Geräte, die mit der Kellyschen Formel die Positionskontrolle durchführen

Geräte, die mit der Kellyschen Formel die Positionskontrolle durchführen

** Angenommen, Sie haben eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 60%, eine Verlustwahrscheinlichkeit von 40%; eine Netto-Ertragsmenge von 100% bei Gewinn und 100% bei Verlust. Das heißt, wenn Sie gewinnen, können Sie 1 US-Dollar pro Wette gewinnen, wenn Sie verlieren, verlieren Sie 1 US-Dollar pro Wette.

• 1. Bei diesem Spiel ist die erwartete Ertragsrate bei jeder Wette 60% * 1-40% * 1 = 20% der Wette. Das heißt, es ist ein Spiel mit einem großen Vorteil für den Spieler.

  Wie sollten wir dann wetten?

  Wenn man nicht genau darüber nachdenkt, wenn man sich nur grob vorstellt, dass wir denken, dass, da ich eine Erwartung von 20% auf jeden Einsatz habe, ich für die maximale langfristige Ertragswirkung so viel Geld wie möglich in jeden Einsatz investieren sollte. Dieser Prozentsatz ist maximal 100%.

  Aber es ist offensichtlich unvernünftig, dass man bei jedem Spiel 100% seines Kapitals einsetzt, denn wenn man einmal verliert, verliert man alles und kann nicht mehr an der nächsten Runde teilnehmen.

  Die Schlussfolgerung ist also, dass die Möglichkeit, dass das gesamte Kapital plötzlich verloren geht, auch wenn es sehr gering ist, niemals voll ist, solange es einen Stillstand gibt. Denn in der langfristigen Realität ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit eines geringen Wahrscheinlichkeitsereignisses viel größer als seine theoretische Wahrscheinlichkeit. Das ist der Fat Tail-Effekt in der Finanzwissenschaft.

• 2 weiter zurück zur Sackgasse 1. Da es nicht sinnvoll ist, bei jeder Wette 100% zu setzen, was ist dann mit 99%. Wenn man bei jeder Wette 99% einsetzt, ist man nicht nur garantiert, nie pleite zu gehen, sondern kann auch mit etwas Glück einen großen Gewinn erzielen.

  Ist das die Realität?

  Anstatt das Problem theoretisch zu analysieren, können wir ein Experiment machen. Wir simulieren die Sackgasse und setzen jedes Mal 99%, um zu sehen, was passiert.

  Das Simulationsversuch ist sehr einfach und kann mit Excel durchgeführt werden.

  Abbildung 1

  Wie oben dargestellt, zeigt die erste Spalte die Anzahl der Spiele. Die zweite Spalte ist ein Gewinn oder Verlust, bei dem Excel mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% 1 erzeugt, eine Wahrscheinlichkeit von 60% Nettoergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1.40%, eine Wahrscheinlichkeit von -1 oder 40% Nettoergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1.3. Die dritte Spalte ist das gesamte Geld des Hackers am Ende jeder Runde.

  Wie man aus dem Diagramm sehen kann, hat man nach 10 Runden 8 Runden gewonnen, was eine höhere Wahrscheinlichkeit von 60% ist, und nur zwei Runden verloren.

  Wenn ich die Anzahl der Versuche auf 1.000, 2.000, 3.000... erhöhe, kann man sich vorstellen, dass das Geld am Ende im Wesentlichen auf Null neigt.

  Da 99% nicht funktionieren, lassen Sie uns ein paar andere Prozentsätze versuchen, und sehen Sie sich die Grafik an: Wie man aus dem Diagramm sehen kann, ist das Ergebnis für die gleichen 10 Runden völlig anders, wenn man die Position schrittweise reduziert, von 99% auf 90%, 80%, 70%, 60%; aus dem Diagramm scheint zu erkennen, dass das Geld nach 10 Runden schrittweise wächst, wenn die Position schrittweise kleiner wird.

  Wenn man sich das hier anschaut, wird man langsam erkennen, dass das Problem mit dem Stillstand nicht so einfach ist.

  Wie kann man also auf eine Wette setzen, um die langfristigen Gewinne zu maximieren?

  Ist es besser, wenn die Proportionen kleiner sind, wie es in der Grafik zu sehen ist?

  Was ist die optimale Proportion?

  Das ist das Problem, das die berühmte Kelly-Formel lösen soll!

  Abbildung 2

  wobei f die optimale Einsatzquote ist; p die Gewinnwahrscheinlichkeit; rw die Nettoerträge bei Gewinnen, z.B. bei Abschied 1; rl die Nettoverluste bei Verlusten, z.B. bei Abschied 1; beachte hier rl>0;

  Nach der Kellyschen Formel kann man berechnen, dass die höchste Wetteinheit in Paradox 1 20% beträgt.

  Wir können ein Experiment durchführen, um diese Schlussfolgerung besser zu verstehen.

  Abbildung 3

  Wir setzen die Positionen auf 10%, 15%, 20%, 30%, 40%; die entsprechenden Spalten sind D, E, F, G, H.

  Wenn ich die Anzahl der Versuche auf 3000 verringere, Wenn ich die Anzahl der Versuche auf 5000 umgewandelt habe, Man kann sehen, dass die F-Säule das größte Ergebnis ist, und dass die Quellgröße im Vergleich zu anderen Säulen nicht eine quantitative Größenordnung ist.

  Schauen Sie sich die Kraft der Kelly-Formel an. In dem Experiment oben, wenn Sie unglücklicherweise 40% wählen, also die entsprechende H-Säule, dann haben Sie nach 5000 Spielen von 100 auf 22799985.75 gewinne.

  Das ist die Macht des Wissens!

• 3. Die Kelly-Formel ist verstanden.

  Die mathematische Folgerung der Kellyschen Formeln und ihre Komplexität erfordern ein sehr hohes mathematisches Wissen, so dass es keinen Sinn macht, hier zu diskutieren. Ich werde hier ein paar Experimente durchführen, um das subjektive Verständnis der Kellyschen Formeln zu vertiefen.

  Schauen wir uns noch einmal eine Sackgasse an. Sackgasse 2: Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie gewinnen und verlieren, beträgt 50%. Zum Beispiel, wenn Sie eine Münze werfen.

  Es ist leicht zu sehen, dass die erwartete Rendite von 0.25 bei Blockade 2 liegt, eine weitere Blockade, bei der die Hacker einen großen Vorteil haben.

  Nach der Kelly-Formel können wir die optimale Wette pro Spielquote erhalten:

  Abbildung 4

  Das heißt, jedes Mal, wenn man die Hälfte seines Geldes mit ins Spiel bringt, bekommt man in der langen Zeit den größten Gewinn.

  Hier werde ich experimentell die Konzeption der durchschnittlichen Wachstumsrate r ermitteln.

  Die ersten beiden Bilder zeigen, wie das Experiment 2.1 funktioniert:

  Abbildung 5

  Beide Abbildungen sind Experimente, die eine simulierte Stillstandslage 2 durchführen, wobei in der zweiten Spalte die Gewinn- und Verlustkolonne eine 50%ige Wahrscheinlichkeit hat, dass die Experimente 1 erzeugen. Die 50%ige Wahrscheinlichkeit erzeugt einen Gewinn von 100%. Die 50%ige Wahrscheinlichkeit erzeugt -0.5, was einem Verlust von 50% entspricht. Die dritte und vierte Spalte sind die Gelder, die nach jedem Stillstand unter 100% und 50% der Position gehalten werden.

  Ein genauer Vergleich der beiden Diagramme ergibt die Schlussfolgerung, dass nach gleicher Anzahl von Partien das Endergebnis nur mit der Anzahl der gewonnenen und verlierten Partien in diesen Partien zusammenhängt, und nicht mit der Reihenfolge der gewonnenen und verlierten Partien in diesen Partien.

  Natürlich ist es sehr einfach, diese Schlussfolgerung zu beweisen (die Multiplikationsumtauschregel wird es für Kinder in der Grundschule tun), aber dies beweist nicht, dass die beiden oben genannten Beispiele gut genug sind, um sie zu verstehen.

  Da das Endergebnis nicht mit der Gewinn-Verlust-Sequenz zu tun hat, nehmen wir an, dass die Sackgasse 2 wie bei Experiment 2.2 weitergeht.

  Abbildung 6

  Wir gehen davon aus, dass die Siege in den Sackgassen abwechselnd stattfinden, und aufgrund der Schlussfolgerung 1 hat dies keinen Effekt auf die Ergebnisfinanzierung in der langen Zeit.

  Bevor wir das Bild selbst betrachten, machen wir eine Definition. Angenommen, wir betrachten eine Pause als ein Ganzes, in dem die Häufigkeit der verschiedenen Ergebnisse genau der Wahrscheinlichkeit entspricht, und in dem das Ganze die kleinste Anzahl von Pausen ist, in denen alle Bedingungen erfüllt sind, dann nennen wir das Ganze eine Pause.

  Betrachten Sie genau die Zahlen, die in den blauen Farben in der Grafik oben markiert sind, sie sind das Ende einer Pause. Sie werden feststellen, dass diese Zahlen ein stabiles Wachstum aufweisen. Wenn die Position 100% beträgt, ist die Wachstumsrate der blauen Markierten Zahlen 0%, d.h. die Wachstumsrate des Kapitals nach einer Pause von 0%.

  Es ist eine allgemeine Regel, dass die Wachstumsrate nach jeder Pause mit der Position zusammenhängt. Je höher die Wachstumsrate nach jeder Pause, desto höher ist die endgültige Rendite in der langfristigen Zukunft.

  Die durchschnittliche Wachstumsrate für jede Pause kann anhand der Wachstumsrate für jede Pause berechnet werden g. In der obigen Abbildung, wenn jede Pause zwei Pausen enthält, dann ist die durchschnittliche Wachstumsrate für jede Pause

  Schaubild 7

  In der langfristigen Perspektive soll das Kapital maximal wachsen, wenn man r maximiert, d.h. g maximiert.

• 4. Die Kellyschen Formel andere Schlussfolgerungen zu Risiken

Die Legende von Kelly

Die Kelly-Formel wurde ursprünglich von John Larry Kelly, Physiker am AT&T Bell Laboratories, nach dem Forschungsvorhaben seines Kollegen Claude Elwood Shannon über Fernsprechnachrichten entwickelt. Kelly löste die Frage, wie die Informationstheorie von Shannon auf einen Spieler mit Inline-Nachrichten angewendet werden kann, wenn er auf dem Pferd ist. Der Spieler möchte die beste Wette bestimmen, und seine Inline-Nachrichten müssen nicht perfekt sein, um einen nützlichen Vorteil zu haben. Mit seinen Kenntnissen übernahm er über Nacht alle Casinos in Reno, Nevada, und gewann erfolgreich Hunderttausende von Dollar an den 21st-Casino-Tischen. Er ist auch der Vorfahre der US-amerikanischen Wall Street Quantitative Trading Hedge Funds, der in den 1970er Jahren den ersten Quantitative Trading Hedge Fund erfunden hat. 1962 veröffentlichte er sein Buch, das sich mit der Niederlage der Hausmänner beschäftigt und zu einem der Klassiker der Finanzwissenschaft zählt.

Perspektive nutzen

Wie kann man mit der Kelly-Formel in der Realität Geld verdienen? Das heißt, dass man eine Paradoxfalle schaffen will, die die Bedingungen für die Anwendung der Kellys-Formel erfüllt. In der letzten Zeit habe ich mich mit Handelssystemen beschäftigt, und was ist am wichtigsten für ein gutes Handelssystem? Eine erwartete Ertragsrate macht 10% der Bedeutung für positive Kauf- und Verkaufsregeln aus, während eine gute Geldkontrolle 40% der Bedeutung hat und die restlichen 50% die psychologische Kontrolle der Menschen ausmacht. Und die Kelly-Formel ist genau das Instrument, mit dem ich Geldpositionen kontrollieren kann. Zum Beispiel habe ich zuvor ein Börsenhandelssystem untersucht, bei dem wöchentlich nur einmal gehandelt wird, wobei die Wahrscheinlichkeit des erfolgreichen Handelns 0.8 ist und die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns 0.2. Wenn es erfolgreich ist, kann man 3% (abzüglich der Provisionen, der Stempelsteuer) verdienen, und bei jedem Scheitern 5% verlieren. Bis ich die Kelley-Formel nicht kannte, war ich blind und ich wusste nicht, ob die Position richtig oder falsch war. Es war sehr psychologisch. Natürlich kann die Kelly-Formel in der Praxis nicht so einfach sein, und es gibt viele Schwierigkeiten, die zu überwinden sind. Zum Beispiel, die Kosten für das Kapital, die an Hebelbörsen benötigt werden, zum Beispiel, dass das Geld in der Realität nicht unendlich teilbar ist, zum Beispiel, dass es in den Finanzmärkten nicht so einfach ist wie die oben erwähnte einfache Pattsituation. Aber die Kelly-Formel zeigt uns den Weg weiter.