Delta-Hedging für Bitcoin-Optionen mit einer Lächeln-Kurve

Zusammenfassung

Wir haben eine Reihe von impliziten Smile Curves und anderen Smile Adjusted Deltas verwendet, um solide dynamische Delta-Hedges für Bitcoin-Optionen zu analysieren. Diese Deltas sind entweder modelfrei, in einem Sinne, dass sie für alle Skala-Instantiven, zufällige und/oder lokale Volatilitätsmodelle identisch sind, oder basieren auf einfachen systemabhängigen parametrierten lokalen Volatilitäten. Diese Deltas sind bei Optionsmarktteilnehmern für herkömmliche Assets sehr beliebt, da sie leicht zu implementieren sind. Die tatsächlichen Ergebnisse der Studie über die Impuls-Delta-Positionierung basieren nur auf den Zinssätzen für die Aktienindex, aber sind immer noch relativ klein gegenüber den historischen Zinspreisen.

SchlüsselwortDie wichtigsten sind: Derivaten-Hedging, implizite Volatilitätskurven, dauerhafte Verträge, solide Finanzierungen, dynamische Zuwachs-Hedging

1. Vorwort

Jede Dynamik-Delta-Hedging-Studie wird mit dem Grundgedanken von Black und Scholes (1973) als Bezugspunkt verwendet. Das Black-Scholes (BS) delta-Modell verlangt nur die Verzerrung des Modelloptionspreises gegenüber dem Preis der Marke, da das Modell die Korrelation zwischen dem Preis der Marke und ihrer Volatilität annimmt. Aber es ist bekannt, dass Aktienoptionen eine große und negative Kursfluchtkorrelation aufweisen, was zu einer deutlichen Verzerrung der impliziten Volatilitätskurve führt. Gemäß den grundlegenden Ideen von Bates (2005) und den allgemeineren Ergebnissen von Alexander Nogueira (2007a) können die Ergebnisse der impliziten Volatilitätskurve positiv auf die Delta-BS angepasst werden.

Wie Alexander und Nogueira (2007a) beschreiben, ist die mit dem Preis verbundene Minimaldifferenz (MV) Gesamtderivative eine andere Delta, die eine nicht-nullartige Preis-Wochentums-Korrelation berücksichtigt, aber sie ist modellabhängig. Die Autoren sind jedoch nicht in der Lage, zwischen den empirischen Ergebnissen von Lee (2001) zu unterscheiden, die sich aus der Verwendung von MV Delta ohne Modell und MV Delta, das auf einem unvariablen Modell unterschiedlicher Größen basiert. Lee (2001) ist auch der MV Delta-Smile-Adjuster, d. h. er fügt einem Punkt zu BS delta hinzu, der die empirischen Eigenschaften der impliziten Wochentums-Smile-Kurve verwendet.

Die Standardpraxis ist es, mit einfachen modellosen Anpassungen an der Delta-BS zu handeln, um ihre Risikogrenze zu hedgen, da diese als sogenannte stabilen Finanzierungsrisiken betrachtet werden, d.h. die Anpassungen an der Delta-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-BS-

Der Zweck dieses Artikels ist es, die erprobten Anwendungen von Random Volatility-Price-Modellen zu untersuchen, die auf verschiedene Smiley-Implied-Kurven und andere Smiley-Adjustment-Kurven für Bitcoin-Optionen angewendet werden. Die Autoren haben eine Reihe von Random Volatilitäten für Bitcoin-Optionsmodelle für spezielle Zeiträume betrachtet. Zum Zeitpunkt der Erstellung dieses Artikels wurden nur wenige Studien zu Bitcoin-Optionsmodellen veröffentlicht. Siu und Elliott, Jalan et al. (2021), Chen et al. (2021) und Chen und Huang et al. (2021) untersuchten zwar die nachgewiesenen Anwendungen von Random Volatility-Price-Modellen, aber kein Papier untersuchte ihre Hedging-Performance. Hou et al. (2020) betrachteten eine Reihe von Random Volatilitäten für spezielle Zeiträume für Bitcoin-Optionen. Duffie et al. (2020) haben eine Reihe von wichtigen Ergebnissen vorgelegt, die die Bedeutung von Sprung- und Synchronschwankungen hervorheben.

Im Gegensatz zu Matic et al. (2021) verglichen wir nicht die Options-Hedging-Performance verschiedener randomisierter Volatilitätsmodelle. Ein großer praktischer Vorteil unserer Studie ist, dass alle Delta-Werte sehr einfach zu berechnen sind. Da alle Informationen in einer direkten, soliden, modelfreien Weise aus der Volatilitäts-Smile-Kurve abgeleitet werden, ist keine Modellkalibration erforderlich.

Wir konzentrieren uns auf kurzfristige Optionen mit einer Laufzeit von 10 bis 30 Tagen, die im Vergleich zu Optionen, die von Matic et al. (2021) untersucht wurden, viel mehr Liquidität und einen breiteren Ausübungsspielraum haben. Wir haben dies gewählt, weil Bitcoin-Optionen nur 20% des gesamten Handelsumsatzes ausmachen, wenn sie zwischen einem und drei Monaten ablaufen, während es bei Optionen mit einem Ablaufdatum von 30 Tagen oder weniger etwa 80% des gesamten Handelsumsatzes aus Bitcoin-Optionen ist. Außerdem benötigen wir eine angemessene Smiley-Kurve, um die Smiley-Range für BS Delta anzupassen, die für diese kurzfristigen Optionen eine beträchtliche Liquidität hat.

Wir haben nur dynamische Delta-Hedges untersucht, die regelmäßig wieder ausgeglichen werden, und zwar alle acht Stunden zur Zeit der Zahlung der Mittel oder jeden Tag um 00:00 UTC. Die Wahl des Experimentaldesigns basiert auf den Merkmalen des Bitcoin-Optionsmarktes, die neu sind und daher später in detail erklärt werden. Die Handelskosten der Futures sind viel kleiner als die der Optionen. Zum Beispiel variieren die Preiskosten von Futures-Kontrakten von etwa 1 bis 5 Basispunkten, je nach Verfalldatum, aber die kurzfristigen Parity-Optionen, die üblicherweise für Pony-Hedges verwendet werden, liegen in der Regel bei etwa 200 bis 300 Basispunkten.

Im nächsten Abschnitt wird der Markt für Bitcoin-Optionen und Futures beschrieben; im dritten Abschnitt werden die Eigenschaften der impliziten Volatilitätsoberfläche von Bitcoin und Aktien indiziert und ihre Eigenschaften unterschieden; im vierten Abschnitt wird unser Beweisrahmen beschrieben, in dem jeder Hedgequote als angepasste BS-Formel eingeführt wird; im fünften Abschnitt werden unsere Daten beschrieben; im sechsten Abschnitt werden die Ergebnisse der Beweise vorgestellt; im siebten Abschnitt wird eine Zusammenfassung durchgeführt.

2. Bitcoin-Optionen und Futures

Zum Zeitpunkt der Erstellung dieses Artikels werden sechs große Kryptowährungsbörsen Optionsgeschäfte für Bitcoin und andere Währungen sowie einige Token anbieten. Der durchschnittliche tägliche Gesamtumsatz von fast 1 Milliarde US-Dollar für den Dezember 2021 erreichte im Besonderen einen neuen historischen Höchststand. Insbesondere der Umsatz von Bitcoin-Optionen stieg kürzlich auf ein neues Niveau, wobei der monatliche Durchschnitt von Januar 2020 bis Dezember 2021 mehr als verdoppelt und die Lagerbestände um mehr als das Sechsfache erhöht wurden. Die überwiegende Mehrheit der Transaktionen erfolgte an der Derbit Optionsbörse, die den Handel in die Panamese Währung verlagert hat, um nicht nur die internationalen Standards oder sogar die Regulierung, die die Interessen der Kunden schützt, die von der US-amerikanischen Kommoditätshandelskommission (CFTC) festgelegt wurden, zu vermeiden.

Der enorme Handelsvolumen auf der Deribit macht sie zu der attraktivsten Börse für die Untersuchung von Kryptowährungsoptionen jeglicher Art. Auch wenn die CME (und einige andere Börsen) nur Bitcoin-Optionen auflisten, sind nur 10% bis 15% der Bitcoin-Options-Traditionen allein auf diesen Exchanges zu verdanken. Deribit macht mehr als 90% des Bitcoin-Options-Tradings aus. Anmerkung 7 Ein Grund dafür ist möglicherweise, dass Deribit rund um die Uhr arbeitet, während die CME nur täglich arbeitet. Ein anderer Grund ist möglicherweise, dass Deribit Optionen verwendet, um Bitcoins zu begleichen und zu begleichen, auch wenn ihr Symbol der BTC-Index ist.

Ob Bitcoin in einem Geldmarkt im herkömmlichen Sinne existieren kann, ist eine umstrittene Frage (Sauer, 2016), aber ein hochaktives dezentrales Geldmarkt für Bitcoin (und andere Währungen und Token) existiert in vielen Ertragsfarmen und verschiedenen Liquiditätspools.

Unabhängig davon, welche Art der Absicherung gewählt wird, ist die Absicherung selbst sehr einfach. Der Händler eröffnet eine Position in der Option und errichtet eine entgegengesetzte Position in dem Basiswert, wobei die Positionsgröße dem Deltawert der Option entspricht. In den traditionellen Märkten sind Absicherungen in der Regel Futures-Kontrakte mit der gleichen Laufzeit wie Optionen, da der Abrechnungspreis kein leicht handelbares Instrument ist. Für den BTC-Index gelten die gleichen Kommentare, da er auf den durchschnittlichen Tokenpreisen auf mehreren verschiedenen Börsen basiert.

Bitcoin-Optionen sind auch ein Hedginginstrument, das einzigartige Kontrakte für den Kryptowährungsmarkt verwendet. Diese Kontrakte, die häufig als dauerhafte Futures, oder dauerhafte Tauschgeschäfte oder einfach nur als dauerhafte Zinsverträge bezeichnet werden, sind die bislang beliebtesten Kryptowährungs-Derivatentypen. Ihre Preise sind eng mit dem Bargeld verknüpft, werden mit einem Zinszahlungspapier verwendet, der automatisch alle acht Stunden einen kleinen Teil der Nettoposition auszahlt oder empfängt. Die Berechnung dieses Prozentsatzes, die als Zinsgebühr ausgeschrieben wird, wird von den Börsen variiert.

Auf den weltweit größten Kryptowährungs-Cash- und Derivatenaustauschs Coinbase machen zwei Drittel der gehandelten Produkte mehr als 65% aller Term-To-Future-Trading-Kontrakte aus. Dieses Verhältnis zwischen Cash- und Derivaten scheint das Maß für den Kryptowährungsmarkt zu sein, da der Bericht von CryptoCompare (2022) zeigt. Zum Zeitpunkt der Erstellung dieses Berichts berichten acht Kryptowährungs-Exchanges über einen durchschnittlichen Tageshandel von Futures von über 1 Milliarde US-Dollar, von denen der Großteil auf Term-To-Future-Trading zurückzuführen ist.12 Hier werden ungeregelte Exchanges wie Coinbase, OKExbit und Bybit mehr als 65% aller Term-To-Future-Trading-Tradings ausmachen.

Schaubild 1. Durchschnittliche Tageshandelshöhe der Deribit-Futures und -Pflichten.

Abbildung 1 zeigt den durchschnittlichen Tageshandelbetrag für dauerhafte Kontrakte (blau) und für alle anderen Futures-Kontrakte (rot) zwischen Januar 2020 und Januar 2022. Der Tageshandelbetrag wird berechnet anhand der Gesamtzahl der in 24 Stunden auf Deribit gehandelten Kontrakte multipliziert mit ihrem Nennwert von 10 USD und dem Durchschnitt der letzten sieben Tage. Das Ergebnis wird in Milliarden USD einheitlich berechnet.

Tabelle 1. Handelsvolumen und ungebundene Verträge bei Deribit Bitcoin-Derivaten.

3. Bitcoin beinhaltet Volatilität

Abbildung 2 zeigt die empirische Dynamik der impliziten Volatilitätskurve, die aus der Deribit-Option abgeleitet wurde und eine Zeitspanne von zweieinhalb Jahren in einer täglichen Struktur darstellt. Die Währungsachse zeigt die implizite Volatilitätskurve des Preises von Null-Powder-Optionen zu Null-Powder-Powder-Optionen, wobei die Währung der Tiefen-Null-Powder-Optionen 0,7 ist und die Währung der Tiefen-Null-Powder-Optionen 1,3 ist, während die Währung der Platt-Powder-Optionen und der Null-Powder-Optionen 1 ist, und wir haben die Daten so verarbeitet, dass sie die Währungsniveaus dieser Optionen mit einer festen 30-Tage-Frist darstellen. Weitere Details zu den Daten und ihren Filtern werden in den folgenden Abschnitten gegeben.

Abbildung 2. Bitcoin beinhaltet eine Volatilitätskurve.

Die implizite Volatilitätskurve der 30-Tage-Festlaufzeit von Bitcoin-Optionen umfasst tägliche Daten vom 1. Januar 2020 bis zum 30. Juni 2022, die aus null- und wertoptionen gewonnen wurden. Der Ausübungspreis bewegt sich von den unteren 30% des aktuellen Basis-Bitcoin-Indexwertes bis zu den oberen 30%.

Die Form der Kurve ändert sich jedoch im Allgemeinen sehr stark im Laufe der Zeit. Kurz nach dem Black Thursday-Fall im März 2020 fiel der Bitcoin-Preis in wenigen Stunden um mehr als 30% und die implizite Volatilitätskurve entwickelte sich zu einer negativen Schrägform, die typisch für die Aktienindexoptionen ist, nämlich eine Volatilität von Null-Powder-Optionen, die weit höher ist als die der Null-Powder-Optionen. Im Allgemeinen jedoch ist die implizite Volatilität von Bitcoin-Optionen wieder viel höher als die der Aktienwährungsschrägungen.

Abbildung 3. Bitcoin impliziert Volatilität und ATM-Abweichungen.

Die Grafik zeigt die implizite Volatilitätskurve für Bitcoin-Optionen mit einer Laufzeit von 30 Tagen zwischen dem 1. Januar 2020 und dem 30. Juni 2022.

Aufgrund unserer Probendaten scheint die implizite Volatilität der ATM (flat) am niedrigsten Punkt der Smiley-Kurve zu sein und zeigt eine negative Verzerrung für die meiste Zeit. Im Gegensatz zu Aktienoptionen zeigt die Smiley-Kurve jedoch eine deutliche positive Verzerrung während hoher Volatilitäten. Zum Beispiel erhöhte sich die Verzerrung der Smiley-Kurve während des Bitcoin-Aufstiegs im Juni 2021 und ist seit einigen Monaten positiv verzerrt.

Einige Merkmale ähneln jedoch den Merkmalen der impliziten Volatilität von Aktienindexoptionen: i) die Volatilität von unterschiedlichen Wahrheitsgraden ist stark mit der Ebene der Gleichlaufzeitkorrektur verbunden, wie in Abbildung 3 dargestellt; ii) die implizite Volatilitätsfriststruktur von Bitcoin zeigt regelmäßige Schwankungen zwischen umgekehrten Früchten mit hohen und relativ ruhigen positiven Früchten.

Abbildung 4. Die implizite Volatilitätsfriststruktur von Bitcoin.

Die implizite volatile Laufzeitstruktur von Bitcoin-Optionen, einschließlich der festen Verfallstermine von 10, 20 und 30 Tagen, wird auf Basis der Berechnung der Ausgleichsoptionen für den Zeitraum von 1. Januar 2020 bis 31. Dezember 2021 ermittelt. In relativ ruhigen Zeiten zeigt sich die Laufzeitstruktur positiv, während während des Zusammenbruchs (insbesondere im März 2020 und Juni 2021) das Gegenteil der Laufzeitstruktur zeigt sich).

Wir führen den Rest dieses Artikels aus, indem wir die Eigenschaften von Bitcoin-Optionen und Futures nutzen, die wir oben betont haben. Eine Person, die Bitcoin langfristig hält, könnte eine Null-Powder-Option kaufen, um einen starken Preisrückgang zu verhindern und eine angemessene Gegenleistungsposition zu berücksichtigen. Allerdings sind Marktteilnehmer und andere professionelle Händler aktiv an dynamischen Delta-Hedging beteiligt, da das Risiko der Hedgingoptionen für sie als Liquiditätsanbieter wichtig ist. Sie können DeltaBS verwenden, um diese Absicherung zu vollenden, aber da Aktienoptionshändler die Lächeln-Kurve allgemein verwenden.

4. Absicherungsquote

In unserem Experimentaldesign haben wir eine Standard-Europäische Option auf Bitcoin-Index-Futures geschrieben, die einen Bitcoin wert sind, und sie werden durch das Halten einer bestimmten Anzahl von Multi-Head-Positionen von Futures-Kontrakten abgesichert. Eine T-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-Futures-

Hierbei ist δBS das Standard-BS-Delta, νBS die Volatilitätsempfindlichkeit des BS-Optionspreises (βega) und σF=∂σ/∂F die Volatilitätsempfindlichkeit des Preises, d.h. die Veränderung der impliziten Volatilität der Veränderungen des Basisvermögens. Während BS delta und vega eine geschlossene Formel haben, die leicht zu berechnen ist, ist es relativ schwierig, σF zu quantifizieren. Es gibt verschiedene Methoden.

Die erste Anpassung an die BS-Delta, die wir diskutiert haben, hat ihre Wurzeln in verschiedenen Methoden, um die lokalen Volatilitäten unterschiedlich zu parametrieren, je nachdem, ob es sich um den aktuellen Zustand des Marktes oder um die Marktmechanismen handelt. Beginnend mit den klassischen Arbeiten von Dupire (1994) und Derman et al. (1996), wurde das Konzept der lokalen Volatilität in einer breiten akademischen Literatur weiterentwickelt. Hier ist besonders interessant das klebrige Modell von Derman (1999), das bei der Hedging-Aktienindexoption beansprucht wird und verschiedene lokalen Volatilitätsparameter an den Binärbaumknoten der simulierten Preisentwicklung der Basiswerte anwendet.

Unter ihnen steht σK=∂σ/∂K für die Volatilität in Bezug auf die Derivate der Pflichtpreise, wobei k von der aktuellen Marktmechanik abhängen sollte. Tatsächlich hat Derman (Dermann 1999) drei verschiedene Stichmodelle eingeführt, um das Verhalten der lokalen Volatilität unter verschiedenen Marktmechanismen zu beschreiben. Der Stichmodell beschreibt eine Trendmarktlage, in der er die Volatilität unabhängig von den zukünftigen Preisänderungen des Basiswerts vermutet, und wie die BS-Annahme, dass sie konstant ist und für jede Option gleich ist. Unter diesem Mechanismus ist der delta-delta gleich.

Crépey (2004) und Alexander et al. (2012) erweitern die Annäherungsformel (2) und fügen die Zustandsabhängigkeit von k hinzu. Hinzu kommt, dass einige algebraische Operationen, die durch die Kombination der Gleichungen (1) und (2) von Alexander et al. (2012) mit den Gleichungen (3) von Alexander und Nogueira (2007) b) durchgeführt wurden, zeigen, dass die Lächelnskurve von Bates (2005) impliziert, dass die nicht-maßstabige Delta (in Alexander und Nogueira (2007a) verbreitet wird) annähernd identisch ist mit der klebrigen Währung (SM).

Angesichts der hohen Volatilität von Bitcoin ändert sich die Reichweite der verfügbaren Ausübungspreise im Laufe der Zeit erheblich. Um daher einen Rahmen zu bieten, in dem Optionen mit den gleichen Eigenschaften in längeren Zeiträumen untersucht werden können, wechseln wir daher von Ausübungspreisen zu monetären Indikatoren. Wir definieren die monetäre m als m=K/F und geben nun die implizite Volatilität mitθ (m, TF) =σ (mK, TF) an.

Wir haben die lokale Volatilitätshypothese von Derman (1999) verwendet, um die Volatilität - PreissensitivitätθF zu schätzen. Die Baumstrukturen, mit denen die Optionspreise simuliert werden, unterscheiden sich auch je nach den drei möglichen Marktmodellen: Steady-Trend-Markt (SS), Zwischenmarkt (SM) und Sprungbruchmarkt (ST).

Wie schon zuvor, ist das modellose, lächelnd implizite, maßstabsunveränderliche Delta von Bates (2005) und Alexander und Nogueira (2007a) das gleiche wie das steifende Währungsmaß (SM) Delta von Derman und Kani (1994).

Als nächstes betrachten wir den Mindestdifferenz (MV) Delta δmv, das ist das momentane Differenz-Delta, das die Delta-Hedging-Kombination minimiert. Hier folgen wir einem Ansatz, der von Bakshi et al. (1997) eingeführt wurde, um die lokale Differenz zu minimieren. Lee (2001) hat gezeigt, dass diese Anpassung der MV-Hedging-Ratio derselben Größe ist wie das SM-Gelächter, das Delta impliziert, aber das Symbol ist umgekehrt, nämlich:

Wie in Kapitel 4 von Alexander (2008) ausführlich erläutert wird, gibt es auch in anderen Texten über implizite Volatilität Hinweise darauf, dass das implizite Delta eine unintuitive Schwankungs-Schwankungs-Dynamik erzeugt, was auch bedeutet, dass die SM-Anpassung bei einer hohen und negativen Kurs-Wochentums-Korrektur (d. h. bei offensichtlicher negativer Verzerrung) eine deutlich schlechtere Hedging-Performance erzeugt als die von BS Delta. Da die MV-Anpassung im Gegensatz zum SM-Anpassungssymbol steht, sollte MV Delta überlegen sein als bei den Hedging-Aktienindex-Optionen und bei Optionen mit offensichtlich negativer Verzerrung auf jeder impliziten Volatilitätskurve.

Unsere endgültige Lächeln-Kurvenanpassung Delta, geschrieben als δhw, wurde von Hull und White (2017) vorgeschlagen. Sie wurde empirisch geschätzt, indem die Absolute-Werte der täglichen PnL ΔP der BS-Delta-Hedge-Kombination durch eine sekundäre Beziehung zwischen der Absolute-Wert der PnL ΔP und der BS-Delta ermittelt wurden. Das heißt:

Darin ist ΔF das tägliche PnL der Futures. Die Berechnung des Hull- und White-HW-Deltas folgt, nachdem die Parameter-Schätzungen (aˆ, bˆ, cˆ) aus historischen Daten gewonnen wurden:

Dabei drücken δBS und νBS die klassischen BS Delta und vega aus. Der Preis des aktuellen Kennzeichners wird als F dargestellt, dessen Veränderung als ΔF und τ die Auslaufzeit der Option darstellt. Die Autoren berechnen die Schätzung (aˆ, bˆ, cˆ) in einem 36-monatigen Rollfenster und analysieren dann die Hedging-Performance von HW Delta, um den Standardausfall der täglichen Hedging-Fehler zu minimieren, gegenüber Standarddifferenzen für S&P 500- und andere Indexoptionen in einem Zeitraum von 11 Jahren ab Januar 2014. Sie finden, dass die Verwendung von HW Delta bis zu 26% erhöht werden kann. Andere Schlussfolgerungen basieren ausschließlich auf den Aktienindexperioden.

Dieser Teil umfasst eine Reihe von einfachen Anpassungsmethoden für BS Delta, die in früheren Studien zu Aktienindexoptions- und anderen traditionellen Anlageklassen ihre Wirksamkeit bewiesen haben. Die Frage ist nun, ob sie auch im Bitcoin-Optionsmarkt eine bessere Wirkung als einfache BS Delta-Hedging zeigen können. Der Bitcoin-Optionsmarkt ist relativ unreif für den traditionellen Optionsmarkt, dessen volatile und richtungsorientierte Kaufdruck deutlich höher ist, und die Markthersteller ihre Bestände auf der Grundlage dieser Druckinformationen neu ausgleichen.

Wir erklären dies wie folgt:

1. Bei m = 1, also bei einem Gleichtragsoption, ist die MV-Anpassung die gleiche wie bei einer ST-Anpassung; ansonsten ist die MV-Anpassung größer als die ST-Anpassung, wenn m> 1, also bei einer nullwertgläubigen Option; bei m < 1, also bei einer nullwertgläubigen Option, ist die MV-Anpassung kleiner als die ST-Anpassung;

2. Die MV-Anpassung ist immer gleich groß und in entgegengesetzter Richtung wie die SM-Anpassung, während die SM Delta auch die modellose Skalierungsunveränderlichkeit (SI-Delta) von Alexander und Nogueira ist (2007a), d. h. das Delta eines zufälligen, schwankenden Sprungprozesses von jeder Art des Bitcoin-Optionspreises;

3. Die Symbole für die Anpassung von ST, SM und MV hängen von der Verzerrungθm der impliziten Schwankungskurve ab. Wenn es eine negative Verzerrung hat, sind MV und ST Delta kleiner als BS/SS Delta und SM/SI Delta größer als BS/SS Delta. Wenn es eine positive Verzerrung hat, sind MV und ST Delta größer als BS/SS Delta und SM/SI Delta kleiner als BS/SS Delta.

5. Daten

Wir haben eine einzigartige Datenbank erstellt, in der wir stündliche Schnappschüsse der Optionsmarktdaten von Deribit über mehrere Jahre hinweg mit Hilfe der Exchange API erhalten. Diese Daten enthalten alle Optionen, Futures und Bestandsbuchinformationen der ersten Stufe von Daueraufträgen. In diesem Artikel verwenden wir nur Daten, die alle acht Stunden und mit einer täglichen Frequenz erfasst werden, und zwar für den Zeitraum vom 1. Januar 2020 bis zum 1. Januar 2022, also zwei Jahre.

Abbildung 5 zeigt den täglichen Abrechnungspreis des BTC-Index (d. h. den Preis bei 00:00 UTC) und die Gesamtzahl der Transaktionen aller Optionen und Paktverträge auf Deribit in den letzten 24 Stunden (in Nennbeträgen, in Milliarden US-Dollar). Die Futures sind hier nicht enthalten, da sie deutlich unter dem Handel mit Paktverträgen und Optionen liegen, wie in Abbildung 1 gezeigt. Während des Jahres 2020 stieg der BTC-Index relativ langsam von einem Niveau von etwa 7.000 US-Dollar bis zum ersten großen Bullmarkt, der Anfang November 2020 begann, und der Wert aller Optionen und Paktverträge auf Deribit stieg im Laufe des Jahres um fast 28.000 US-Dollar.

Abbildung 5. BTC-Index-Evolutions und tägliche Handelsvolumen von Derivaten.

Die Abbildung oben zeigt den Preis des BTC-Index pro Tag bei 00:00 UTC (oben, blauer Chart) während der zweijährigen Stichprobe ab dem 1. Januar 2020; den entsprechenden 24-Stunden-Tradingvolumen aller Optionen von Deribit (mitten, schwarzer Chart); sowie den täglichen Handel mit dauerhaften Verträgen (unten, roter Chart).

Alexander et al. (2022b) haben viele Unterschiede zwischen dem Bitcoin- und dem S&P 500-Optionsmarkt aufgezeichnet. Einer der Hauptunterschiede ist der prozentuale Anteil an Handel mit kurz-, mittelfristigen und langfristigen Optionen, die auf dem Markt abgewickelt werden. Um sehr deutlich zu sehen, haben wir die Anzahl der wöchentlichen Verträge in den übrigen Zeiträumen der S&P 500-Index relativ kurzfristig ausgewählt, da der Großteil der Transaktionen zwischen einem Monat und drei Monaten stattfindet. Der Prozentualanteil der prozentualen Periode ist jedoch das Ergebnis unserer Studie, dass der Prozentualanteil der prozentualen Transaktionen in den übrigen Zeiträumen der S&P 500-Institute stabil ist. Der Prozentualanteil der prozentualen Transaktionen zwischen kurz- oder kurzfristigen Optionen in der S&P 500-Index ist jedoch nicht so hoch, dass der Prozentualanteil zwischen kurz- oder kurzfristigen Transaktionen in der S&P 500-

Abbildung 6. Das Auslaufdatum der Handelsoptionen.

Die linke Zeile zeigt den Anteil der kurzfristigen Optionen (bis zu zwei Wochen, dunkelgrau), der mittelfristigen Optionen (zwischen zwei Wochen und einem Monat, mittlere Grau) und der langfristigen Optionen (mehr als einen Monat, hellgrau) am Gesamtvolumen der Transaktionen. Die schwarze Linie zeigt die Gesamtzahl der Transaktionsoptionskontrakte. Alle Daten sind die wöchentlichen Durchschnittswerte der Tagesdaten.

Als nächstes diskutieren wir Datenfilterung. Selbst wenn wir uns nur auf Optionen mit einem Monat Verfall konzentrieren, müssen wir immer noch einige veraltete Preise filtern, d.h. Optionspreise, die in den vergangenen 24 Stunden mit null Handelsvolumen gehandelt wurden. Für Daten mit begrenzten Futurekontrakten ist Liquidität auch ein Schlüsselfaktor, da veraltete Futurespreise zu Fehlern bei der Delta-Berechnung der Option führen. Daher sind wir eher geneigt, den richtigen Futurespreis mit einem P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-

Um eine kontinuierliche historische Reihenfolge der Preise für jede Option zu erhalten, konstruierten wir die Preise für synthetische Fixed-Term-Kontrakte mit einem gegebenen Fälligkeits- und Währungsgrad von etwa 30% unterhalb der Bitcoin-Spezifikationsstufe. Für kurze Optionen wurde die mittlere Laufzeit von 20 Tagen mit einer festen Laufzeit von 10 Tagen angegeben, während wir für längere Laufzeiten die Laufzeit von 30 Tagen berücksichtigten. Da Bitcoin-Preise häufig tendenziell schwanken, ist es unmöglich, dass die gleiche Kursdifferenz in längeren Zeitabschnitten verglichen werden kann, weshalb wir auch die richtige Währungs-Spektrum-Spektrum-Spektrum-Lösung wählten. Wir fanden, dass es genügend Transaktionen in der Grenze von etwa 30% unterhalb der Bitcoin-Spezifikationsstufe gibt.

Zuerst ergänzen wir die impliziten Optionspreise durch Insertierung der impliziten Volatilitätskurve unter der unabzinslichen Begrenzung der impliziten Volatilitätskurve, die in Fengler (2009) vorgeschlagen wurde. Als nächstes ergänzen wir die impliziten Optionspreise durch Insertierung der impliziten Volatilitätszeitstruktur, um eine feste Fälligkeit, eine feste Währung zu erhalten, und nutzen diese implizite Volatilität, um die synthetischen Optionspreise zu erzeugen.16 Um die Möglichkeit eines Kalender-Suchs zu vermeiden, sorgen wir dafür, dass die Gesamtimplizität mit zunehmender Verzinsung der Fälligkeit steigt.

Als Nächstes werden wir einige empirische Merkmale von Bitcoin-Forex-Kontrakten untersuchen, bevor wir eine Hedging-Studie durchführen, und sie mit Fixed-To-Future-Kontrakten vergleichen. Die Abrechnungspreise von Bitcoin-Forex-Optionen sind nicht handelbare Kontrakte, so dass wir Futures oder Forex-Kontrakte als Hedging-Instrumente verwenden müssen. In diesem Fall hängt die Effektivität der Hedging-Heffizienz der Verwendung von Futures-Kontrakten gegen Optionen von Faktoren wie Schwankungen des Quarters ab. Um diese Schwankungen zu beschreiben, beschreibt Abbildung 7 ((Die Differenz zwischen dem BTC-Index für den Futures-Marktpreis oder das Forex-Kontrakt) und der BTC-Markt, abgesehen vom BTC. Dieser Prozentsatz kann sogar auf einer positiven Basis betrachtet werden.

Abbildung 7. Unterschiede zwischen Terminkontrakten und Futures.

Der Futurespreis minus der BTC-Index, ausgenommen den BTC-Index, wird in Basispunkten dargestellt. Rechtsseiten der Schnittmesser messen das Marginalprozentsatz für dauerhafte Futures (schwarz) und links die Schnittmesser messen das Marginalprozentsatz für Futures mit festen Verfallsdaten von 10, 20 und 30 Tagen (blau, rot und grün) ‒ die Probenahme umfasst einen Zeitraum von zwei Jahren ab Januar 2020 und wurde täglich um Mitternacht UTC aufgenommen.

Ein weiterer Faktor, der den Erfolg einer dynamischen Delta-Leistungsstrategie beeinflusst, sind die Handelskosten. Wenn die Kauf- und Verkaufspreise der Hedging-Instrumente groß sind, kann ein häufiger Ausgleich der Delta-Leistungen (in unserem Beispiel nicht nur täglich, sondern auch alle 8 Stunden) die Hedging-Performance erodieren. Für eine gegebene Option kann der Delta-Wert jedoch nicht zwischen extrem unterschiedlichen Werten schwanken. Zum Beispiel schwankt der Delta-Wert der nahe flachen Abonnementoption immer nahe 0,5 unabhängig davon, welches Modell verwendet wird - siehe Beispiel von Vähämaa (2004).

6. Nachweisliche Hedge-Studien

Inspiriert von unserer Diskussion in den Abschnitten 2, 3 und 5, betrachten wir eine Umkehroption als eine gewöhnliche Vannevarie-Forex-Option, d. h. dass wir den aktuellen Wert der Option verwenden, um ihren Bitcoin-Preis in einen entsprechenden Dollar-Wert zu konvertieren. Wir wählen eine Kombination aus einer Reihe von Futures und einem festen Verfall der Optionspreise von 10, 20 und 30 Tagen, wobei die Währungswahl der Option zwischen 0,7 und 1,3 liegt. Unsere Daten wurden konstruiert, um den Ausgleich alle 8 Stunden oder jeden Tag zu rebalancieren, und die Probenahmen über einen Zeitraum von 2 Jahren von 1. Januar 2020 bis 1. Januar 2022 verteilen, und wir teilen sie in etwa in zwei kleine Probenahmen, die die Ergebnisse der Kombination des Auszahlungszeitraums zeigen.

Mit Ausnahme der HW-Delta verlangen alle Deltas in Hull und White (2017) von uns, die Steigung der impliziten Volatilitätskurve zu berechnen, wenn wir die Hedging-Kombination rebalancieren. Wir haben verschiedene numerische Techniken untersucht, um die Derivate der impliziten Volatilitätskurve zu berechnen, und fanden, dass die passenden dreifachen Multiplikate der einfachste und genaueste Weg sind. Aufgrund der Steigung, die wir anhand unserer Zahlen berechnet haben, wenden wir für jede Option, je nach ihrer Währung und ihrem Verfallsdatum, die BS-Delta und Vega an, die mit der Standard-BS-Formel berechnet wurden.

Wir haben die Standard-F-Prüfung der Nutzerdifferenz verwendet, um unsere Ergebnisse mit dem BS-Delta als Benchmark zu zeigen, also dem Sticky Strike (SS) Delta in ((10); zuerst zeigt Tabelle 2 die Ergebnisse der Währungshöhe bei 7-Tage-, 1-Tage- und 3-Tage-Horizont-Hedging zwischen 10.20 und 30.0, wobei jede Option mit einem entsprechenden Fixed-Maturity-Futureschaden abgesichert und alle 8 Stunden rebalanciert wird.

Tabelle 2. F-Test-Hedging-Ergebnisse ((8 Stunden nach dem Rebalancieren, feste Fälligkeits-Futures)).

Anmerkung: Die Signifikanz der Seitendifferenz und der Einseitige-F-Prüfung beziehen sich auf die Null-Annahme.Die Alternative HypotheseWir vergleichen die Differenzen der Delta-Hedging-Fehler gegenüber der Differenz bei der Verwendung von BS-Delta-Hedging und teilen die zweijährige Probe in zwei Teile. Wir verwenden Optionen mit drei verschiedenen Laufzeiten, von 0.7 bis 1.3, mit OTM-Tropfoptionen bei monetärer <1 und OTM-Schattoptionen bei monetärer >1. Für H, verwendet, und für die Signifikanz von 10%, 5% und 1%, das gleiche, H +.

Je größer die Effektivität des Hedges, desto kleiner ist die Differenz des Hedgefehlers, und die Effizienzsteigerung durch den Einsatz der angepassten Smiley-Kurve-Delta beträgt 1 minus diese Differenzquote. Zum Beispiel erzeugt SM (implizit Smiley) delta bei einem Hedge von 10-Tage-Optionen mit einer Währung von 0.8 eine Differenzquote von 0.562. Dies bedeutet, dass die Effizienzsteigerung von 1-0.562 = 43.8% im Vergleich zu einem BS-Delta-Hedgeingreifen sehr signifikant ist, so dass der Eintrag als +++ gekennzeichnet ist.

Betrachten wir zunächst die Ergebnisse in Tabelle 2. Dieser Teil der Stichprobe zeichnet sich durch einen langsamen, aber stabilen Preisanstieg aus, der im Einklang mit dem stabilen Trendmuster von Derman (1999) steht, und wir erwarten, dass das SS delta (BS delta) die effektivste Delta-Hedge bietet, oder dass das SM delta im begrenzten Modus dominiert. Insgesamt zeigen die Ergebnisse in Tabelle 2 ein Modell, in dem der Erfolg eines bestimmten delta-laufenden und gewinnenden BS-Hedgewerbes von der Währungsfähigkeit der Option abhängt, nicht von der Laufzeit. Zum Beispiel ist der ST-Delta-Effekt am besten für die Ausgleichsoption hinzugefügt.

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