पायथन का उपयोग करके Ornstein-Uhlenbeck सिमुलेशन

इस लेख में, हम ऑर्न्स्टीन-उल्लेनबेक प्रक्रिया का अवलोकन करेंगे, इसके गणितीय सूत्रों का वर्णन करेंगे, इसे पायथन का उपयोग करके लागू करेंगे और अनुकरण करेंगे, और मात्रात्मक वित्त और प्रणालीगत लेनदेन में कुछ व्यावहारिक अनुप्रयोगों पर चर्चा करेंगे। हम एक अधिक उन्नत यादृच्छिक प्रक्रिया मॉडल का उपयोग करेंगे, जिसे ऑर्न्स्टीन-उल्लेनबेक (OU) प्रक्रिया कहा जाता है, जिसका उपयोग समवर्ती प्रतिगमन क्रियाओं को प्रदर्शित करने वाले समय अनुक्रमों का मॉडलिंग करने के लिए किया जा सकता है। यह विशेष रूप से डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण में ब्याज दर मॉडलिंग के लिए उपयोगी है और व्यापार के समय प्रणालीगत लेनदेन के लिए एल्गोरिदम का संचालन करता है।

Ornstein-Uhlenbeck प्रक्रिया क्या है?

ऑर्न्स्टीन-उलेनबेक प्रक्रिया एक निरंतर समय पर यादृच्छिक प्रक्रिया है जिसका उपयोग औसत दर्जे के प्रतिगमन के व्यवहार को मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है। इसका मतलब है कि, मानक यादृच्छिक भटकने या ब्राउन आंदोलन के विपरीत, जो अनंत काल तक भटक सकता है, OU प्रक्रिया अक्सर समय के साथ लंबे समय तक औसत तक वापस आ जाती है। गणितीय रूप से, OU प्रक्रिया एक विशिष्ट यादृच्छिक भिन्नता समीकरण (SDE) का समाधान है जो इस औसत दर्जे के प्रतिगमन को नियंत्रित करती है। OU प्रक्रिया का SDE निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया हैः

इसमें Xt समय t पर एक यादृच्छिक प्रक्रिया को दर्शाता है, μ दीर्घकालिक औसत है, θ औसत प्रतिगमन दर है, δ अस्थिरता है, और dWt वीनर प्रक्रिया या मानक ब्राउन आंदोलन है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि और अनुप्रयोग

Ornstein-Uhlenbeck प्रक्रिया को मूल रूप से 1930 में Leonard Ornstein और George Eugene Uhlenbeck द्वारा, घर्षण की स्थिति में ब्राउन की गति के साथ चलने वाले कणों की गति का अनुकरण करने के लिए प्रस्तावित किया गया था। समय के साथ, इसकी उपयोगिताएं भौतिकी से बहुत आगे बढ़ गई हैं और इसके विभिन्न क्षेत्रों जैसे जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और वित्त में उपयोग किए गए हैं।

परिमाणात्मक वित्त में, ओयू प्रक्रियाएं विशेष रूप से औसत मूल्य परावर्तन के व्यवहार को प्रदर्शित करने वाली घटनाओं का मॉडलिंग करने के लिए उपयोगी हैं। उल्लेखनीय उदाहरणों में ब्याज दरें, विनिमय दरें और वित्तीय बाजारों की अस्थिरता शामिल हैं। उदाहरण के लिए, लोकप्रिय ब्याज दर मॉडल वासिसेक मॉडल सीधे ओयू प्रक्रियाओं से व्युत्पन्न है।

मात्रात्मक वित्त में महत्व

ऑर्नस्टीन-उलेनबेक प्रक्रिया मात्रात्मक वित्त में महत्वपूर्ण है, इसके कारणों के लिएः इसकी औसत मूल्य पर वापसी की प्रकृति इसे वित्तीय चरों को मॉडलिंग करने के लिए एक प्राकृतिक विकल्प बनाती है, जो यादृच्छिक रूप से नहीं चलती हैं, बल्कि स्थिर दीर्घकालिक औसत मूल्य के चारों ओर उतार-चढ़ाव करती हैं। यह विशेषता ब्याज दरों के मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण है, जहां औसत मूल्य पर वापसी केंद्रीय बैंक के प्रभाव को दर्शाती है।

इसके अतिरिक्त, ओयू प्रक्रिया का उपयोग परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल (जिसमें डेरिवेटिव मूल्यांकन शामिल है) और जोखिम प्रबंधन रणनीतियों के लिए भी किया जाता है। यह अधिक जटिल मॉडल के निर्माण खंड के रूप में भी काम कर सकता है, जैसे कि कॉक्स-इंगर्सॉल-रॉस (सीआईआर) मॉडल, जो ओयू प्रक्रिया को गैर-negative ब्याज दरों के लिए मॉडलिंग के लिए बढ़ाता है।

मुख्य विशेषताएं और अंतर्ज्ञान

ऑर्न्स्टीन-उलेनबेक प्रक्रिया के मुख्य लक्षणों को निम्नानुसार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता हैः

• औसत रिटर्नःओयू प्रक्रियाओं में दीर्घकालिक औसत तक लौटने की प्रवृत्ति होती है। यह ब्राउन आंदोलन जैसे प्रक्रियाओं से स्पष्ट रूप से भिन्न है, जो इस प्रवृत्ति को प्रदर्शित नहीं करते हैं।
• अस्थिरताःपैरामीटर δ नियंत्रण प्रक्रिया में यादृच्छिकता या उतार-चढ़ाव का स्तर है। उतार-चढ़ाव जितना अधिक होगा, प्रक्रिया में प्रतिगमन से पहले औसत से अधिक विचलन होगा।
• वापसी की गतिःपैरामीटरθ प्रक्रिया के औसत से रिवर्स की गति निर्धारित करता है.
• स्थिरताःओयू प्रक्रिया स्थिर है, जिसका अर्थ है कि इसकी सांख्यिकीय विशेषताएं समय के साथ नहीं बदलती हैं। यह वित्तीय क्षेत्र में स्थिर प्रणालियों के मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण है।

सहज रूप से, आप ऑर्न्स्टीन-उल्लेनबेक प्रक्रिया को औसत के चारों ओर खिंचाव वाले कम्बल के व्यवहार के मॉडलिंग के रूप में देख सकते हैं। हालांकि यह प्रक्रिया यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के कारण सममूल्य से विचलित हो सकती है, लेकिन कम्बल के लिए एक द्रव शक्ति (एक सममूल्य रिटर्न के समान) यह सुनिश्चित करती है कि यह अंततः सममूल्य पर वापस आ जाए।

अन्य यादृच्छिक प्रक्रियाओं के साथ तुलना

चूंकि ओयू प्रक्रिया विभिन्न वित्तीय घटनाओं के मॉडलिंग के साथ निकटता से जुड़ी हुई है, इसलिए इसे अक्सर अन्य यादृच्छिक प्रक्रियाओं (जैसे ब्राउन आंदोलन और ज्यामितीय ब्राउन आंदोलन (GBM)) के साथ तुलना की जाती है। ब्राउन आंदोलन के विपरीत (ब्राउन आंदोलन में कोई समान वापसी की प्रवृत्ति नहीं है), ओयू प्रक्रिया में स्पष्ट समान वापसी व्यवहार है। इससे यह उन परिदृश्यों के मॉडलिंग के लिए अधिक उपयुक्त हो जाता है जहां चर स्थिर संतुलन के चारों ओर उतार-चढ़ाव करते हैं।

ओयू प्रक्रियाओं में सूचकांक वृद्धि नहीं होती है, बल्कि उनके औसत मूल्य के चारों ओर उतार-चढ़ाव होता है। जीबीएम समय के साथ बढ़ने वाली मात्राओं के लिए अधिक उपयुक्त है, जबकि ओयू प्रक्रियाएं उन चरों के लिए बहुत अच्छी तरह से अनुकूल हैं जो औसत मूल्य प्रतिगमन विशेषताएं दिखाते हैं।

क्वांटिफाइड फाइनेंस के उदाहरण

Ornstein-Uhlenbec प्रक्रिया का वित्तीय क्षेत्र में व्यापक उपयोग है, विशेष रूप से मॉडलिंग परिदृश्यों में जहां औसत मूल्य प्रतिगमन एक महत्वपूर्ण विशेषता है। नीचे हम कुछ सबसे आम उपयोग के मामलों पर चर्चा करेंगे।

ब्याज दर मॉडलिंग

ओयू प्रक्रिया का एक प्रमुख अनुप्रयोग ब्याज दरों के मॉडलिंग के लिए है, विशेष रूप से वासिसेक मॉडल के भीतर। वासिसेक मॉडल ब्याज दरों को ओयू प्रक्रिया का पालन करने की धारणा देता है, यानी ब्याज दरें समय के साथ लंबे समय तक औसत पर लौटती हैं। यह विशेषता सटीक रूप से ब्याज दर व्यवहार के लिए महत्वपूर्ण है, क्योंकि ब्याज दरें अक्सर अनंत काल तक नहीं चलती हैं, लेकिन आर्थिक परिस्थितियों से प्रभावित औसत के करीब चलती हैं।

परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण

संपत्ति मूल्य निर्धारण में, विशेष रूप से फिक्स्ड इनकम सिक्योरिटीज में, ओयू प्रक्रियाओं का उपयोग आमतौर पर बॉन्ड रिटर्न के विकास का अनुकरण करने के लिए किया जाता है। ओयू प्रक्रियाओं की औसत मूल्य प्रतिगमन प्रकृति यह सुनिश्चित करती है कि रिटर्न उनके ऐतिहासिक औसत से बहुत दूर न हों, जो कि अवलोकन किए गए बाजार व्यवहार के अनुरूप है। यह ओयू प्रक्रियाओं को ऋण और अन्य ब्याज दर संवेदनशील उपकरणों के मूल्य निर्धारण के लिए एक मूल्यवान उपकरण बनाता है।

जोड़ीदारी की रणनीति

संरेखित व्यापार एक बाजार-तटस्थ रणनीति है जिसमें दो संबंधित परिसंपत्तियों के बीच एक ऑफसेट स्थिति स्थापित करना शामिल है। इस मामले में, ओयू प्रक्रिया विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि यह दो परिसंपत्तियों के बीच मूल्य अंतर का मॉडलिंग कर सकती है, जहां मूल्य अंतर आमतौर पर औसत रिवर्स होता है। ओयू प्रक्रिया का उपयोग करके मूल्य अंतर का मॉडलिंग करके, व्यापारी अपने औसत से विचलित होने पर लाभदायक प्रवेश और निकास बिंदुओं की पहचान कर सकते हैं, औसत रिवर्स की भविष्यवाणी कर सकते हैं और इस प्रकार व्यापार संकेत उत्पन्न कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि दो वायदाओं के बीच मूल्य अंतर एक निश्चित सीमा से अधिक हो जाता है, तो व्यापारी उत्कृष्ट प्रदर्शन करने वाले वायदा को खाली कर सकते हैं और खराब प्रदर्शन करने वाले कई वायदा कर सकते हैं, ताकि मूल्य अंतर अपने ऐतिहासिक औसत तक लौटने की उम्मीद कर सकें, जिससे रिवर्स होने पर लाभ हो सके।

Ornstein-Uhlenbeck SDE का जवाब

Ornstein-Uhlenbeck प्रक्रिया के लिए भिन्नता समीकरण सूत्र इसका हल करने का आधार है. इस SDE को हल करने के लिए, हमने पूर्णांक कारक विधि का उपयोग किया है. आइए SDE को फिर से लिखेंः

तो पहले, हम दोनों पक्षों को गुणक से गुणा करते हैं। :

और ध्यान दें कि अगर हम दोनों पक्षों को जोड़ते हैंतो, बाएं को गुणन के लिए अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता हैः

तो हम दोनों पक्षों को 0 से t तक गुणा करते हैं, और हमें मिलता हैः

यह Ornstein-Uhlenbeck SDE का सामान्य समाधान है।

उपरोक्त स्पष्ट समाधान के कुछ महत्वपूर्ण अर्थ हैं।यह दर्शाता है कि प्रारंभिक मूल्य समय के साथ कम हो जाता है, यह दर्शाता है कि प्रक्रिया धीरे-धीरे कैसे भूल जाती है कि यह कहां से शुरू हुई थी; दूसरा।यह दर्शाता है कि प्रक्रिया समय के साथ औसत की ओर बढ़ रही है μ;; तीसरा आइटम यादृच्छिकता का परिचय देता है, जिसमें वीनर प्रक्रियाओं से जुड़े अंश यादृच्छिक उतार-चढ़ाव की व्याख्या करते हैं।

इस समाधान में निश्चितता औसत दर्जे की वापसी व्यवहार और ब्राउनी आंदोलन द्वारा संचालित यादृच्छिक घटकों के बीच संतुलन पर जोर दिया गया है। इस समाधान को समझना प्रभावी रूप से ओयू प्रक्रियाओं का अनुकरण करने के लिए महत्वपूर्ण है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

अन्य यादृच्छिक प्रक्रियाओं के साथ संबंध

ऑर्न्स्टीन-उलेनबेक प्रक्रियाओं में अन्य प्रसिद्ध यादृच्छिक प्रक्रियाओं (जैसे ब्राउन आंदोलन और वासिसेक मॉडल) के साथ कई महत्वपूर्ण संबंध हैं।

ब्राउन आंदोलन के साथ संबंध

Ornstein-Uhlenbeck प्रक्रियाओं को ब्राउन आंदोलन के औसत दर्जे के प्रतिगमन संस्करण के रूप में देखा जा सकता है। ब्राउन आंदोलन एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करता है जिसमें स्वतंत्र वृद्धि होती है और कोई औसत दर्जे का प्रतिगमन नहीं होता है, जबकि OU प्रक्रियाएं एक औसत दर्जे का प्रतिगमन पेश करती हैं, जो कि बहाव के पदों का उपयोग करके ब्राउन आंदोलन को संशोधित करती है, जिससे प्रक्रिया को केंद्र में वापस खींचती है। गणितीय रूप से, यदि हम th = 0 सेट करते हैं, तो OU प्रक्रिया को एक मानक ब्राउन आंदोलन के रूप में सरल किया जाता है जिसमें उतार-चढ़ाव होता हैः

इस प्रकार, ब्राउन आंदोलन ओयू प्रक्रिया का एक अपवाद है, जो औसत मूल्य प्रतिगमन की अनुपस्थिति के अनुरूप है।

वासिसेक मॉडल के साथ संबंध

वासिसेक मॉडल का उपयोग ब्याज दरों के मॉडलिंग में व्यापक रूप से किया जाता है, जो मूल रूप से ब्याज दरों के विकास में ऑर्नस्टीन-उलेनबेक प्रक्रियाओं का उपयोग है। वासिसेक मॉडल ब्याज दरों को ओयू प्रक्रियाओं का पालन करने की परिकल्पना करता है, जिसमें एसडीई को परिभाषित किया गया हैः

इनमें से, आरटी अल्पकालिक ब्याज दरों को दर्शाता है, और पैरामीटरθ, μ और δ की व्याख्या ओयू प्रक्रिया में व्याख्या के समान है। वासिसेक मॉडल ब्याज दरों के औसत मूल्य प्रतिगमन मार्गों का उत्पादन कर सकता है, जो वित्तीय मॉडलिंग में इसके मुख्य लाभों में से एक है।

इन संबंधों को समझना विभिन्न वातावरणों में, विशेष रूप से वित्तीय क्षेत्र में, ओयू प्रक्रियाओं के उपयोग के बारे में अधिक व्यापक रूप से समझने में मदद करता है। हम निम्नलिखित अनुप्रयोगों के उदाहरणों पर चर्चा करते हुए इन संबंधों के व्यावहारिक अर्थों की जांच करेंगे।

पायथन का उपयोग करके ऑर्नस्टीन-उलेनबेक प्रक्रिया का अनुकरण करें

इस खंड में, हम पायथन का उपयोग करके ऑर्नस्टीन-उलेनबेक (OU) प्रक्रियाओं का अनुकरण करने के तरीके का पता लगाएंगे। इसमें OU प्रक्रियाओं को परिभाषित करने वाले यादृच्छिक भिन्नता समीकरणों (SDE) को अलग करने के लिए Euler-Maruyama विखंडन का उपयोग करना शामिल है।

एसडीई का विखंडन

आइए ऊपर दिए गए एसडीई के गणितीय सूत्रों पर एक नज़र डालें और प्रत्येक शब्द को संक्षेप में देखेंः

इनमें से

• Xt समय t पर प्रक्रिया का मान है.
• θ औसत मूल्य पर लौटने की गति है।
• μ प्रक्रिया का दीर्घकालिक औसत है.
• δ एक उतार-चढ़ाव दर पैरामीटर है।
• dWt वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउन आंदोलन) की वृद्धि को दर्शाता है।

कंप्यूटर पर इस प्रक्रिया का अनुकरण करने के लिए, हमें निरंतर समय के एसडीई पर विखंडन करने की आवश्यकता है। एक आम तरीका है यूलर-मारुयामा विखंडन, जो छोटे विखंडन समय के चरणों को ध्यान में रखकर किया जाता है।Ornstein-Uhlenbeck प्रक्रिया का एक अलग रूप निम्नानुसार दिया गया हैः

इनमें सेएक सामान्य सामान्य वितरण से निकाले गए एक यादृच्छिक चर (यानी) ; इस विखंडन से हम समय के साथ Xt के मूल्य की गणना करने में सक्षम हैं ताकि OU प्रक्रिया के व्यवहार का अनुकरण किया जा सके।

पायथन कार्यान्वयन

अब हम Python में Ornstein-Uhlenbeck प्रक्रिया को निष्पादित करते हैं। नीचे हम केवल NumPy और Matplotlib Python लाइब्रेरी का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, हम मानक तरीके से NumPy और Matplotlib आयात करते हैं; फिर, हम OU मॉडल के लिए सभी पैरामीटर निर्दिष्ट करते हैं; फिर, हम OU पथ की गणना करने के बाद इसे जोड़ने के लिए N की लंबाई के NumPy सरणी को पहले से आवंटित करते हैं; फिर हम N-1 चरणों को दोहराते हैं ((चरण 1 निर्दिष्ट प्रारंभिक शर्त X0)), डीडब्ल्यू का अनुकरण करते हैं, और फिर ऊपर दिए गए गणितीय सूत्रों के अनुसार OU पथ की अगली पीढ़ी की गणना करते हैं; अंत में, Matplotlib का उपयोग करके पथ का इतिहास बनाते हैं।

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters for the OU process
theta = 0.7      # Speed of mean reversion
mu = 0.0         # Long-term mean
sigma = 0.3      # Volatility
X0 = 1.0         # Initial value
T = 10.0         # Total time
dt = 0.01        # Time step
N = int(T / dt)  # Number of time steps

# Pre-allocate array for efficiency
X = np.zeros(N)
X[0] = X0

# Generate the OU process
for t in range(1, N):
    dW = np.sqrt(dt) * np.random.normal(0, 1)
    X[t] = X[t-1] + theta * (mu - X[t-1]) * dt + sigma * dW

# Plot the result
plt.plot(np.linspace(0, T, N), X)
plt.title("Ornstein-Uhlenbeck Process Simulation")
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("X(t)")
plt.show()

चित्र के परिणाम इस प्रकार हैं:

पायथन का उपयोग करके Ornstein-Uhlenbeck प्रक्रिया का अनुकरण

ध्यान दें कि प्रक्रिया कैसे प्रारंभिक परिस्थितियों से तेजी से X0=1 से औसत μ=0 तक पंप खींचती है, और फिर जब यह इस औसत से विचलित होती है, तो यह इस औसत तक लौटने की प्रवृत्ति दिखाती है।

सारांश और आगे के कदम

इस आलेख में, हम ओरनस्टीन-उल्लेनबेक प्रक्रियाओं का अवलोकन करते हैं, उनके गणितीय सूत्रों का वर्णन करते हैं, और निरंतर समय एसडीई के असतत संस्करणों का अनुकरण करने के लिए पायथन के बुनियादी कार्यान्वयन प्रदान करते हैं। बाद के लेखों में, हम ओयू प्रक्रियाओं के आधार पर बनाए गए अधिक जटिल एसडीई का अध्ययन करते हैं और सीखते हैं कि उन्हें सिस्टम ट्रेडिंग और डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण अनुप्रयोगों में कैसे उपयोग किया जाता है।

पूरा कोड

# OU process simulation

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters for the OU process
theta = 0.7      # Speed of mean reversion
mu = 0.0         # Long-term mean
sigma = 0.3      # Volatility
X0 = 1.0         # Initial value
T = 30.0         # Total time
dt = 0.01        # Time step
N = int(T / dt)  # Number of time steps

# Pre-allocate array for efficiency
X = np.zeros(N)
X[0] = X0

# Generate the OU process
for t in range(1, N):
    dW = np.sqrt(dt) * np.random.normal(0, 1)
    X[t] = X[t-1] + theta * (mu - X[t-1]) * dt + sigma * dW

# Plot the result
plt.plot(np.linspace(0, T, N), X)
plt.title("Ornstein-Uhlenbeck Process Simulation")
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("X(t)")
plt.show()

मूल लिंकःhttps://www.quantstart.com/articles/ornstein-uhlenbeck-simulation-with-python/