Medir el riesgo y el rendimiento - Una introducción a la teoría de Markowitz

La semana pasada, al introducirCómo medir el riesgo de posición - Introducción al método VaR, se mencionó que el riesgo de una cartera no es igual a los riesgos de los activos individuales y está relacionado con su correlación de precios. Tomando dos activos como ejemplo, si su correlación positiva es muy fuerte, lo que significa que suben y caen juntos, entonces las inversiones diversificadas no reducirán el riesgo. Si hay una fuerte correlación negativa, las inversiones diversificadas pueden reducir el riesgo significativamente.

La Teoría Moderna de la Cartera (MPT), propuesta por Harry Markowitz en 1952, es un marco matemático para la selección de carteras. Su objetivo es maximizar los rendimientos esperados eligiendo diferentes combinaciones de activos de riesgo mientras se controla el riesgo. La idea central es que los precios de los activos no se mueven completamente sincronizados entre sí (es decir, existe una correlación incompleta entre los activos), y el riesgo general de inversión se puede reducir a través de una asignación diversificada de activos.

El concepto clave de la teoría de Markowitz

1. Rentabilidad esperada: Es el rendimiento que los inversores esperan recibir de la tenencia de activos o de una cartera de inversiones, generalmente previsto sobre la base de datos históricos de rendimiento.

¿Dónde?es el rendimiento esperado de la cartera,es el peso del i-ésimo activo de la cartera,es el rendimiento esperado del activo i.

2. El riesgo (volatilidad o desviación estándar): Se utiliza para medir la incertidumbre de los rendimientos de las inversiones o la volatilidad de las inversiones.

¿Dónde?representa el riesgo total de la cartera,es la covarianza del activo i y del activo j, que mide la relación de cambio de precio entre estos dos activos.

3. Covariancia: Mide la relación mutua entre los cambios de precios de dos activos.

¿Dónde?es el coeficiente de correlación del activo i y del activo j,yson, respectivamente, las desviaciones tipo del activo i y del activo j.

4. Fronteras eficientes: En el sistema de coordenadas riesgo-rendimiento, la frontera eficiente es el conjunto de carteras de inversión que pueden proporcionar el rendimiento máximo esperado a un nivel de riesgo determinado.

El diagrama anterior es una ilustración de una frontera eficiente, donde cada punto representa una cartera de inversión ponderada diferente. El eje x denota la volatilidad, que equivale al nivel de riesgo, mientras que el eje y significa la tasa de retorno.

En el comercio cuantitativo y la gestión de carteras, la aplicación de estos principios requiere el análisis estadístico de datos históricos y el uso de modelos matemáticos para estimar los rendimientos esperados, desviaciones estándar y covariancias para varios activos. Luego se utilizan técnicas de optimización para encontrar la mejor asignación de peso de activos. Este proceso a menudo implica operaciones matemáticas complejas y un extenso procesamiento informático, por lo que el análisis cuantitativo se ha vuelto tan importante en las finanzas modernas.

Ejemplo de código Python para encontrar la combinación óptima utilizando el método de simulación

El cálculo de la cartera óptima de Markowitz es un proceso de varios pasos, que implica varios pasos clave, como la preparación de datos, la simulación de cartera y el cálculo de indicadores.https://plotly.com/python/v3/ipython-notebooks/markowitz-portfolio-optimization/

1. Obtención de datos de mercado:

A través de laget_dataEn el caso de las monedas digitales, la función es obtener los datos de precios históricos de la moneda digital seleccionada, los datos necesarios para calcular los rendimientos y los riesgos, que se utilizan para construir carteras de inversión y calcular los ratios Sharpe.

2. Calcular la tasa de rendimiento y el riesgo:

Elcalculate_returns_riskEsta función se utilizó para calcular los rendimientos anualizados y el riesgo anualizado (desviación estándar) para cada moneda digital.

3. Calcular la cartera óptima de Markowitz:

Elcalculate_optimal_portfolioEn cada simulación, se generaron ponderaciones aleatorias de activos y luego se calculó el rendimiento y el riesgo esperados de la cartera sobre la base de estas ponderaciones. Al generar al azar combinaciones con diferentes pesos, es posible explorar múltiples carteras de inversión potenciales para encontrar la óptima.

El objetivo de todo el proceso es encontrar la cartera de inversiones que produzca los mejores rendimientos esperados a un nivel de riesgo dado. Al simular múltiples combinaciones posibles, los inversores pueden comprender mejor el rendimiento de diferentes configuraciones y elegir la combinación que mejor se adapte a sus objetivos de inversión y tolerancia al riesgo. Este método ayuda a optimizar las decisiones de inversión, haciendo que las inversiones sean más efectivas.

import numpy as np
import pandas as pd
import requests
import matplotlib.pyplot as plt

# Obtain market data
def get_data(symbols):
    data = []
    for symbol in symbols:
        url = 'https://api.binance.com/api/v3/klines?symbol=%s&interval=%s&limit=1000'%(symbol,'1d')
        res = requests.get(url)
        data.append([float(line[4]) for line in res.json()])
    return data

def calculate_returns_risk(data):
    returns = []
    risks = []

    for d in data:
        daily_returns = np.diff(d) / d[:-1]
        annualized_return = np.mean(daily_returns) * 365
        annualized_volatility = np.std(daily_returns) * np.sqrt(365)

        returns.append(annualized_return)
        risks.append(annualized_volatility)

    return np.array(returns), np.array(risks)

# Calculate Markowitz Optimal Portfolio
def calculate_optimal_portfolio(returns, risks):
    n_assets = len(returns)
    num_portfolios = 3000

    results = np.zeros((4, num_portfolios), dtype=object) 


    for i in range(num_portfolios):
        weights = np.random.random(n_assets)
        weights /= np.sum(weights)

        portfolio_return = np.sum(returns * weights)
        portfolio_risk = np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(np.cov(returns, rowvar=False), weights)))

        results[0, i] = portfolio_return
        results[1, i] = portfolio_risk
        results[2, i] = portfolio_return / portfolio_risk
        results[3, i] = list(weights) # Convert weights to a list

    return results

symbols = ['BTCUSDT','ETHUSDT', 'BNBUSDT','LINKUSDT','BCHUSDT','LTCUSDT']
data = get_data(symbols)

returns, risks = calculate_returns_risk(data)
optimal_portfolios = calculate_optimal_portfolio(returns, risks)

max_sharpe_idx = np.argmax(optimal_portfolios[2])
optimal_return = optimal_portfolios[0, max_sharpe_idx]
optimal_risk = optimal_portfolios[1, max_sharpe_idx]
optimal_weights = optimal_portfolios[3, max_sharpe_idx]

# Output results
print("Optimal combination:")
for i in range(len(symbols)):
    print(f"{symbols[i]} Weight: {optimal_weights[i]:.4f}")

print(f"Expected return rate: {optimal_return:.4f}")
print(f"Expected risk (standard deviation): {optimal_risk:.4f}")
print(f"Sharpe ratio: {optimal_return / optimal_risk:.4f}")

# Visualized investment portfolio
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.scatter(optimal_portfolios[1], optimal_portfolios[0], c=optimal_portfolios[2], marker='o', s=3)
plt.title('portfolio')
plt.xlabel('std')
plt.ylabel('return')
plt.colorbar(label='sharp')
plt.show()

Resultado de salida final: La combinación óptima: Peso del BTCUSDT: 0,0721 Peso del ETHUSDT: 0.2704 Peso del BNBUSDT: 0,3646 Peso del LINKUSDT: 0,1892 Peso del BCHUSDT: 0,0829 Peso del LTCUSDT: 0,0209 Tasa de rendimiento esperada: 0,4195 Riesgo esperado (desviación tipo): 0,1219 Sharpe ratio: 3,4403