Geldmanagement über das Kelly-Kriterium

Geldmanagement über das Kelly-Kriterium

Risikomanagement und Geldmanagement sind absolut kritische Themen im quantitativen Handel. Wir müssen diese Konzepte noch in einem angemessenen Maß an Detail untersuchen, abgesehen von der Festlegung der verschiedenen Risikoquellen, die die Strategieleistung beeinflussen könnten. In diesem Artikel werden wir ein quantitatives Mittel zur Verwaltung des Kontoequity betrachten, um das langfristige Kontowachstum zu maximieren und das Abwärtsrisiko zu begrenzen.

Ziele der Investoren

Es mag so aussehen, als ob das einzige wichtige Anlegerziel darin besteht, einfach so viel Geld wie möglich zu verdienen. Die Realität des langfristigen Handels ist jedoch komplexer. Da die Marktteilnehmer unterschiedliche Risikopräferenzen und -beschränkungen haben, gibt es viele Ziele, die Anleger haben können.

Ein weiterer wichtiger Faktor, der sich auf die Entwicklung des Eigenkapitals auswirkt, ist die Erhöhung des Eigenkapitals, wobei der "Risiko" einer Strategie kaum oder gar nicht berücksichtigt wird.

Ein institutioneller Anleger würde das Risiko sehr unterschiedlich betrachten: Es ist fast sicher, dass er einen vorgeschriebenen maximalen Drawdown (sagen wir 20%) haben wird und dass er die Sektorallokation und die durchschnittlichen Tagesvolumenlimits in Betracht ziehen würde, die allesamt zusätzliche Einschränkungen für das Optimierungsproblem der Kapitalallokation für Strategien darstellen würden. Diese Faktoren könnten sogar wichtiger sein als die Maximierung der langfristigen Wachstumsrate des Portfolios.

Wir sind also in einer Situation, in der wir ein Gleichgewicht zwischen der Maximierung der langfristigen Wachstumsrate durch Hebelwirkung und der Minimierung unseres Risikos finden können, indem wir versuchen, die Dauer und den Umfang des Rückzuges zu begrenzen.

Kelly-Kriterium

In diesem Artikel wird das Kelly-Kriterium unser Werkzeug sein, um die Hebelwirkung und die Zuweisung zu einer Reihe von algorithmischen Handelsstrategien zu kontrollieren, die ein Multi-Strategie-Portfolio bilden.

Wir definieren Hebelwirkung als das Verhältnis zwischen der Größe eines Portfolios und dem tatsächlichen Kontovermögen innerhalb dieses Portfolios. Um dies zu verdeutlichen, können wir die Analogie des Kaufs eines Hauses mit einer Hypothek verwenden. Ihre Anzahlung (oder Einzahlung für diejenigen von uns in Großbritannien!) bildet Ihr Kontovermögen, während die Anzahlung plus der Hypothekensatz das Äquivalent der Größe eines Portfolios darstellt. So stellt eine Anzahlung von 50.000 USD auf ein Haus in Höhe von 200.000 USD (mit einer Hypothek in Höhe von 150.000 USD) einen Hebelwirkung von (150000+50000) /50000=4 dar.

Bevor wir das Kelly-Kriterium speziell ausdrücken, möchte ich die Annahmen skizzieren, die zu seiner Ableitung führen, die unterschiedliche Genauigkeitsgrade haben:

• Jede algorithmische Handelsstrategie wird davon ausgegangen, dass sie einen normal verteilten Rendite-Stream (d.h. Gaussian) besitzt. Darüber hinaus hat jede Strategie ihre eigenen festen Mittelwerte und Standardabweichungen der Rendite. Die Formel geht davon aus, dass sich diese Mittelwerte und Std-Werte nicht ändern, d.h. dass sie in der Vergangenheit wie in der Zukunft gleich sind. Dies ist bei den meisten Strategien eindeutig nicht der Fall, also seien Sie sich dieser Annahme bewusst.

• Die hier betrachteten Renditen sind Überrenditen, d. h. sie sind abzüglich aller Finanzierungskosten, wie z. B. Zinsen auf Margen und Transaktionskosten.

• Dies ist offensichtlich nicht so anwendbar in einem institutionellen Umfeld, in dem die oben genannten Verwaltungsgebühren abgezogen werden und die Anleger häufig Abhebungen vornehmen.

• Alle Strategien sind statistisch unabhängig (es gibt keine Korrelation zwischen den Strategien) und somit ist die Kovarianzmatrix zwischen den Strategienrenditen diagonal.

Diese Annahmen sind nicht besonders genau, aber wir werden in späteren Artikeln über Möglichkeiten nachdenken, sie zu entlasten.

Jetzt kommen wir zum eigentlichen Kelly-Kriterium! Stellen wir uns vor, dass wir eine Reihe von N algorithmischen Handelsstrategien haben und wir sowohl feststellen möchten, wie man den optimalen Hebel pro Strategie anwendet, um die Wachstumsrate zu maximieren (aber die Abzüge zu minimieren), als auch wie Kapital zwischen jeder Strategie zugewiesen wird. Wenn wir die Zuweisung zwischen jeder Strategie i als Vektor f von Länge N, s.t. f=(f1,...,fN bezeichnen, dann wird das Kelly-Kriterium für die optimale Zuweisung für jede Strategie fi durch:Hierbei sind μi die mittleren Überzinsrenditen und σi die Standardabweichung der Überzinsrenditen für eine Strategie i. Diese Formel beschreibt im Wesentlichen die optimale Hebelwirkung, die für jede Strategie angewendet werden sollte.

Während das Kelly-Kriterium fi uns die optimale Hebelwirkung und Strategieallokation gibt, müssen wir noch unsere erwartete langfristige zusammengesetzte Wachstumsrate des Portfolios berechnen, die wir mit g bezeichnen. Die Formel hierfür wird durch:Hierbei ist r der risikofreie Zinssatz, der der Zinssatz ist, zu dem Sie von dem Makler leihen können, und S ist die annualisierte Sharpe-Ratio der Strategie. Letztere wird durch die annualisierte durchschnittliche Überzinszahlung geteilt durch die annualisierten Standardabweichungen der Überzinszahlung berechnet.

Hinweis: Wenn Sie einen mathematischeren Ansatz für die Kelly-Formel lesen möchten, lesen Sie bitte Ed Thorps Artikel zu diesem Thema: Das Kelly-Kriterium in Blackjack Sports Betting, And The Stock Market (2007).

Ein realistisches Beispiel

Nehmen wir an, wir gehen lang eine mythische Aktie XYZ, die eine durchschnittliche jährliche Rendite von m = 10,7% und eine jährliche Standardabweichung von σ = 12,4% hat.

Damit können wir den optimalen Kelly-Leverage über f=μ/σ2=0.077/0.1242=5.01 berechnen. So sagt der Kelly-Leverage, dass wir für ein Portfolio von 100.000 USD zusätzlich 401.000 USD leihen sollten, um einen Gesamtportfoliowert von 501.000 USD zu haben. In der Praxis ist es unwahrscheinlich, dass unsere Makler uns mit einer so erheblichen Marge handeln lassen würden, und daher müsste das Kelly-Kriterium angepasst werden.

Wir können dann die Sharpe-Ratio S und den Zinssatz r verwenden, um g, die erwartete langfristige zusammengesetzte Wachstumsrate, zu berechnen. g=r+S2/2=0,03+0,622/2=0,22, d.h. 22%. Daher sollten wir eine Rendite von 22% pro Jahr von dieser Strategie erwarten.

Kelly-Kriterium in der Praxis

Es ist wichtig zu wissen, dass das Kelly-Kriterium eine kontinuierliche Neuausrichtung der Kapitalzuweisung erfordert, um gültig zu bleiben. Offensichtlich ist dies im diskreten Umfeld des tatsächlichen Handels nicht möglich, und daher muss eine Annäherung vorgenommen werden. Die Standard-Großrule hier ist, die Kelly-Ausstattung einmal täglich zu aktualisieren. Des Weiteren sollte das Kelly-Kriterium selbst regelmäßig neu berechnet werden, indem ein Rückblick mit einem Rückblick und einer Standardabweichung verwendet wird. Auch für eine Strategie, die ungefähr einmal täglich gehandelt wird, sollte dieser Rückblick in der Größenordnung von 3-6 Monaten täglicher Rendite sein.

Hier ist ein Beispiel für die Neuausgleichung eines Portfolios nach dem Kelly-Kriterium, das zu einem gegensätzlichen Verhalten führen kann. Nehmen wir an, wir haben die oben beschriebene Strategie. Wir haben das Kelly-Kriterium verwendet, um Bargeld zu leihen, um unser Portfolio auf 501.000 USD zu vergrößern. Nehmen wir an, wir erzielen am nächsten Tag eine gesunde Rendite von 5%, was unsere Kontogröße auf 526.050 USD erhöht. Das Kelly-Kriterium sagt uns, dass wir mehr leihen sollten, um den gleichen Hebelwertfaktor von 5.01 zu halten. Insbesondere liegt unser Kontokapital bei 126.050 USD in einem Portfolio von 526.050, was bedeutet, dass der aktuelle Hebelwertfaktor 4.17. Um ihn auf 5.01 zu erhöhen, müssen wir zusätzlich 105.460 USD leihen, um unsere Kontogröße auf 631.510.5 USD zu erhöhen (dies ist 5.01 × 126050).

Das bedeutet, dass die Gesamtmenge unseres Portfolios jetzt 568,359.45 USD (631510.5×0.9) beträgt. Unser Gesamtkonto ist nun 62,898.95 USD (126050−631510.45×0.1). Dies bedeutet, dass unser aktueller Hebelwirkungsfaktor 568359.45/62898.95=9.03 beträgt. Daher müssen wir unser Konto reduzieren, indem wir 253,235.71 USD an Aktien verkaufen, um unseren Gesamtportfoliowert auf 315,123.73 USD zu reduzieren, so dass wir erneut einen Hebelwirkung von 5.01 haben (315123.73/62898.95=5.01).

Der Prozess des Verkaufs in Verlust kann emotional extrem schwierig sein, aber es ist mathematisch die "richtige" Sache zu tun, vorausgesetzt, dass die Annahmen von Kelly erfüllt wurden!

Sie haben vielleicht bemerkt, dass die absoluten Werte des Geldes, das zwischen den Tagen neu zugewiesen wird, ziemlich streng waren. Dies ist eine Folge sowohl der künstlichen Natur des Beispiels als auch des umfangreichen Hebelwirkung eingesetzt. 10% Verlust an einem Tag ist nicht besonders häufig bei höheren Frequenz-algorithmischen Handel, aber es dient zu zeigen, wie umfangreich Hebelwirkung in absoluten Begriffen sein kann.

Da die Schätzung von Mitteln und Standardabweichungen immer Unsicherheiten unterliegt, neigen viele Trader in der Praxis dazu, ein konservativeres Hebelwirtschaftsregime wie das Kelly-Kriterium geteilt durch zwei zu verwenden, das liebevoll als half-Kelly bekannt ist. Das Kelly-Kriterium sollte wirklich als oberste Grenze der Hebelwirkung betrachtet werden, anstatt als direkte Spezifikation. Wenn dieser Rat nicht beachtet wird, kann die Verwendung des direkten Kelly-Wertes aufgrund der nicht-gaussischen Natur der Strategie Renditen zum Ruin führen (d. h. das Kontokapital verschwindet auf Null).

Sollten Sie das Kelly-Kriterium anwenden?

Jeder algorithmische Händler ist anders und das gleiche gilt für die Risikopräferenzen. Bei der Wahl einer Hebelwirtschaftsstrategie (von der das Kelly-Kriterium ein Beispiel ist) sollten Sie die Risikomandat berücksichtigen, unter denen Sie arbeiten müssen. In einem Einzelhandelsumfeld können Sie Ihre eigenen maximalen Abzugsgrenzen festlegen und somit Ihre Hebelwirkung erhöhen. In einem institutionellen Umfeld müssen Sie das Risiko aus einer sehr anderen Perspektive betrachten und der Hebelwirtschaftsfaktor wird eine Komponente eines viel größeren Rahmens sein, normalerweise unter vielen anderen Einschränkungen.

In späteren Artikeln werden wir andere Formen des Geldmanagements (und des Risikomanagements!) betrachten, von denen einige bei den oben erwähnten zusätzlichen Einschränkungen helfen können.