Delta-Hedging für Bitcoin-Optionen mit einer Lächeln-Kurve

Die Zuwachsraten sind viel geringer, nur zwischen 3,1% und 7,6%.

Für alle anderen Optionen jedoch haben sich alle angepassten Smiley Curve-Delta nicht so gut entwickelt wie BS-Delta. Dies ist jedoch nicht überraschend, da der Bitcoin-Preis für den größten Teil des Jahres 2020 in einem stabilen Trend war. Die von Hull und White vorgeschlagene tatsächliche HW-Hedging-Ratio und die Lee-Mindestdifferenz von 2001 (MV-Hedging) haben sich nicht verbessert. Auch BS-Delta (außer für Flachwert-Optionen, bei denen die MV-Hedging-Hedging mit der ST-Hedging übereinstimmt) ist nicht verbessert.

Wie in Abbildungen 2 und 5 gezeigt wird, ist das Jahr 2021 von höheren Preisen, größeren Volatilitäten und einem Anstieg des Gesamtfluktuationsniveaus gekennzeichnet, wobei gleichzeitig eine flachere, aber immer noch asymmetrische Smiley-Form mit impliziten Volatilitätskurven auftritt. Im Laufe des Jahres 2021 schwankte der Bitcoin-Preis enorm zwischen 30.000 und fast 70.000 US-Dollar, wie in Abbildungen 2 und 5 gezeigt. Die 30-Tage-Smiley-Kurve wurde relativ flach gegen Ende der Periode.

Die Ergebnisse in Tabelle 3 und Tabelle 4 überprüfen die Stabilität der Ergebnisse in Tabelle 2 in zwei verschiedenen Formen: Zuerst durch eine erneute Analyse mit einer täglichen Häufigkeit (Tabelle 3) und dann durch den Einsatz von dauerhaften Verträgen anstelle der gleichen Termins als Hedging-Instrument. Die Ergebnisse in Tabelle 3 zeigen ein ähnliches Muster wie die Ergebnisse in Tabelle 2, nur dass sie insgesamt nicht so signifikant sind. Dies ist nicht überraschend, da es jetzt nur 365 statt 1095 Beobachtungen pro Jahr gibt. Sie bestätigen unsere Schlussfolgerung aus Tabelle 2, dass die Smiley-Kurve-Delta in 2021 verbessert werden kann, ohne dass etwas angepasst wird.

Tabelle 3. F-Ergebnisse der Überprüfung der Hedging (täglich rebalanciert und festen Futures)

Anmerkung: Die Signifikanz der Seitendifferenz und der Einseitige-F-Prüfung beziehen sich auf die Null-Annahme.Die Alternative HypotheseWir vergleichen die Differenzen der Delta-Hedging-Fehler gegenüber der Differenz bei der Verwendung von BS-Delta-Hedging und teilen die zweijährige Probe in zwei Teile. Wir verwenden Optionen mit drei verschiedenen Laufzeiten, von 0.7 bis 1.3, mit OTM-Tropfoptionen bei monetärer <1 und OTM-Schattoptionen bei monetärer >1. Für H, verwendet, und für die Signifikanz von 10%, 5% und 1%, das gleiche, H +.

Tabelle 4. F-Hedging-Ergebnisse der Prüfung ((8 Stunden Nachbalance, dauerhafte Verträge)).

Anmerkung: Die Signifikanz der Seitendifferenz und der Einseitige-F-Prüfung beziehen sich auf die Null-Annahme.Die Alternative HypotheseWir vergleichen die Differenzen der Delta-Hedging-Fehler gegenüber der Differenz bei der Verwendung von BS-Delta-Hedging und teilen die zweijährige Probe in zwei Teile. Wir verwenden Optionen mit drei verschiedenen Laufzeiten, von 0.7 bis 1.3, mit OTM-Tropfoptionen bei monetärer <1 und OTM-Schattoptionen bei monetärer >1. Für H, verwendet, und für die Signifikanz von 10%, 5% und 1%, das gleiche, H +.

Tabelle 4 analysiert genau wie Tabelle 2 mit einer 8-Stunden-Rebalance-Frequenz, aber bei allen Optionen mit einem dauerhaften Vertrag als Hedginginstrument. Wir sehen eine schlechte Performance-Muster bei BS delta, die genau wie in Tabelle 2 ist. Die Effizienzsteigerung ist sehr signifikant, wenn man mit SM-Delta und ST/MV-Delta-OTM-Beißeroptionen mit SM-Delta-Hedging arbeitet.

Um diese Frage zu beantworten, untersuchten wir die Differenzquoten, deren Molekül die Differenz der Sicherungsfehler für die gleichen Laufzeiten der Optionen ist, und deren Spalter die Differenz der Sicherungsfehler für die gleichen Laufzeiten der Optionen sind. Wir haben die Stichprobe wieder in zwei einjährige Zeiträume aufgeteilt und die Ergebnisse nach Delta und Optionen aufgelistet, und Tabelle 5 zeigt die Ergebnisse. In der Tabelle zeigt die Differenzquoten kleiner als ca. 1 dass eine bessere Differenz bei der Verwendung von Permanent-Kontrakten erzielt werden kann.

Tabelle 5. F-Prüfung des Futures gegen das Dauerverhältnis (Rebalance alle 8 Stunden).

Anmerkung: Die Signifikanz der Seitendifferenz und der Einseitige-F-Prüfung beziehen sich auf die Null-Annahme.Die Alternative HypotheseWir vergleichen die Differenzen der Delta-Hedging-Fehler gegenüber der Differenz bei der Verwendung von BS-Delta-Hedging und teilen die zweijährige Probe in zwei Teile. Wir verwenden Optionen mit drei verschiedenen Laufzeiten, von 0.7 bis 1.3, mit OTM-Tropfoptionen bei monetärer <1 und OTM-Schattoptionen bei monetärer >1. Für H, verwendet, und für die Signifikanz von 10%, 5% und 1%, das gleiche, H +.

Obwohl die Ergebnistabelle die gesamte relative Effizienz der Delta-Anpassungen für verschiedene Smiley-Kurven liefert, umfasst unsere zweijährige Stichprobe eine Vielzahl von Marktsystemen. Wie in Abbildung 5 gezeigt, schwankt der Bitcoin-Markt schnell zwischen Steigerungstrends, Bandschaukeln und Fallsturm. Um zu helfen zu verstehen, welche Delta unter welchen Marktbedingungen am besten funktioniert, beschreibt Abbildung 8 eine Zeitserie der Differenzquoten, d. h. die Differenz der Smiley-Kurven angepassten Delta-Kopfungsfehler auf die Seite, auf der der die Delta-BS-Kopfungsfehler abgezogen werden.

Schaubild 8. Die Absicherungsperformance der Rolls-up-Stichprobe. a) 10-Tage-Optionsergebnisse und b) 30-Tage-Optionsergebnisse.

Die Differenzquote zeigt die Performance der verschiedenen dauerhaften Options-Hedging-Ratios gegenüber der BS-Delta, die alle 8 Stunden rebalanciert wird, wobei die Differenz des Hedging-Fehlers mit den ersten 90 Beobachtungswerten berechnet wird. Wir haben die Logarithmenergebnisse für die Optionen (a) für die 10-Tage- und (b) für die 30-Tage-Periode in der zweijährigen Stichprobe aufgeführt. Die reale Linie 0 ist der Referenzwert, ein Verhältnis von mehr als 0 zeigt eine schlechte Performance gegenüber der BS, ein Verhältnis von weniger als 0 zeigt eine bessere Performance gegenüber der BS. Die obige Abbildung beschreibt die Performance der OTM-Gebühren von m = 0.8, während die oberste Abbildung in (b) die Performance der OTM-Gebühren von m = 0.7 zeigt, und die mittlere Abbildung zeigt die Performance der OTM-Gebühren von a) und b) für die ATM-Gebühren, und die Abbildung a) für

Die oberen drei Diagramme (a) zeigen die Ergebnisse der 10-Tage-Optionen und die unteren drei Diagramme (b) zeigen die Ergebnisse der 30-Tage-Optionen. In jedem Fall (a) und (b) sind die OTM-Abwertungsoptionen, die Ergebnisse von Symbol 2 bestätigen: fast über den gesamten Zeitraum haben die ST (blau) und MV (grün) Deltas schlecht abgeschnitten und liegen beide unter dem BS; gemäß den Erwartungen der Marktklassifikation von Derman (1999) verbessert sich die SM-Delta auch nicht über das Delta in Zeiten mit begrenzten Marktintervallen, aber nur wenn der Markt trendiger ist, wie zum Beispiel der erste Bullenmarkt im Januar 2021 und der zweite Bullenmarkt später im selben Jahr.

7. Schlussfolgerung

Frühere wissenschaftliche Nachweisstudien haben nur im Hinblick auf Aktienindexoptionen unmodellierte Smiley Curve-Implied und systembezogene Smiley Curve-Adjusted Delta-Hedging untersucht. Obwohl die Ergebnisse unterschiedlich sind, ist die allgemeine Schlussfolgerung, dass die Smiley Curve-Adjusted-Hedging-Ratio nur in bestimmten Fällen die Black-Scholes-Delta-Performance für Null-Bei-Optionen verbessert. Wir haben jedoch gezeigt, dass die Bitcoin-Implied-Volationsrate-Smiley-Kurve sich stark von der Aktienindex-Option unterscheidet, so dass die Wirksamkeit der Smiley Curve-Adjusted-Hedging-Ratio, die von den Forschern oft bevorzugt wird, sehr sinnvoll ist.

Wir ermutigen die Verwendung verschiedener potenzieller Anwendungen von angepassten Delten, von denen die meisten ausschließlich auf die virtuellen Beziehungen der Hedgingoptionen und die Verlängerungen der impliziten Schwankungskurve abhängen. Durch die Verwendung des einzigartigen Datensatzes der Deribit-Optionen konnten wir die Hedgeeffekte der am aktivsten auf der Deribit-Börse befindlichen Bitcoin-Optionen vergleichen, wobei der aktuellste Kurs auf dem aktuellen BTC-Index um 30% schwankt und die Verlängerungen bis zu einem Monat dauern. Wir analysierten die Differenz der Delta-Hedge-Fehler, bei der die Hedge-Instrumente nur Futures-Kontrakte mit dem gleichen Ergebnis wie die Expiration der Option und auch Perpetuity-Kontrakte sein können.

Mit dieser Methode haben wir gezeigt, dass für Nulloptionen die Risikopositionen der Smiley-Kurve mit einem impliziten (klebrigen monetären) Delta deutlich über dem Standard-Black-Scholes-Delta liegen, wobei die Effizienz in einigen Fällen um mehr als 40% erhöht wurde. Die minimale Differenzdelta ist auch besser als die BS-Delta, aber nur für die Inner-Price-Option, da sie mit dem klebrigen Baum-Delta übereinstimmt. Keine andere Smiley-Kurve-Adjustierung ermöglicht eine kontinuierliche Verbesserung der Delta-Nulloptionen, und sogar für den größten Teil des Jahres 2021 zeigt sich die Risikopositionen von Smiley-Impliziten und Nulloptionen auch.

Unsere Forschung konzentriert sich hauptsächlich auf eine solide modellose Rahmen, die auch die erste Wahl vieler Praktiker ist. Wir haben nicht in Betracht gezogen, mit irgendeinem parametrischen Zufalls- und/oder lokalen Volatilitätsmodell zu hedgen, und zwar aus dem einfachen Grund, dass die Skalierbarkeit dieser Prozesse bedeutet, dass das Delta tatsächlich modellos ist, und daher eine implizite Delta-Überschneidung mit dem in dieser Studie verwendeten Lächeln beinhaltet.

Dieser Artikel konzentriert sich auf dynamische, häufig rebalancierte Delta-Hedging, die möglicherweise dazu beitragen kann, dass Bitcoin-Optionshändler einen Wettbewerbsvorteil in einem Markt erlangen, der erst 2021 richtig reif wird. Der Bitcoin-Markt entwickelt sich jedoch so schnell, dass große professionelle Händler wie Jump Trading, Jane Street, XBTO und Cumberland DRW Bitcoin-Optionen handeln, wobei die täglichen Handelsvolumina in der Regel über 1 Milliarde US-Dollar betragen. Viele neue Verfalloptionen und Optionskontrakte werden auch ständig eingeführt, um die Nachfrage zu decken.

Erklärung

Wir bedanken uns bei den anonymen Gutachtern, deren Kommentare die Arbeit wesentlich verbessert haben.

Veröffentlichung

Die Autoren erklären, dass es keine Interessenkonflikte gibt.

Hinweis

1. Im Gegensatz dazu ist das Delta, das aus nicht-maßstabsstären Modellen wie Dupire's Lokalfluctuationsmodell oder Derman und Kani's Stichbaummodell (1994) abgeleitet wird, theoretisch nicht gleichzusetzen mit einem nicht-maßstabsstären Delta. Das Leistungsunterschieddelta ist auch kein nicht-maßstabsstärkes Delta, sondern die Gesamtderivative des Vega-Effekts, der aus einer Korrelation der nicht-null-preislichen Fluctuationsrate resultiert.

2. Zum Beispiel, wenn man sich auf die jüngstenCAIA-ArtikelEin weiterer Beitrag auf MediumArtikelundRiskalatteundStackexchangeIch bin der Ansicht, dass es eine gute Idee ist, diese Frage zu beantworten.

3. In diesem Teil der Literatur haben Nastasi et al. (2020) ein Smile Consistency Modell für Commodity Options kalibriert, um die Dynamik des Lächelns zu erfassen, während Malz (2000) erklärt, wie das Lächeln bei der Messung des Forex-Optionsrisikos berücksichtigt wird.

4. Derbit-Optionen haben zwei Tage, zwei Wochen, zwei Monate und vierteljährliche Laufzeiten von bis zu 9 oder 12 Monaten. Sie werden mit dem Derbit BTC Index gekennzeichnet. Der Index ist das Gleichgewichtsdurchschnitt der neuesten Bitcoin-Preise auf 11 Börsen, ohne höchste und niedrigste Preise, und die restlichen 9 Preise werden für die Berechnung des Indizes verwendet. Derzeit gehören diese Börsen Coinbase Pro, Gemini, Huobi Global, Itbit, Kraken, LMAX Digital und OKEx. Der Index wird jede Sekunde aktualisiert.Die Optionsnormen von DeribitDie eindeutig angegebene Kennzeichnung ist der Deribit BTC Index. Für kurzfristige Optionen reicht die Ausführungsspanne von 50% bis 150% des aktuellen BTC-Preises, für Optionen mit einer Laufzeit von mehr als 6 Monaten bis zu 800% des aktuellen BTC-Preises.

5. Siehe auchCBOE historische OptionenDie CBOE-Finanzbank ist ein führendes Finanzinstitut für Finanzinstrumente.

6. Siehe auchBitcoin-OptionshandelsvolumenundGoldman Sachs für Bitcoin-Optionen。

7. Der zweite ist CME (5%), der zweite ist OKEx (2,5%).以及FTX和Bit.comWeitere Informationen finden Sie unterDie Blockoptionen。

8. Für die Berechnung der endgültigen Erträge verwendet Deribit den BTC-Index-Durchschnitt von 30 Minuten vor dem Verfall als Abrechnungspreis.Die Optionsnormen von Deribit‒ Es ist zu beachten, dass der Deribit-Bitcoin-Optionsmarkt nicht vollständig ist ‒ Der Index selbst ist nicht handelbar und erfordert teure Kopierungen und häufige Rebalancements ‒ Der Markt ist für Händler unvollständig, da keine Informationen über die genaue Berechnung des Abwicklungswerts vorliegen. Eine ausführliche Diskussion dieser Frage ist jedoch außerhalb des Rahmens dieses Artikels und wir empfehlen eine eingehende Diskussion über Alexander et al. (2022a).

9. Siehe auch: 2022Zentralisierte Kryptowährungen im vergangenen JahrIch habe mich nicht gefreut.

10. Reverse Futures sind Futures-Kontrakte, die in Bitcoin bewertet werden. Standard-Futures und Reverse Futures verwenden beide Dollar-Werte als Kennzeichen, aber sie unterscheiden sich in der Abrechnung: Die Nominalzahl der Standard-Futures bei CME beträgt 0,1 oder 5 Bitcoins und wird in Dollar bezahlt, während die Nominalzahl der Reverse-Futures bei $1 oder $10 beträgt und in Bitcoin bezahlt wird. Auf der anderen Seite führt dieser Zahlungsmechanismus zu unterschiedlichen Gewinn- und Verlustberechnungen (PnL).

11. Siehe auchDerbit dauerhafte KapitalquoteDer Gebührensatz wird von der Bank berechnet, um den Gebührensatz zu berechnen.

12. Siehe auchDer Blockodermit einem Durchmesser vonEs ist wichtig zu beachten, dass mehr als acht Börsen ein ungewöhnlich hohes Handelsvolumen aufwiesen.

13. Coleman et al. (2001) und viele andere Arbeiten vertreten diese Annäherungsmethode.

14. Derman (1999) bezeichnet das SS-Modell als eine Replikation des BS-Modells mit einem impliziten Schwankungsbaum.

15. Mit Ausnahme der sehr tiefen Null-Pow-Down-Optionen ((m=0.7) und der Pull-Off-Optionen ((m=1.3)) werden diese Optionen in der Kategorie der kurzfristigen Verfallstage nicht umfangreich gehandelt. Wir konnten nur 75% der Zeit die Synthesepreise berechnen und schlossen diese Optionen daher in unseren endgültigen Ergebnissen aus.

16. Natürlich unterscheidet sich der PCP-Wert für jedes Ausgangsniveau. Da der Handel in der Regel auf ATM-Optionen konzentriert ist, ist es schwierig, ein ITM/OTM-PCP-Wert zu finden, bei dem gleichzeitig ein Auf- und Abwärtstransaktionsgeschäft aktiv ist. Wir verwenden daher die PCP-Werte, die von den ATM-Optionen zurückgeschoben werden.

17. Da wir z. B. immer dauerhafte Verträge im Aufbau halten, müssen die Hedger Kapitalgebühren zahlen, wenn die Marge des dauerhaften Vertrags aktiv ist, und wenn die Marge negativ ist, erhält der Hedger Kapitalgebühren. Das Gegenteil ist der Fall bei Hedge-Mehrschriftpositionen. Wie auch immer, aus Abbildung 7 können wir sehen, dass die Marge von dauerhaften Verträgen variiert, manchmal positiv, manchmal negativ.

18. Für ATM-Optionen sind ST und MV-Delta identisch und somit das gleiche Ergebnis, aber nur in diesem Fall.

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Der Text stammt von:https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14697688.2023.2181205