Gestión del dinero mediante el criterio Kelly

Gestión del dinero mediante el criterio Kelly

El riesgo y la gestión del dinero son temas absolutamente críticos en el comercio cuantitativo. Todavía tenemos que explorar estos conceptos con una cantidad razonable de detalles más allá de establecer las diferentes fuentes de riesgo que podrían afectar el rendimiento de la estrategia.

Objetivos del inversor

En el mercado de valores, los inversores pueden tener diferentes preferencias y limitaciones de riesgo, por lo que existen muchos objetivos que pueden poseer.

Muchos comerciantes minoristas consideran que el único objetivo es aumentar el capital de la cuenta tanto como sea posible, con poca o ninguna consideración dada al riesgo de una estrategia.

Un inversor institucional pensaría muy diferente sobre el riesgo. Es casi seguro que tendrá un recargo máximo obligatorio (digamos un 20%) y que consideraría la asignación sectorial y los límites de volumen diario promedio, que serían restricciones adicionales para el "problema de optimización" de la asignación de capital a las estrategias. Estos factores podrían incluso ser más importantes que maximizar la tasa de crecimiento a largo plazo de la cartera.

Por lo tanto, estamos en una situación en la que podemos encontrar un equilibrio entre maximizar la tasa de crecimiento a largo plazo mediante apalancamiento y minimizar nuestro "riesgo" tratando de limitar la duración y el alcance de la reducción.

Criterio de Kelly

Dentro de este artículo el Criterio Kelly va a ser nuestra herramienta para controlar el apalancamiento de, y la asignación hacia, un conjunto de estrategias de negociación algorítmicas que componen una cartera multi-estrategia.

Definiremos apalancamiento como la relación entre el tamaño de una cartera y el valor real de la cuenta dentro de esa cartera. Para aclarar esto, podemos usar la analogía de comprar una casa con una hipoteca. Su pago inicial (o depósito para aquellos de nosotros en el Reino Unido!) constituye el valor de su cuenta, mientras que el pago inicial más el valor de la hipoteca constituye el equivalente al tamaño de una cartera. Por lo tanto, un pago inicial de 50,000 USD en una casa de 200,000 USD (con una hipoteca de 150,000 USD) constituye un apalancamiento de (150000 + 50000) / 50000 = 4.

Antes de declarar el criterio de Kelly específicamente quiero esbozar las suposiciones que van en su derivación, que tienen diversos grados de precisión:

• Se supone que cada estrategia de trading algorítmica posee un flujo de rendimientos que está normalmente distribuido (es decir, gaussiano). Además, cada estrategia tiene su propia media fija y desviación estándar de rendimientos. La fórmula asume que estos valores medios y std no cambian, es decir, que son los mismos en el pasado como en el futuro.

• Los rendimientos que se consideran aquí son los rendimientos excedentes, lo que significa que son netos de todos los costes de financiación, como los intereses pagados sobre el margen y los costes de transacción.

• En el caso de los inversores, el beneficio de las operaciones se reinvierte en su totalidad y no se retira ningún capital, lo que claramente no es aplicable en un entorno institucional en el que se cobran las tasas de gestión mencionadas anteriormente y los inversores a menudo realizan retiros.

• Todas las estrategias son estadísticamente independientes (no hay correlación entre las estrategias) y, por lo tanto, la matriz de covarianza entre los rendimientos de la estrategia es diagonal.

Estas suposiciones no son particularmente exactas, pero consideraremos maneras de relajarlas en artículos posteriores.

Ahora llegamos al criterio de Kelly real! Imaginemos que tenemos un conjunto de N estrategias de negociación algorítmicas y deseamos determinar cómo aplicar el apalancamiento óptimo por estrategia para maximizar la tasa de crecimiento (pero minimizar las reducciones) y cómo asignar el capital entre cada estrategia. Si denotamos la asignación entre cada estrategia i como un vector f de longitud N, s.t f=(f1,...,fN), entonces el criterio de Kelly para la asignación óptima a cada estrategia fi se da por:Donde μi es el rendimiento medio excesivo y σi es la desviación estándar del rendimiento excesivo para una estrategia i. Esta fórmula describe esencialmente el apalancamiento óptimo que debe aplicarse a cada estrategia.

Si bien el criterio Kelly fi nos da el apalancamiento óptimo y la asignación de la estrategia, todavía tenemos que calcular realmente nuestra tasa de crecimiento compuesto a largo plazo esperada de la cartera, que denotamos con g. La fórmula para esto se da por:Donde r es la tasa de interés libre de riesgo, que es la tasa a la que puede pedir prestado al corredor, y S es la relación Sharpe anualizada de la estrategia.

Nota: Si desea leer un enfoque más matemático de la fórmula de Kelly, por favor eche un vistazo al artículo de Ed Thorp sobre el tema: El Criterio Kelly en las apuestas deportivas de Blackjack, y el mercado de valores (2007).

Un ejemplo realista

Consideremos un ejemplo en el caso de la estrategia única (i=1). Supongamos que vamos largo una acción mítica XYZ que tiene un rendimiento anual medio de m=10,7% y una desviación estándar anual de σ=12,4%. Además supongamos que somos capaces de pedir prestado a una tasa de interés libre de riesgo de r=3,0%. Esto implica que los rendimientos excesivos medios son μ=m−r=10,7−3,0=7,7%. Esto nos da una relación de Sharpe de S=0,077/0,124=0,62.

Con esto podemos calcular el apalancamiento óptimo de Kelly a través de f=μ/σ2=0.077/0.1242=5.01. Por lo tanto, el apalancamiento de Kelly dice que para una cartera de 100.000 USD debemos pedir prestados 401.000 USD adicionales para tener un valor total de cartera de 501.000 USD. En la práctica es poco probable que nuestra correduría nos permita operar con un margen tan sustancial y, por lo tanto, el Criterio de Kelly necesitaría ajustarse.

Entonces podemos usar la relación Sharpe S y la tasa de interés r para calcular g, la tasa de crecimiento compuesto a largo plazo esperada. g=r+S2/2=0,03+0,622/2=0,22, es decir, 22%.

Criterio Kelly en la práctica

Es importante tener en cuenta que el criterio de Kelly requiere un reequilibrio continuo de la asignación de capital para seguir siendo válido. Claramente esto no es posible en el entorno discreto de la negociación real y, por lo tanto, se debe hacer una aproximación. La regla estándar aquí es actualizar la asignación de Kelly una vez al día. Además, el criterio de Kelly debe ser recalculado periódicamente, utilizando una media trasera y desviación estándar con una ventana de retroceso.

Aquí hay un ejemplo de reequilibrio de una cartera bajo el Criterio Kelly, que puede conducir a un comportamiento contraintuitivo. Supongamos que tenemos la estrategia descrita anteriormente. Hemos utilizado el Criterio Kelly para pedir prestado dinero en efectivo para aumentar el tamaño de nuestra cartera a 501,000 USD. Supongamos que hacemos un rendimiento saludable del 5% al día siguiente, lo que aumenta el tamaño de nuestra cuenta a 526,050 USD. El Criterio Kelly nos dice que debemos pedir prestado más para mantener el mismo factor de apalancamiento de 5.01.

Ahora considere que al día siguiente perdemos el 10% de nuestra cartera (ouch!). Esto significa que el tamaño total de la cartera es ahora 568,359.45 USD (631510.5 × 0.9). Nuestro capital total de la cuenta es ahora 62,898.95 USD (126050−631510.45 × 0.1). Esto significa que nuestro factor de apalancamiento actual es 568359.45/62898.95 = 9.03. Por lo tanto, necesitamos reducir nuestra cuenta vendiendo 253,235.71 USD de acciones para reducir nuestro valor total de la cartera a 315,123.73 USD, de modo que tengamos un apalancamiento de 5.01 nuevamente (315123.73/62898.95 = 5.01).

Por lo tanto, hemos comprado en una ganancia y vendido en una pérdida. Este proceso de vender en una pérdida puede ser extremadamente difícil emocionalmente, pero es matemáticamente lo "correcto" a hacer, suponiendo que los supuestos de Kelly se han cumplido!

Es posible que haya notado que los valores absolutos del dinero que se reasigna entre días eran bastante severos. Esto es consecuencia tanto de la naturaleza artificial del ejemplo como del apalancamiento extensivo empleado.

Dado que la estimación de medios y desviaciones estándar siempre están sujetos a incertidumbre, en la práctica muchos operadores tienden a utilizar un régimen de apalancamiento más conservador como el Criterio Kelly dividido por dos, conocido cariñosamente como half-Kelly. El Criterio Kelly realmente debe considerarse como un límite superior de apalancamiento para usar, en lugar de una especificación directa. Si no se presta atención a este consejo, el uso del valor directo de Kelly puede conducir a la ruina (es decir, la equidad de la cuenta desaparece a cero) debido a la naturaleza no gaussiana de los retornos de la estrategia.

¿Debería usted usar el criterio de Kelly?

Cada operador algorítmico es diferente y lo mismo ocurre con las preferencias de riesgo. Al elegir emplear una estrategia de apalancamiento (de la que el Criterio Kelly es un ejemplo) debe considerar los mandatos de riesgo bajo los que debe trabajar. En un entorno minorista, puede establecer sus propios límites máximos de extracción y, por lo tanto, puede aumentar su apalancamiento. En un entorno institucional, deberá considerar el riesgo desde una perspectiva muy diferente y el factor de apalancamiento será un componente de un marco mucho más amplio, generalmente bajo muchas otras restricciones.

En artículos posteriores veremos otras formas de manejar el dinero (¡y el riesgo!), algunas de las cuales pueden ayudar a superar las limitaciones adicionales mencionadas anteriormente.