La fórmula de Kelly para el control de posicionamiento de los arcos

La fórmula de Kelly para el control de posicionamiento de los arcos

** Supongamos que el parálisis 1: la probabilidad de ganar es de 60% y la probabilidad de perder es de 40%; la tasa de ganancia neta es de 100% y la tasa de pérdida es del 100%. Es decir, si ganas, puedes ganar 1 dólar por cada apuesta y si pierdes, perderás 1 dólar por cada apuesta. El parálisis puede tener un número ilimitado de apuestas, y cada apuesta es arbitraria.

• Para este impasse, el rendimiento esperado de cada apuesta es del 60% * 1-40% * 1 = 20%, el rendimiento esperado es positivo. Es decir, es un impasse con una ventaja sobre el jugador y una ventaja muy grande.

  Entonces, ¿cómo deberíamos apostar?

  Si no pensamos detenidamente, si imaginamos grosso modo, podríamos pensar que, dado que mi expectativa de rendimiento de cada apuesta es del 20%, para obtener el máximo rendimiento a largo plazo, debería invertir la mayor proporción posible de capital en cada apuesta.

  Pero, obviamente, es irrazonable que cada juego de apuestas ponga el 100% de su capital, porque una vez que el jugador pierde, todo el capital se pierde y no puede participar en el siguiente juego, solo puede salir del campo. Y en el largo plazo, perder una vez que este evento inevitablemente ocurra, por lo que en el largo plazo es inevitable la quiebra.

  Por lo tanto, aquí se llega a la conclusión: siempre que exista un punto muerto, la posibilidad de perder todo el capital de una vez, aunque sea muy pequeña, nunca se llenará. Porque en el largo plazo, los eventos de pequeña probabilidad son inevitables, y en la vida real, la probabilidad real de que un evento de pequeña probabilidad ocurra es mucho mayor que su probabilidad teórica.

• 2, continuando hacia el punto muerto 1. Si el 100% de cada apuesta no es razonable, ¿qué pasa con el 99%? Si el 99% de cada apuesta no solo garantiza que nunca se quiebre, sino que, con suerte, puede generar grandes ganancias.

  ¿Es esto lo que sucede en realidad?

  En lugar de analizar el problema desde el punto de vista teórico, podemos hacer un experimento. Simulamos el punto muerto y apostamos el 99% cada vez para ver qué pasa.

  Este experimento simulado es muy sencillo y se puede hacer con Excel.

  Figura 1

  Como se muestra en el gráfico anterior, la primera columna representa el número de tiros. La segunda columna es la victoria y la derrota. Excel producirá 1 con una probabilidad del 60%, es decir, con una probabilidad del 60% de retorno neto, con una probabilidad del 1,40%, es decir, con una probabilidad del 1,40%, es decir, con una probabilidad del 40% de retorno neto. La tercera columna representa todos los fondos del jugador al final de cada ronda.

  Como se puede ver en el gráfico, después de 10 rondas, el número de victorias en 10 rondas es de 8, con una probabilidad aún mayor del 60%, y sólo perdió dos veces. Pero incluso así, el fondo final solo queda con 2.46 dólares, lo que se considera una pérdida básicamente.

  Cuando incremento el número de experimentos a 1.000, 2.000, 3.000... el resultado es que, en última instancia, el dinero en la mano tiende básicamente a ser cero.

  Y como el 99% no funciona, vamos a probar con otros porcentajes y ver el gráfico: Se puede ver en el gráfico que cuando se reduce la posición gradualmente, de 99% a 90%, 80%, 70%, 60% el resultado de las mismas 10 rondas es completamente diferente. Se puede ver en el gráfico que el dinero aumenta gradualmente después de 10 rondas a medida que la posición se reduce gradualmente.

  Al ver esto, uno se dará cuenta de que el problema del impasse no es tan simple.

  Entonces, ¿cómo apostar para maximizar los beneficios a largo plazo?

  ¿Será mejor con una proporción menor, como se muestra en el gráfico anterior? No debería serlo, ya que obviamente no se puede ganar dinero cuando la proporción se vuelve cero.

  Entonces, ¿cuál es la proporción óptima?

  ¡Ese es el problema que se trata de resolver con la famosa fórmula de Kelly!

  Figura 2

  donde f es la proporción de apuesta óptima; p es la probabilidad de ganar; rw es el porcentaje de ganancia neta cuando se gana, por ejemplo, rw = 1 en el punto muerto 1; rl es el porcentaje de pérdida neta cuando se pierde, por ejemplo, rl = 1 en el punto muerto 1; note que rl > 0 aquí.

  Según la fórmula de Kelly, se puede calcular que el porcentaje de apuestas más alto en el punto muerto 1 es del 20%.

  Podemos hacer un experimento para profundizar en la comprensión de esta conclusión.

  Figura 3

  En la imagen, las posiciones son 10%, 15%, 20%, 30%, 40% respectivamente; sus columnas correspondientes son D, E, F, G, H.

  Cuando convertí el número de experimentos en 3000, Cuando convertí el número de experimentos en 5000, Se puede ver que el resultado de la columna F corresponde al máximo, y que la base no es una escala numérica en comparación con otras columnas.

  Veamos el poder de la fórmula de Kelly. En el experimento anterior, si por desgracia eliges un porcentaje del 40%, que corresponde a la columna H, después de 5000 juegos de apuestas, tu capital se ha convertido de 100 a 22799985.75, una ganancia enorme.

  ¡Ese es el poder del conocimiento!

• 3 y la fórmula de Kelly.

  La deducción matemática de las fórmulas de Kelly y su complejidad requieren un conocimiento matemático muy profundo, por lo que no tiene sentido discutir aquí. Aquí voy a profundizar en la comprensión subjetiva de las fórmulas de Kelly a través de algunos experimentos.

  Vamos a ver un punto muerto. El punto muerto 2: la probabilidad de perder y ganar es del 50%, por ejemplo, lanzar una moneda. La ganancia neta es de 1, es decir, rw = 1, y la pérdida neta es de 0,5, es decir, rl = 0,5. Es decir, cuando ganas un dólar por cada dinero que ganas, ganas 1 dólar más, y cuando pierdes, solo pagas 5 dólares.

  Es fácil ver que el rendimiento esperado del impasse 2 es de 0.25, otro impasse en el que los hackers tienen una gran ventaja.

  Según la fórmula de Kelly, podemos obtener la mejor proporción de apuestas por juego:

  Figura 4

  Esto significa que cada vez que apuestas con la mitad de tu dinero, obtendrás el mayor beneficio a largo plazo.

  A continuación voy a experimentar con el concepto de tasa de crecimiento promedio r.

  Para comenzar, veamos el experimento 2.1, con los siguientes dos gráficos:

  Figura 5

  Los dos gráficos son experimentos realizados en simulación de impasse 2, en la segunda columna, la columna de ganancias muestra una probabilidad del 50% de que el experimento produzca 1, es decir, un 100% de ganancias. La columna del 50% muestra una probabilidad del 50% de que el experimento produzca -0.5, es decir, un 50% de pérdidas. La tercera y cuarta columnas muestran los fondos que se tienen después de cada impasse en posiciones por debajo del 100% y del 50%, respectivamente.

  Una comparación cuidadosa de los dos diagramas puede dar lugar a la conclusión de que, después de un mismo número de rondas, el resultado final se relaciona sólo con el número de rondas ganadas y perdidas en estas rondas, y no con el orden de rondas ganadas y perdidas en estas rondas. Por ejemplo, en los dos diagramas anteriores, se realizaron 4 rondas, y también en cada gráfico, los que ganaron dos rondas perdieron dos rondas, pero el orden de ganancias del primer gráfico es ganado o perdido, y el orden de ganancias del segundo gráfico es ganado o perdido. Los resultados finales son los mismos.

  Por supuesto, esta conclusión es muy fácil de demostrar (la ley de intercambio de multiplicación, los estudiantes de primaria lo harán), pero aquí no se demuestra que los dos ejemplos anteriores sean lo suficientemente comprensibles para todos.

  Entonces, dado que el resultado final no tiene nada que ver con el orden de ganar o perder, entonces supongamos que el punto muerto 2 continúa como en el experimento 2.2.

  Figura 6

  Suponemos que los triunfos en los impasses se realizan de forma alternada, y debido a la conclusión 1, esto no tiene ninguna influencia en el resultado financiero en el largo plazo.

  Antes de observar la imagen, primero hacemos una definición. Supongamos que un conjunto de impasses es un todo en el que la frecuencia de aparición de los resultados es igual a la probabilidad, y que el conjunto es el más pequeño de todos los que cumplen con todas las condiciones, entonces lo llamamos un conjunto de impasses. Por ejemplo, en el experimento de la imagen anterior, un conjunto de impasses representa un impasse en el que se ganan dos veces y se pierden una vez.

  Observe detenidamente los números marcados en azul en el gráfico anterior, que son el final de un conjunto de impasses. Usted verá que los números mantienen un crecimiento estable. Cuando la posición es del 100%, los números marcados en azul tienen una tasa de crecimiento del 0%, es decir, el crecimiento del capital después de un conjunto de impasses es del 0%.

  Esta es una ley general, la tasa de crecimiento después de cada grupo de bloqueos está relacionada con la posición; y cuanto mayor sea la tasa de crecimiento después de cada grupo de bloqueos, mayores serán las ganancias finales en el largo plazo.

  Se puede calcular la tasa de crecimiento promedio de cada parálisis en función de la tasa de crecimiento de cada grupo de parálisis g. En el gráfico anterior, si cada grupo de parálisis contiene dos parálisis, entonces la tasa de crecimiento promedio de cada parálisis es g.

  Figura 7

  En el largo plazo, si se quiere obtener el mayor crecimiento del capital, en realidad basta con maximizar r, es decir, maximizar g. Y la mejor proporción de apuestas f también se obtiene mediante la solución max ((g)).

• 4. La fórmula de Kelly y otras conclusiones sobre el riesgo

La leyenda de Kelly

La fórmula de Kelly fue originalmente desarrollada por el físico John Larry Kelly de AT&T Bell Laboratories, basándose en el trabajo de su colega Claude Elwood Shannon en la comunicación de líneas telefónicas de larga distancia. Kelly resolvió el problema de cómo aplicar la teoría de la información de Shannon a un apostador con información interna en el momento de la apuesta. El apostador quería decidir el mejor monto de apuesta, y su información interna no necesitaba ser perfecta ("sin información") para darle una ventaja útil. Aprovechó el tiempo que le quedaba para escribir un trabajo de matemáticas con el título "La estrategia de ventaja de los 21 puntos de venta". Utilizó su conocimiento para asaltar todos los casinos de Reno, Nevada, durante la noche y ganar cientos de miles de dólares en las mesas de 21 puntos de venta. Fue el padre de los hedge funds cuantificados de Wall Street y creó los primeros hedge funds cuantificados en los años 70.

El uso de la perspectiva

¿Cómo usar la fórmula Kelly para ganar dinero en la vida real? Es crear un punto muerto que satisfaga las condiciones de aplicación de la fórmula de Kelly. En mi opinión, este punto muerto debe provenir de los mercados financieros. He estado haciendo estudios recientes sobre sistemas de negociación, ¿qué es lo que es más importante para un buen sistema de negociación? Un rendimiento esperado representa el 10% de la importancia de las reglas positivas de compra y venta, mientras que un buen método de control de fondos representa el 40% de la importancia, y el 50% restante es el control psicológico de la manipulación. La fórmula de Kelly es precisamente la herramienta que me ayuda a controlar mis posiciones financieras. Por ejemplo, un sistema de negociación de acciones que estudié anteriormente, en el que se negocia una vez por semana, con una probabilidad de éxito de 0.8 y de fracaso de 0.2 por semana. Se gana un 3% cuando se tiene éxito (deduciendo las comisiones, el impuesto de impresión) y se pierde un 5% cada vez que se falla. Antes de saber la fórmula de Kelly, yo era un trader ciego, y no sabía si el posicionamiento estaba bien o mal. Después de usar la fórmula de Kelly, la posición óptima calculada debería ser 9.33, es decir, si se quiere obtener la tasa de crecimiento de capital más rápida con una tasa de interés de préstamo cero, se debe calcular la tasa de crecimiento de capital promedio por cada operación con una tasa de crecimiento promedio de aproximadamente 7.44%, mientras que la tasa de crecimiento de capital promedio en operaciones de hipoteca promedio es de aproximadamente 1.35 (es decir, una ganancia esperada). Por supuesto, la fórmula de Kelly no puede ser tan simple en su aplicación práctica, y hay muchas dificultades que deben superarse. Por ejemplo, el costo de capital que requiere el intercambio de apalancamiento, por ejemplo, el dinero en la realidad no es infinitamente divisible, por ejemplo, en los mercados financieros no es tan simple como el simple impasse mencionado anteriormente. Pero, de todos modos, la fórmula de Kelly nos muestra el camino a seguir.