ১ নম্বর দরজা থেকে ৩ নম্বর দরজায় চলে যাই।

  "এটা খুব ভাল! আমি তার সাথে একমত, অর্থাৎ এটি পরিবর্তন করা উচিত। কিছু লোক এটিকে প্রশ্নবিদ্ধ করেছে।

  তুলনামূলকভাবে সঠিক বক্তব্যটি হ'ল, যদি আয়োজক আগে থেকে জানেন যে গাড়িটি সেই দরজার পিছনে রয়েছে, তবে তিনি একটি দরজা খুলবেন এবং তারপরে ছাগলের দরজা (এটি আরও যুক্তিসঙ্গত পদ্ধতি, অন্যথায় গেমটি চলতে পারে না) । তবে যদি তৃতীয় দরজাটি পরিবর্তন করা হয়, তবে চলচ্চিত্রের শিক্ষার্থী যেমন বলেছে, গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা 1/3 থেকে 2/3 বৃদ্ধি পাবে। তবে যদি আয়োজক আগে থেকে না জানেন যে গাড়িটি সেই দরজার পিছনে রয়েছে (এটি অবশ্যই বিরল ঘটনা) তবে কেবল দ্বিতীয় এবং তৃতীয় দরজা থেকে এলোমেলোভাবে একটি বাছাই করে খুলবে এবং ঠিক দরজার পিছনে ছাগল রয়েছে, তবে এটি পরিবর্তন করার দরকার নেই, পরিবর্তন বা না করার কারণে, গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা 1/2।

  কিন্তু পাঠক হয়তো লক্ষ্য করেছেন, যেহেতু আয়োজক আগে থেকেই জানেন যে গাড়িটি সেই দরজার পিছনে রয়েছে, আমরা আসলে একটি অনুমানও করি; অর্থাৎ যদি ২য় এবং ৩য় দরজার পিছনে সবাই ছাগল হয়, তবে আয়োজক এলোমেলোভাবে (যেমন, প্রতিটি ১/২ সম্ভাবনার সাথে) দ্বিতীয় বা তৃতীয় দরজাটি খুলবে। আসলে, আরও সাধারণ অনুমান থাকতে পারে। যখন ২য় এবং ৩য় দরজার পিছনে সবাই ছাগল হয়, তখন যদি আয়োজক ক্যুইন ১ এবং ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন ক্যুইন কুইন কুইন কুইন কুইন কুইন কুইন কুইন কুইন কুইন কুইন কুইন ক

  আরেকটি উদাহরণ দেখুন । একটি দম্পতি সবেমাত্র একটি সম্প্রদায়ের মধ্যে চলে এসেছেন, তাদের দুটি বাচ্চা রয়েছে, লিঙ্গটি জানা নেই । একদিন একটি সম্প্রদায়ের প্রশাসক, এই বাড়ির মাকড়সাটি দেখেছেন, একটি শিশুকে নিয়ে খেলছেন । যদি শিশুটি মেয়ে হয়, তবে এই দুটি বাচ্চা মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে । অনেক লোক মনে করে যে এই সমস্যাটি কঠিন নয়, 1/3 এর সম্ভাবনা রয়েছে বলে মনে করে। আসলে সমস্যাটি আমাদের কল্পনার চেয়ে অনেক বেশি জটিল। মূল বিষয়টি হ'ল কীভাবে এই বাড়ির মাকড়সাটি খুঁজে পাওয়া যায়, বাড়িতে একটি মেয়েকে নিয়ে মাকড়সাটি সঠিক সম্ভাব্যতার জায়গায় রূপান্তরিত হয়। অর্থাৎ, কীভাবে এটি পরিষ্কার করা যায়, কীভাবে বাচ্চাদের নিয়ে আসা যায়?

  অবশেষে, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পাঠ্যপুস্তক থেকে পাওয়া আরেকটি উদাহরণ দেখুন। সমতলে একটি একক বৃত্ত রয়েছে, একটি স্ট্রিং এলোমেলোভাবে আঁকুন, যা এই বৃত্তের অভ্যন্তরীণ সংযোগের চেয়ে বড় একটি ত্রিভুজের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের সম্ভাব্যতা। জ্যামিতি, বৃত্তের অভ্যন্তরীণ সংযোগের ব্যবহার করে, একটি স্ট্রিং এলোমেলোভাবে আঁকতে পারেন। তবে কীভাবে একটি স্ট্রিং এলোমেলোভাবে আঁকবেন? 1 থেকে n পর্যন্ত n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মধ্যে, এলোমেলোভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া, এর অর্থ আরও স্পষ্ট, অর্থাৎ প্রতিটি সংখ্যার আউটপুটের সম্ভাবনাগুলি 1/n হয়; স্ব-বিভিন্ন [0,1] এলোমেলোভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া, এর অর্থও বোঝা যায় যে এই সংখ্যাটি [0,1] এর যে কোনও অংশের মধ্যে পড়ার সম্ভাবনা রয়েছে, এই অংশের দৈর্ঘ্যের জন্য। তবে এলোমেলোভাবে স্ট্রিং আঁকুন, কীভাবে এলোমেলোভাবে আঁকবেন? এর জন্য একটি পদ্ধতি রয়েছে, যা বিভিন্ন উপায়ে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে

  উপরের কয়েকটি উদাহরণ আমাদেরকে বলে যে, সম্ভাব্যতা সমস্যা মোকাবেলায় পরিস্থিতি পরিষ্কারভাবে সংজ্ঞায়িত করা উচিত; শব্দ ব্যবহারের ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতা স্থানটি স্পষ্টভাবে দেওয়া উচিত, অন্যথায় এটি বিভিন্ন কথার দিকে পরিচালিত করবে; কখনও কখনও সম্ভাব্যতা স্থান না দেওয়া হলেও পরিস্থিতিগুলি সহজ, সবার মধ্যে একটি সাধারণ মতামত রয়েছে, এই সময়ে সম্ভাব্যতা স্থানটি কেন বিশেষভাবে জোর দেওয়া হয় না তা নিয়ে কোনও সমস্যা নেই; উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি একটি ন্যায্য জুতা নিক্ষেপ করেন, তবে 4 এর চেয়ে বেশি সম্ভাব্যতা চান; যদিও এটি কেবল একটি সহজ বিবরণ, তবে এটি সন্দেহজনক নয়; যখন পরিস্থিতি সম্পর্কে সন্দেহ হয়, যেমন ঝুংজুং অকলু হাওয়ের লেখায় বলেছেন, আপনি তার বইয়ের অনুকরণ করুন। সম্ভাব্যতা স্থান আছে; এটি যখন রাজনৈতিক বা সামাজিকভাবে, বড় বিতর্কের মুখোমুখি হয়, তখন সংবিধানের বলিদান করা উচিত, সংবিধান লঙ্ঘন করে না, এবং এটি বিশেষজ্ঞদের দ্বারা ব্যাখ্যা করা উচিত।

  পরিস্থিতির ব্যাখ্যা ছাড়াও, সম্ভাবনার কিছু স্বতন্ত্র ধারণাগুলি যেমন শর্তগত সম্ভাব্যতা, স্বাধীনতা, এবং এলোমেলোভাবে নমুনা গ্রহণের ক্ষেত্রেও সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত।