संभावनाओं में व्यापार दर्शन

संभावनाओं में व्यापार दर्शन

1987 में, भारतीय गणितीय दिग्गज श्रीनिवास रामानुजन (1887-1920) के जन्म के सौवें वर्ष के रूप में मनाया गया था। उनके सम्मान में कई कार्यक्रम आयोजित किए गए थे। एक प्रसिद्ध समकालीन सांख्यिकीविद्, भारतीय-जन्म के रामानुजन (सी. राधाकृष्ण राव, 1920) को भी तीन भाषण देने के लिए आमंत्रित किया गया था। इसके बाद, भारतीय सांख्यिकी संस्थान ने 1989 में उनके लिए एक पुस्तक प्रकाशित की, जिसका नाम था सांख्यिकी और सत्य। इसका दूसरा संस्करण 1997 में जारी किया गया था।

• पहले संस्करण के प्रस्तावना में, रॉय ने कहाः

  छात्र के रूप में, मैंने गणित में एक तर्क का अध्ययन किया, जो दिए गए सिद्धांतों से निष्कर्ष निकालने का एक तरीका है। बाद में, मैंने सांख्यिकी में अध्ययन किया, जो अनुभव से सीखने का एक तर्कसंगत तरीका है, और परिणामों से मान्यता प्राप्त सिद्धांतों का एक तर्क है। मैंने महसूस किया कि गणित और सांख्यिकी प्राकृतिक ज्ञान को बढ़ाने और दैनिक मामलों को प्रभावी ढंग से प्रबंधित करने के लिए मानव प्रयासों में महत्वपूर्ण हैं।

  मैं मानता हूँ:

  • अंतिम विश्लेषण में, सभी ज्ञान इतिहास है।

  • अमूर्त अर्थों में, सभी विज्ञान गणित हैं।

  • एक तर्कसंगत दुनिया में, सभी निर्णय सांख्यिकीय हैं।

    यह वाक्य गणित और सांख्यिकी के महत्व और उनके संबंधित अर्थों को बताता है।

    लंबे समय से, हाई स्कूल के गणित में संभावनाओं के विषयों को शामिल किया गया है, जिनमें क्लासिक संभावनाएं (यानी समान संभावनाओं के साथ संभावनाओं को समझाने के लिए संभावनाओं का वर्णन) का एक छोटा सा अनुपात है। इसलिए संभावनाएं अक्सर सरणी संयोजनों के साथ जुड़ी होती हैं। जबकि सरणी संयोजन अधिक गन्दा गणित की समस्याएं हैं। हालांकि, छात्रों को कभी-कभी उन जटिल विषयों से विचलित किया जाता है, जो उन्हें चकित कर देते हैं। लेकिन यह केवल कौशल के मामले में है, संज्ञानात्मक रूप से, आमतौर पर बहुत अधिक भ्रमित नहीं होता है। हाल के वर्षों में, सांख्यिकी के महत्व के कारण, हाई स्कूल के गणित में धीरे-धीरे सांख्यिकी के विषयों को जोड़ा गया है। इनमें से, 95 में शुरू किए गए उच्च माध्यमिक विद्यालय के पाठ्यक्रमों में, सामान्य शिक्षक विश्वास के पानी के साथ विश्वास के लिए नए वृद्धिशील आश्रय क्षेत्रों को आसान बनाते हैं, लेकिन बहुत कम कठिनाई के साथ आते हैं। इस नए सांख्यिकीय विषयों में शामिल होने के कारण, रैंडम अवधारणाओं की आवश्यकता होती है, डेटा का नमूना लिया जाता है, जिससे सांख्यिकी

    आश्वासन क्षेत्र, एक अन्य प्रसिद्ध सांख्यिकीविद्, जो पोलैंड में पैदा हुआ था और 1938 में अमेरिका में बसने के लिए आया था, नेमैन (जर्ज़ी नेमैन, 1894-1981; वह मेरे पूर्वज, मेरे निर्देशक प्रोफेसर के निर्देशक प्रोफेसर थे) ने 1934 में एक भाषण में पहली बार प्रस्तावित किया था। अपने भाषण के अंत में, सम्मेलन के अध्यक्ष आर्थर ल्योन बाउली (1869-1957) ने कहा कि मुझे यकीन नहीं है कि यह विश्वास एक विश्वास का खेल नहीं है। यह जानने के लिए कि नाइमैन बाउली क्षेत्र की अवधारणा शुरू में प्रस्तावित की गई थी, अधिकांश सांख्यिकीविदों, जिसमें आधुनिक पद्धति के संस्थापक के रूप में माना जाता है, ब्रिटिश फिशर (सर रोनाल्ड एयलर फिशर, 1890-1962, अक्सर आरए फिशर द्वारा संदर्भित) को स्वीकार करना मुश्किल था। तथाकथित 99 विश्वास क्षेत्र में, यह 95% होना चाहिए। यह वास्तव में क्या है? यह एक निर्माण की संभावना है, अगर यह एक संभावना है।

    वर्षों बीत चुके हैं, सत्तर से अधिक वर्षों बीत चुके हैं, आज के सांख्यिकीविदों ने निश्चित रूप से विश्वास के अंतराल का अर्थ पूरी तरह से समझ लिया है । लेकिन विश्वविद्यालयों में, संभावना और सांख्यिकी, सांख्यिकी और गणितीय सांख्यिकी जैसे पाठ्यपुस्तकों में, विश्वास के अंतराल आमतौर पर उत्तरार्ध के विषयों में आते हैं । यानी, विश्वविद्यालय के छात्रों में, प्रासंगिक पाठ्यक्रमों में, विश्वास के अंतराल के संपर्क में आने के लिए, लगभग पर्याप्त संभावना सांख्यिकीय आधार है । आज यह विषय गणितज्ञों के पक्ष में है, लेकिन 95 पाठ्यक्रम के बाद, 98 पाठ्यक्रम में शामिल होने के बाद, 99 पाठ्यक्रम में शामिल होने के बाद इसे सालाना लागू किया गया) अभी भी इस विषय को बनाए रखा गया है । लेकिन पर्याप्त तैयारी की कमी के कारण, हाई स्कूल के छात्रों को अवशोषित करना आसान नहीं है, बल्कि उम्मीद है ।

    इस विषय को हाई स्कूल के गणित के पाठ्यक्रम में क्यों रखा गया है, जबकि यह एक गहरा विषय है? यह मुख्य रूप से इसके महत्व के बारे में अनुमान लगाया गया है। यह केवल मीडिया में प्रकाशित होने वाले विभिन्न सर्वेक्षणों के विश्वास क्षेत्र और विश्वास के स्तर को देखने के लिए समझ में आता है।

    कुछ सांख्यिकीय पाठ्यपुस्तकों में, भरोसे के अंतराल एक अध्याय का हिस्सा लेते हैं; विभिन्न पैरामीटर, विभिन्न वितरणों के लिए, अलग-अलग भरोसे के अंतराल हो सकते हैं; यहां तक कि एक ही पैरामीटर और एक ही वितरण के साथ, अलग-अलग तरीकों से, अलग-अलग भरोसे के अंतराल प्राप्त किए जा सकते हैं। कभी-कभी, कम शर्तों के कारण, या गणना की जटिलता आदि के कारण, केवल पीछे हटने के लिए, एक करीबी भरोसे के अंतराल प्राप्त करने के लिए। बेशक, इस समय कुछ शर्तों की आवश्यकता होती है, और कुछ प्रमेयों का उपयोग किया जाता है। भरोसे के अंतराल भी तुलनात्मक रूप से अच्छे हो सकते हैं। यह जानना महत्वपूर्ण है कि सांख्यिकी में विभिन्न प्रकार के तर्क हैं, लेकिन चूंकि यह यादृच्छिक घटनाओं से निपटने के लिए है, कुछ पर निर्भर करता है, और कौन विवाद करता है।

    आम वितरण, विश्वास सीमा और विश्वास के स्तर की व्याख्या में, वे कहते हैंः

    हाई स्कूल के स्तर पर सांख्यिकीय निष्कर्ष केवल यादृच्छिक चर के लिए अपेक्षित मानों का अनुमान लगाते हैं, इसके पीछे का सिद्धांत केंद्रीय सीमांत तर्क है। केंद्रीय सीमांत तर्क को पेश करने के लिए, सामान्य वितरण का परिचय देना आवश्यक है। यह भाग केवल छात्रों को केंद्रीय सीमांत सिद्धांत के बारे में सक्रिय रूप से अंतर्दृष्टि बनाने के लिए सामान्य ज्ञान का परिचय देता है। एक निश्चित आत्मविश्वास स्तर के लिए, विश्वास क्षेत्र सूत्र दिया जाता है, फिर छात्रों को रैंडम टेबल सिमुलेशन या प्रयोगों के साथ एक तांबे की प्लेट में n बार सकारात्मक संभावनाओं के साथ p का अनुमान लगाने के लिए कहा जाता है, विश्वास क्षेत्र सूत्र में प्रवेश करते हैं, विश्वास क्षेत्र के अर्थ को स्पष्ट करते हैं; और इस तरह से व्याख्या करते हैं कि अधिकांश छात्र प्राप्त विश्वास क्षेत्र में p को क्यों कवर करते हैं?

    इस खंड की व्याख्या करने में न केवल कुछ समस्याएं हैं, बल्कि यह भी स्पष्ट नहीं है। यदि पहले वाक्य में इसके पीछे का सिद्धांत केंद्रीय अति सीमित तर्क है, तो यह ज्ञात नहीं है कि यह क्या पैदा हुआ है? यह एक गैर-सांख्यिकीय धारणा है। क्योंकि पाठ्यक्रम में व्याख्या स्पष्ट नहीं है, जो लोग गंभीरता से पढ़ाते हैं, जो हाई स्कूल गणित के शिक्षक हैं, जो छात्रों को समझना चाहते हैं, उन्हें केवल सिद्धांतों पर शोध करना चाहिए, अपनी व्याख्या करना चाहिए। कुछ ने खुद को इन अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए प्रस्तावित लेख भी प्रस्तुत किए हैं। केवल इसकी व्याख्या, जो अक्सर अभी भी खराब होती है।

    विश्वास के अंतराल का अवधारणा अक्सर एक तरह से नीचे की ओर गिर जाती है? यह पता लगाने के लिए, कई शिक्षाविदों ने संभावनाओं के अर्थ को सही ढंग से समझने में विफल रहा है। यह लेख लिखने का कारण है।

• संभावना का अर्थ

  एक गुच्छा में 6 पक्ष हैं, एक गुच्छा के नीचे, एक सम संख्या की संभावना क्यों प्राप्त होती है? एक गुच्छा अलग-अलग नहीं दिखता है, यह मानते हुए कि प्रत्येक पक्ष के होने की संभावना समान है, अर्थात 1/6। जबकि सम पक्षों में 2, 4, और 6 आदि 3 हैं। इसलिए, 3/6 की संभावना की मांग की जाती है। यह तथाकथित क्लासिक संभावना है, जो मूल रूप से समान संभावना है। पहले से अवलोकन की जाने वाली घटनाओं की कई संभावनाएं हैं, और उनमें से कुछ में हमारी दिलचस्पी है। पिछले को छोड़कर, अर्थात् वांछित संभावनाएं। हालांकि यह एक क्लासिक जुआ जुआ है, इस तरह की संभावना का अर्थ आज भी उपलब्ध है।

  जुलाई और अगस्त 2009 के अंत में, विश्व गोल्फर टाइगर वुड्स (Tiger Woods) ने अमेरिका के मिशिगन में आयोजित बुइक ओपन (Buick Open) में भाग लिया। पहले दौर में उन्होंने 8 अंक पीछे रहकर 95वें स्थान पर पहुंच गए। इस कारण से उन्हें अपने करियर में पहली बार लगातार दो मैचों के लिए बाहर कर दिया गया था।

  这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。

  एक आदमी एक लड़की को देखता है, एक आदमी के रूप में आश्चर्यचकित होता है, और सोचता है कि यह उसकी आज की दुल्हन है। मूल्यांकन के बाद आत्मविश्वास से भरा है, आत्म-घोषणा करने का मौका 80% है। लेकिन अन्य लोग अच्छा नहीं दिखते हैं, और उससे पूछते हैं कि यह संख्या 8% कैसे आती है? वह एक कैलेंडर दिखाता है, एक संकेत के बाद एक संकेत, यह दर्शाता है कि लड़की उसके लिए बहुत अच्छी लगती है। यह 0.8 की संभावना, जिसे व्यक्तिपरक संभावना कहा जाता है।

  व्यक्तिपरक संभावनाएं, निश्चित रूप से, कुछ वस्तुनिष्ठ तथ्यों पर आधारित हो सकती हैं; लेकिन एक ही जानकारी के सामने, अलग-अलग लोगों के पास अलग-अलग निर्णय हो सकते हैं, इसलिए अलग-अलग व्यक्तिपरक संभावनाएं दी जा सकती हैं।

  उदाहरण के लिए, एक लड़की का पीछा करने के लिए, लगभग कुछ लड़कियां आपको एक प्रयोग करने के लिए कहेंगी, बार-बार पीछा करेंगी, और फिर उनमें से कुछ को गिनेंगी, जो आपके द्वारा पीछा किए जाने की संभावना निर्धारित करने के लिए सफल होंगी। इस तरह के अवांछनीय घटनाओं के लिए, संभावनाओं के बारे में बात करते समय, व्यक्तिपरक संभावनाओं का उपयोग किया जाता है। हर सुबह बाहर निकलने के लिए, हम ऊपर देखने के लिए उपयोग नहीं करते हैं कि आज बारिश होने की संभावना क्या है? बस अक्सर माता-पिता को लगता है कि बारिश की संभावना अधिक होगी, यह बैंड, और बच्चे को लगता है कि बारिश की संभावना कम होगी।

  यद्यपि यह कहा जा सकता है कि यह व्यक्तिपरक है, लेकिन फिर भी यह उचित है; उदाहरण के लिए, परीक्षा में योग्यता और अपर्याप्तता है; यदि यह माना जाता है कि योग्यता की संभावना 0.9 है, तो यह कोई समस्या नहीं है, एक व्यक्ति हमेशा थोड़ा आत्मविश्वास रखता है, लेकिन यदि एक ही समय में 0.8 की संभावना से डरता है, तो यह नहीं हो सकता है। विभिन्न संभावनाओं की संभावनाओं का योग 1 है। यहां तक कि व्यक्तिपरक भी, यह अलग-अलग बहस की जा सकती है, फिर भी इसे हल करना होगा। यह नहीं कहा जा सकता है कि यह व्यक्तिपरक है, इसलिए आप किसी भी प्रकार की घटना की संभावना निर्धारित कर सकते हैं। इसलिए, संभावना की व्याख्या के बावजूद, स्वाभाविक रूप से, या कुछ सामान्य नियमों को पूरा करना होगा। यह सब समझ में आना चाहिए।

  उपरोक्त तीनों संभावनाओं की सामान्य व्याख्याएं हैं, जो आमतौर पर लोगों द्वारा घटना की संभावनाओं का आकलन करने के लिए कई विचार हैं। यद्यपि वे विभिन्न स्थितियों के लिए हैं, लेकिन अक्सर पारस्परिक रूप से उपयोग किए जाते हैं। सभी ने एक हत्या करने वाले व्यक्ति के उदाहरणों को सुना है। एक व्यक्ति ने अपने दादा के साथ एक ही नाम का एक व्यक्ति को मार डाला, एक अच्छे दिल वाले व्यक्ति ने कहा कि दादी ने दादी को मार डाला था। माँ ने कहा कि युगुई ने दादी को नहीं मारा, कपड़े बुनना जारी रखा। एक पल के बाद, एक और व्यक्ति ने कहा कि दादी ने दादी को मार डाला था। माँ ने अभी भी कपड़े बुनना जारी रखा था, इतना अच्छा बेटा कैसे मार सकता है? लेकिन जब तीसरे व्यक्ति ने दादी को मार डाला था, तो दादी डर गई थी, कपड़े बुनने का उपकरण खो दिया था। तथाकथित दादी डर गई थी, और दीवार को फेंक दिया था। यह कहानी दादी की रणनीति थी।

  बेशक, आप अविश्वास कर सकते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या होता है, सभी लोग मानते हैं कि यह केवल एक अस्थायी स्थिति है, और दृढ़ता से मानते हैं कि यह एक निष्पक्ष तांबे की प्लेट है। यह असंभव नहीं है, जैसे कि एक माँ होगी, और यहां तक कि अधिक प्रमाणपत्र, जब तक कि वह खुद को नहीं देखती है, वह अपने बेटे को मारने के लिए विश्वास नहीं करती है। याद रखें कि यादृच्छिक घटनाएं, घटनाएं जब तक कि संभावना सकारात्मक हैं, चाहे संभावना का मूल्य कितना भी छोटा हो, सब कुछ हो सकता है। आखिरकार, तांबे की प्लेट के सकारात्मक होने की संभावना क्या है, केवल भगवान ही जानता है।

  यद्यपि पूर्वगामी संभावनाओं की तीन व्याख्याएं हैं, जो कई वास्तविक जीवन स्थितियों को भी कवर करती हैं, गणितज्ञ निश्चित रूप से यहीं नहीं रुकते हैं; वे अमूर्तवाद और सामान्यीकरण पसंद करते हैं; समीकरणों की तरह, वे एक प्रकार के समीकरण के समाधान को व्यक्त करने के लिए सूत्रों की तलाश करते हैं, न कि केवल एक विशिष्ट उदाहरण की तलाश करने के लिए संतुष्ट होते हैं; और जब वास्तविक संख्या प्रणाली को पूरी तरह से समझ लेते हैं, तो वास्तविक संख्या प्रणाली को तर्कसंगत तरीके से परिभाषित करते हैं; यानी, एक सेट को दिया जाता है, जो संख्याओं का एक सेट है, जिसमें तत्वों के लिए द्विआधारीकरण को परिभाषित किया जाता है, और 10 तर्क दिए जाते हैं (एक्सिओम, नियम) । आप उत्सुक हैं कि क्या द्विआधारीकरण एक तत्व के रूप में कार्य कर सकता है, एक गुणन?

  किसी अवलोकन के सभी संभावित परिणामों का एक समूह है जिसे नमूना स्थान कहा जाता है। यह अवलोकन वास्तविक हो सकता है या केवल आभासी है। नमूना स्थान के कुछ उपसमूहों में हमारी रुचि है, जो कि एक घटना है। सभी घटनाएं भी एक समूह का गठन करती हैं। अंत में, एक संभावना फ़ंक्शन निर्धारित करें, यानी, प्रत्येक घटना के लिए, इस घटना की संभावना के लिए 0,1 के बीच का मूल्य, इस स्थान की घटनाओं का समूह, और संभावना फ़ंक्शन, तीनों संभावना स्थान का गठन करते हैं।

  इसमें नमूना स्थान के लिए बहुत अधिक आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह खाली सेट नहीं हो सकता है। और घटनाओं का एक सेट, कुछ शर्तों को पूरा करना चाहिए। सरल शब्दों में, यह है कि आप में रुचि रखने वाली घटनाएं बहुत कम नहीं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, आप केवल एक घटना A में रुचि नहीं रख सकते हैं, लेकिन A में रुचि नहीं रखते हैं। इसलिए घटनाओं का एक सेट पर्याप्त बड़ा होना चाहिए, कम से कम जो कुछ भी होना चाहिए, वह शामिल किया जाना चाहिए। यह एक तरह से एक शादी की पार्टी से पहले मेहमानों की सूची बनाने जैसा है। बहुत कम लोगों को आमंत्रित किया जा सकता है, जैसे कि दोनों के माता-पिता। और एक बार एक व्यक्ति को सूचीबद्ध किया गया है, उसके समान करीबी लोग भी शामिल हैं। इसलिए हर एक व्यक्ति को सूचीबद्ध करने के लिए, केवल एक व्यक्ति नहीं बढ़ेगा, लेकिन इसके साथ कई लोग बढ़ेंगे। और संभावना फ़ंक्शन, क्योंकि संभावना का नाम, निश्चित रूप से कुछ बुनियादी शर्तों को पूरा करता है, जो संभावना के बारे में पहले से ज्ञात है।

  संभावनाओं के स्थान के ढांचे के तहत, संभावनाओं की व्याख्या करने वाले व्यक्ति, जो भी तरीका अपनाते हैं, वे अपने स्वयं के शब्दों को व्यक्त कर सकते हैं और संभावनाओं के अर्थ को ढूंढ सकते हैं। लेकिन अब्रूटेशन के बाद, यह अब तांबे के बोर्ड, डैक्स, और पोकर कार्ड आदि तक सीमित नहीं है, इसलिए अधिक सामान्य मुद्दों पर चर्चा करने के लिए पर्याप्त सिद्धांत हैं।

  गणित के अन्य क्षेत्रों की तुलना में संभावना सिद्धांत का विकास देर से हुआ था; लेकिन औचित्यवाद के बाद, संभावना सिद्धांत ने तेजी से गहराई से विकास किया और गणित का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र बन गया। यह बीसवीं शताब्दी के महत्वपूर्ण संभावनावादी, रूसी कोमोगोलोव (Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987) के लिए धन्यवाद है, जिन्होंने 1933 में प्रकाशित 100 से भी कम पृष्ठों की पुस्तिका Foundationsof the Theory of Probability में संभावना सिद्धांत का आधार रखा। इस पुस्तक में, उन्होंने कहाः

  एक गणितीय अनुशासन के रूप में, संभाव्यता का सिद्धांत, ज्यामिति और बीजगणित के समान ही तरीके से सिद्धांतों से विकसित किया जा सकता है और किया जाना चाहिए।

• संभावनाओं का संसार कहाँ है?

  फ्रांस के न्यूटन नाम के एक व्यक्ति (पियरे-सिमोन, मार्कस डी लाप्लास, 1749-1827) ने कहा थाः

  यह विज्ञान, जो कि भाग्य के खेलों के विचार में उत्पन्न हुआ, मानव ज्ञान का सबसे महत्वपूर्ण वस्तु बन जाना चाहिए। जीवन के सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न, अधिकांश भाग के लिए, वास्तव में केवल संभावना के प्रश्न हैं।

  संभावनाएं यादृच्छिक घटनाओं के लिए हैं; लेकिन दुनिया में सब कुछ यादृच्छिक नहीं है, हमने कहा कि अपरिहार्यता भी है; मान लीजिए कि एक या दो पक्षों को एक आदमी के सिर के लिए एक तांबे की प्लेट है, और आप उस पक्ष को प्राप्त करेंगे। आप जानते हैं कि यह एक अपरिहार्य घटना है, लेकिन फिर भी आप कह सकते हैं कि एक आदमी के सिर के होने की संभावना 1 है, और अन्य स्थितियों के होने की संभावना 0 है; यानी इसे एक गिरावट वाले कंक्रीट यादृच्छिक घटना माना जाता है।

  कुछ भौतिकविदों का यह भी मानना है कि एक बार जब एक तांबे की प्लेट को फेंक दिया जाता है, तो इसकी गति, कोण, जमीन की लोच, तांबे की प्लेट के आकार और वजन आदि की शर्तों से गणना की जा सकती है, और इसलिए यह यादृच्छिक नहीं है। लॉटरी के उद्घाटन के बारे में, जब तक शुरुआती शर्तों का पता लगाया जाता है, तब तक एक गेंद को खोला जाता है, और इसलिए यह यादृच्छिक नहीं है। लेकिन आप लगभग जानते हैं कि तथाकथित तितली प्रभाव है। माप में बहुत कम त्रुटियां हो सकती हैं, और कभी-कभी कुछ मामूली अंतर, लेकिन प्रभाव बहुत बड़ा हो सकता है। इसलिए हम यह मानना पसंद करते हैं कि ये सभी यादृच्छिक घटनाएं हैं।

  कुछ धर्मशास्त्रियों का मानना है कि सब कुछ वास्तव में भगवान के इरादे के अनुसार होता है, लेकिन हम यह नहीं जानते हैं कि क्या यह सच है। क्या आपने प्रिंस जेसन और द अर्गोनाट्स को देखा है? यह ग्रीक पौराणिक कथाओं पर आधारित एक फिल्म है, जो बारह सितारों में मेष राशि से संबंधित है। यह 1963 में रिलीज हुई थी। मैं बचपन में देखा था, लेकिन आज भी प्रभावित हूं। फिल्म में प्रिंस जेसन के साथ अचानक होने वाली विभिन्न आपदाएं, और बार-बार वीरतापूर्ण हत्यारे जी, जो बाद के दिनों में हेरा और देवदूत ज़ीउस के रूप में जुड़ी हुई हैं, जो अलग-अलग हस्तक्षेप और सहायता करते हैं। लेकिन अगर आप भगवान के इरादे को नहीं जानते हैं, तो भविष्य को केवल आकस्मिक माना जा सकता है।

  तकनीकी प्रगति के साथ, लोगों को धीरे-धीरे कई घटनाओं के बारे में समझ में आ रहा है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि एक बार जब एक महिला गर्भवती होती है, तो बच्चे का लिंग निर्धारित हो जाता है। लेकिन एक बड़ी पेट वाली महिला के लिए, अच्छे लोग अज्ञात होने के कारण, वे अभी भी अपने बेटों के जन्म की संभावना का अनुमान लगा सकते हैं। परीक्षा की पूर्व संध्या पर, छात्रों ने गंभीरता से तैयारी की, लेकिन अभी भी अपने दिमाग में अटकलें लगाईं, हर कोई बहुत अधिक संभावना वाले विषयों के बारे में सोचता है। जब शिक्षक को पता चलता है, तो यह बहुत अच्छा लगता है। कक्षाओं में बार-बार संकेत दिया गया है कि वे खुद को, लगभग सभी निर्धारित कर सकते हैं, और क्या अनुमान लगाना चाहिए? वास्तव में, परीक्षण पहले से ही मुद्रित किया जा सकता है, लेकिन परीक्षा के विपरीत, और अनुभवहीन शिक्षक द्वारा संकेतित संकेत और स्पष्टीकरण के रूप में, इसलिए अभी भी एक अनुमान लगाना चाहिए। इसके अलावा, जैसे कि दरवाजे पर दस्तक देना, क्या आप उत्सुक हैं? क्या पुरुष और महिलाएं अनुमान लगाना चाहते हैं कि आप शरद ऋतु के बाद पानी का आटा ले रहे हैं?

  लेकिन एक शिक्षक के लिए, जो पहले से ही एक प्रश्न का उत्तर दे चुका है, इसका कोई मतलब नहीं है कि प्रश्न का उत्तर देने की संभावना क्या है, क्योंकि उसके लिए प्रत्येक प्रश्न का उत्तर देने की संभावना केवल 1 या 0 है, और कोई अन्य मूल्य नहीं है। इसी तरह, एक व्यक्ति के लिए, जो फल को पीछे से देखता है, एक मोम या सेब का उत्तर देने की संभावना केवल 1 या 0 है। यादृच्छिकता यादृच्छिकता से अलग है। हमने कहा है कि संभावनाओं का तर्क यह है कि यह पर्याप्त लचीला है, इसलिए आप इसे हिला सकते हैं, लेकिन तर्कसंगत रहें, अन्यथा इसे ऊपर उठाएं। यदि आप स्पष्ट रूप से जानते हैं कि यह एक सेब है, तो यह कहने की संभावना है कि यह एक मोम है, यह 0.5 है; या यह जानते हुए कि डॉक्टर ने सभी सूचनाओं को संभाला है, और यह भी कहा कि यह पैदा होने की संभावना है कि पुरुष हैं, तो यह 0.5 है, और हम संभावनाओं के बारे में कभी नहीं बोले हैं।

• संभावनाओं की व्याख्या

  धारा 2 में, हम संभावनाओं को संभावनाओं के स्थान के रूप में पेश करते हैं; क्योंकि नमूना स्थान आभासी हो सकता है, इसलिए घटनाएं आभासी होती हैं; लेकिन मान लीजिए कि वास्तव में एक अवलोकन है, जैसे कि एक चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-पक्षीय, चार-

  यदि आप संभावना स्थान के अवधारणा को स्वीकार कर चुके हैं, और गणितज्ञों ने अक्सर कुछ स्वेच्छा से परिभाषित किया है, तो आप अभी भी आश्चर्यचकित हो सकते हैं कि यह 0.1 की संभावना के साथ क्या मतलब है? क्या यह 10 बार होता है, और 1 एक बार होता है? नहीं! एक गणित स्नातक, जो संभावना सिद्धांत का अध्ययन करता है, कृपया आपको यह समझाएंः

  假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。

  आप, जो व्यावहारिक हैं, शायद इस तरह की व्याख्या को व्यावहारिक नहीं समझते हैं. सबसे पहले सवाल पूछें कि अनंत के करीब क्या है? आप हमेशा फेंक रहे हैं, बिना रुके, सूरज उगता है, वसंत आता है और गिरता है, और फिर भी फेंकना जारी रखता है, भले ही आपके चाचा ने सफलतापूर्वक अपना दिन पूरा कर लिया हो, अनंत अभी तक नहीं पहुंचा है। वह गणित स्नातक, जब उसने आपको अनंत के बारे में पूछा, तो वह मछली पानी की तरह है, जो कि गणित में चार साल की ठंड की खिड़की में सीखी गई कुछ अनूठी युक्तियों में से एक है। आपको अनंत के बारे में बात करना बंद करना होगा, क्योंकि यहां तक कि चाचा ने भी अपना दिन पीछा किया, क्या आपको लगता है कि सफलता है? आप संभावनाओं को कैसे समझा सकते हैं, जिसमें अनंत भी शामिल है? लेकिन एक बात आप नहीं बोलते हैं कि मैं असमानता का अर्थ समझता हूं, लेकिन मुझे संभावनाओं की अवधारणा का उपयोग करके कैसे समझा सकता हूं?

  संभावनाओं के अर्थ को समझाने के लिए, संभावनाओं और अनंत के बीच एक परत के बाद एक परत की ओर मुड़ना होगा; यह एक बिंदु को परिभाषित करने की कोशिश करने जैसा है, और परिणाम एक ऑनलाइन समूह में गिर जाएगा, सीखना मुश्किल है; अंत में, यह कहना है कि बिंदु एक अपरिभाषित संज्ञा है; लेकिन किसी भी तरह, आपको समझना चाहिए कि उपरोक्त 4 आयामों के लिए, केवल एक बार फेंकने का मतलब है कि बिंदु 1 की संभावना 0.1 है, और यह कि 0.1 है। संभावना केवल कुछ बार देखने का परिणाम नहीं है। संभावनाओं के बड़े नमूने में, शक्ति प्रकट होती है। संभावनाओं के अर्थ, क्योंकि इसे स्वीकार्य तर्क का एक सेट नहीं दिया जा सकता है। फिर पीछे हटें और पूछें कि क्या लोग माइक्रोस्कोपिक संभावनाओं के अर्थ को समझते हैं?

  पहले के गणित के स्नातक की व्याख्या, यह तब उपयोगी हो सकता है; यह बड़ी संख्याओं के कानूनों में से एक का एक सरल संस्करण है; गणित में इसका मतलब है कि घटनाओं की घटना की सापेक्ष आवृत्ति, बैठक की संभावना घटनाओं की संभावनाओं के लिए गिर जाती है; याद रखें कि यादृच्छिक दुनिया में, अभी भी कुछ नियम हैं जिनका पालन करना है, और संख्यात्मक कानून उनमें से एक महत्वपूर्ण है। बेशक हमने कहा है कि वास्तव में घटनाओं का अवलोकन अनंत संख्या में नहीं किया जा सकता है। क्या यह कहा जा सकता है कि घटनाओं की घटनाओं की सापेक्ष आवृत्ति, जब अवलोकनों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो घटनाओं की घटनाओं की संभावना के करीब होना चाहिए?

  घटनाएं तब तक हो सकती हैं जब तक कि उनकी संभावना सकारात्मक हो। इसलिए, किसी भी बड़ी संख्या में अवलोकनों के बावजूद, बहुत अधिक विकृत (जैसे 1,000,000 बार अवलोकन, 1 बिंदु की संख्या 0 या 1,000,000 बार) घटनाएं होने से बाहर नहीं किया जा सकता है। लेकिन, जब सांख्यिकीविद बाहर कूदते हैं, तो यह पता लगाने के लिए एक परीक्षण किया जा सकता है कि क्या बिंदु 1 की संभावना वास्तव में 0.1 है, जो सांख्यिकी में परीक्षण परिकल्पनाओं की श्रेणी में आता है। सरल शब्दों में, यह एक परिकल्पना के तहत इस तरह के परिणामों का निरीक्षण करने के लिए है, क्या यह असामान्य है? असामान्य कहा जाता है, इसका मतलब है कि होने की संभावना बहुत कम है, एक पूर्वानुमान से कम है।

  यदि यह असामान्य है, तो प्रारंभिक धारणा स्वीकार नहीं की जाती है। संक्षेप में, यदि यह माना जाता है कि एक तांबे की प्लेट निष्पक्ष है, तो 100 बार फेंका जाता है और कम से कम 80 सकारात्मक होते हैं, 10 बार फेंके जाने की तुलना में कम से कम 8 सकारात्मक होते हैं, पूर्व असामान्य है, क्योंकि इसकी संभावना बाद की तुलना में बहुत कम है। इसलिए, 80% से अधिक सकारात्मक संख्या प्राप्त करने के बाद, जितनी बार फेंकी जाती है, हमें इस तांबे की प्लेट के अन्याय में अधिक विश्वास होगा, जबकि इसे स्वीकार करने के लिए सकारात्मक होने की संभावना कम से कम 0.8 है। यह दर्शाता है कि हमारे सांख्यिकी में, नमूना बड़ा है, निष्कर्ष अधिक सटीक होगा।

  यादृच्छिक दुनिया में, कौन सा सच है, आमतौर पर ज्ञात नहीं होता है. हम अक्सर यह साबित नहीं कर सकते हैं कि क्या सच है. लेकिन यह एक परिकल्पना है, यह देखते हुए कि आप उस परिकल्पना को स्वीकार करते हैं. 4 चेहरे के बिंदु संख्या 1 के होने की संभावना 0.1 है या नहीं, यह साबित नहीं किया जा सकता है कि यह सच है, भले ही कई बार फेंक दिया जाए। केवल यह कहा जा सकता है कि डेटा बताता है कि भैंस भैंस को स्वीकार कर सकती है, या भैंस भैंस को स्वीकार नहीं कर सकती है। यहां एक तंत्र है जो निर्णय लेने के लिए है कि इसे स्वीकार करना है या नहीं।

  इसके अलावा, एक चार पहलुओं के लिए, अंक 1 के होने की संभावना का अनुमान भी लगाया जा सकता है, कुछ अलग-अलग अनुमान हैं, और अलग-अलग अनुमान प्राप्त किए जा सकते हैं। गणित में, विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हुए, एक ही परिणाम का परिणाम होना चाहिए। तथाकथित विशेषाधिकार समान है। लेकिन सांख्यिकी में, जब तक कुछ सीमाएं नहीं होती हैं, तब तक अक्सर कोई निश्चित तरीका नहीं होता है। अप्रत्याशित भविष्य के लिए, हमें अक्सर अनुमान लगाना पड़ता है, और सांख्यिकी इस संबंध में एक अच्छी भूमिका निभा सकती है। जैसे कि तांबे की प्लेटों के सकारात्मक होने की संभावना, और रोगी के अस्तित्व आदि, सभी अनुमान लग सकते हैं। लेकिन कभी-कभी यह महसूस होता है कि एक अनुमान, हालांकि स्पष्ट है, लेकिन अनुमान लगाना मुश्किल है कि वास्तविक मूल्य के साथ सही है, एक पल के लिए, अक्सर अनुमान नहीं लगाया जाता है। आश्रित क्षेत्रों की अवधारणा के कारण, आदि।

• आस्था का अंतर

  हम अक्सर किसी अज्ञात मात्रा पर अनुमान लगाते हैं; अज्ञात मात्रा किसी घटना की संभावना, किसी वितरण के पैरामीटर (जैसे कि अपेक्षित मूल्य और चर आदि) या किसी वस्तु के जीवनकाल आदि हो सकते हैं। ये अज्ञात मात्राएं, जिन्हें पैरामीटर कहा जाता है, कभी-कभी एक क्षेत्र में पैरामीटर का अनुमान लगाया जाता है, और इस क्षेत्र को उस पैरामीटर की संभावना के रूप में दिया जाता है। यह एक क्षेत्र अनुमान कहा जाता है, और प्राप्त क्षेत्र को विश्वास क्षेत्र कहा जाता है। और क्षेत्र जो पैरामीटर की संभावना को कवर करता है, उसे इस क्षेत्र में विश्वास का स्तर कहा जाता है।

  डेटा सांख्यिकीविदों के लिए निर्णय लेने का मुख्य आधार है. यदि डेटा की कमी है, तो वे अक्सर एक सरल और सामान्य स्थिति को देखने के लिए एक छोटी सी बात को छोड़ देते हैं. मान लें कि एक तांबे की प्लेट के सकारात्मक होने की संभावना p का अनुमान लगाना है. स्वाभाविक रूप से, कई बार, उदाहरण के लिए, n बार, और n बार परिणामों का निरीक्षण किया जाता है। इस प्रक्रिया को नमूनाकरण कहा जाता है। इस मामले में, प्रत्येक बार के परिणाम मायने नहीं रखते हैं। कुल मिलाकर, सकारात्मक संख्याओं को a के रूप में जाना जाता है। a को जानते हुए, सभी जानकारी का अधिग्रहण किया जाता है।

  यहाँ यह दो-विसरणों से संबंधित है, और गणना अधिक जटिल है, इसलिए यदि n काफी बड़ा है (n बहुत छोटा नहीं है), तो हम अक्सर सामान्य वितरण के माध्यम से अनुमान लगा सकते हैं। यह संभावना सिद्धांत में एक और महत्वपूर्ण नियम है, सेंट्रल लिमिट थ्योरी। यह उल्लेख करना महत्वपूर्ण है कि केवल सामान्य वितरण के साथ अनुमान लगाने के लिए, केंद्रीय सीमा थ्योरी का उपयोग करना आवश्यक है, न कि सभी विश्वास क्षेत्रों के लिए।

  यह अनुमान लगाया जाता है कि पीसी के लिए सकारात्मक संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए, नमूनाकरण से पहले, विश्वास सीमा एक यादृच्छिक सीमा है, यदि विश्वास स्तर 95% पर सेट किया गया है, तो वहाँ (या अधिक सटीक रूप से, वहाँ लगभग एक घन है, अगर विश्वास सीमा केवल अनुमानित है) 0.95 की संभावना है, विश्वास सीमा में पी शामिल है; नमूनाकरण के बाद, एक निश्चित सीमा प्राप्त की जाती है; तो पी इस सीमा की संभावनाओं में से एक होगा, 1 के बजाय 0, और अब पी नहीं होगा; क्यों?

  हम पहले इस उदाहरण को समझाते हैं. मान लीजिए कि किसी सुपरमार्केट की सालगिरह है और ग्राहक एक निश्चित राशि की खरीदारी करते हैं, तो आप 1 से 10 तक 1 लॉटरी बॉल निकाल सकते हैं. यदि आप 5 को निकालते हैं, तो आप आज कंपनी में खर्च करने के लिए 30% बंधक टिकट प्राप्त कर सकते हैं. ड्रॉ करने से पहले आप जानते हैं कि बंधक टिकट प्राप्त करने की संभावना 0.1 है, मौका छोटा नहीं है। एक बार जब आप ड्रॉ करते हैं, तो 3 को देखते हैं, तो बंधक टिकट प्राप्त करने की संभावना निश्चित रूप से 0 है।

  इस तरह के कई उदाहरण हैं........................................................................

  और फिर, जैसा कि पाठ्यक्रम में कहा गया है, आप भी कर सकते हैं यादृच्छिक अंक तालिका के अनुकरण में सकारात्मक दिखाई देते हैं ((कार्यक्रम में कम हैं) सकारात्मक दोहरे शब्द, यह समझ में नहीं आता है) संभावना पी के लिए तांबे की प्लेट n बार है, विश्वास की सीमा प्राप्त करने के लिए। आप देखते हैं, पी मूल रूप से पूर्व निर्धारित है, एक अनुकरण के परिणामों में से एक निश्चित सीमा है, पी के बीच गिर गया है, एक नज़र में पता है, कैसे कहा जा सकता है कि क्षेत्र को कवर करने की संभावना पी 0.95 है?

  उस 95% का क्या उपयोग है? 0.95 एक संभावना मूल्य है, और संभावना मूल्य कभी भी केवल एक बार देखने के लिए प्रयोगों का परिणाम नहीं है। यह लगभग कहा जा सकता है कि यदि एक प्रयोग दोहराया जाता है और कई विश्वास सीमाएं प्राप्त की जाती हैं, तो इसमें पी के लिए विश्वास सीमाओं की संख्या शामिल होगी, जो सभी अंतरों का लगभग 95% है। इसलिए, 0.95 का अर्थ है, जैसा कि हमने पिछले अनुभाग में संभावनाओं की व्याख्या की थी। लेकिन ध्यान रखें कि एक ही पी के लिए, यदि पूरे वर्ग में 40 लोग हैं, तो आपको 40 95% विश्वास सीमाएं नहीं मिलेंगी, जिनमें से एक में पी की संख्या 85% से अधिक नहीं है (यदि 34 से अधिक नहीं है) । यह संभावना लगभग 0.01388 ((नोट 2) बहुत बड़ी नहीं है, लेकिन जब तक कक्षाएं पर्याप्त हैं, यह मुश्किल नहीं है।

• परिस्थितियों की व्याख्या

  चूंकि संभावनाएं हमारे जीवन की आदतों से जुड़ी होती हैं, इसलिए संभावनाओं का सही उपयोग करना यादृच्छिक दुनिया में अधिक सटीक निर्णय लेने में मदद करेगा। लेकिन संभावनाओं का उपयोग करना अक्सर आसान नहीं होता है, और संभावनाओं का मूल्य अक्सर गलत माना जाता है। और यह भी कहा जाता है कि अलग-अलग संभावनाओं का प्रस्ताव किया जाता है। व्यक्तिगत कारण क्या है? एक प्रमुख कारण यह है कि स्थिति की गलत व्याख्या है।

  अतीत में, गणित के पाठ्यक्रमों में, हम तथाकथित अनुप्रयोग समस्याओं का सामना करते थे। समस्याएं समझते हैं, गणित के सूत्रों को लिखने के बाद, गणित को हल करना है। तब आप पहले की तरह लंबी कथा को छोड़ सकते हैं। लेकिन संभावनाओं में, कुछ सरल प्रतीत होने वाली स्थितियां हैं, जिन्हें अलग-अलग व्याख्या के कारण दक्षिण या उत्तर या उत्तर या उत्तर या उत्तर के निष्कर्षों का कारण बनता है। नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

  फिल्म के अंत में 21 अंक (अंग्रेजी नाम 21 है) में, गणित के प्रोफेसर ने कक्षा में एक प्रश्न पूछा। वहाँ तीन दरवाजे हैं, जिनमें से एक दरवाजे के बाद कार है, और अन्य दो दरवाजे बकरियों के लिए हैं। जब आप पहला दरवाजा चुनते हैं, तो होस्ट दूसरा दरवाजा खोलता है और बकरियों को देखता है।

  हाँ, क्योंकि दरवाजे 1 से दरवाजे 3 पर स्विच करके कार पाने की मेरी संभावना 33.33% से बढ़कर 66.67% हो जाएगी।

  प्रोफेसर ने कहा, "बहुत अच्छा! ओह, मैं उनके विचार से सहमत हूं, यानी इसे बदलना चाहिए। कुछ लोगों ने इस पर सवाल उठाए हैं।

  तुलनात्मक रूप से सही कथन यह होना चाहिए कि यदि होस्ट पहले से जानता है कि कार उस दरवाजे के पीछे है, तो वह एक दरवाजे के बाद बकरी का दरवाजा खोलता है (यह एक अधिक उचित तरीका है, अन्यथा खेल नहीं चल सकता है) तो यदि तीसरा दरवाजा चुना जाता है, तो फिल्म में छात्र के अनुसार, कार प्राप्त करने की संभावना 1/3 से 2/3 तक बढ़ जाती है। लेकिन यदि होस्ट पहले से नहीं जानता है कि कार उस दरवाजे के बाद है (यह निश्चित रूप से दुर्लभ मामला है) तो केवल 2 और 3 दरवाजे में से एक को खोलने के लिए यादृच्छिक रूप से चुनता है, और दरवाजे के ठीक बाद बकरी है, तो इसे बदलने की आवश्यकता नहीं है, बदलना या नहीं, कार प्राप्त करने की संभावना 1/2 है।

  लेकिन क्या पाठक ने ध्यान दिया है कि जब मेजबान पहले से जानता है कि कार उस दरवाजे के पीछे है, तो हम वास्तव में एक धारणा बनाते हैं; अर्थात् यदि दूसरा और तीसरा दरवाज़ा सभी बकरियों के पीछे है, तो मेजबान यादृच्छिक रूप से दूसरा या तीसरा दरवाज़ा खोलता है (यानी, प्रत्येक के 1/2 की संभावना के साथ); वास्तव में, एक अधिक सामान्य धारणा हो सकती है। जब दूसरा और तीसरा दरवाज़ा सभी बकरियों के पीछे है, तो मेजबान को q1 और?q की संभावना के साथ, दूसरे या तीसरे दरवाजे को खोलने के लिए मान लें, जिसमें 0≤q≤1 है; और तीसरे दरवाजे को बदल दें, तो कार का चयन करने की संभावना 1/1+q है।

  एक और उदाहरण देखेंः एक दंपति एक समुदाय में बसने के लिए आया था, और सभी को पता था कि उनके दो बच्चे हैं, और लिंग का पता नहीं था। एक दिन, एक समुदाय के प्रशासक ने देखा कि घर में एक बच्चा है, और एक बच्चे के साथ खेल रहा है। यदि बच्चा एक लड़की है, तो यह संभावना है कि दोनों बच्चे लड़कियों के हैं। कई लोगों ने सोचा कि यह मुश्किल नहीं है, यह संभावना 1/3 है। वास्तव में, यह समस्या हमारे विचार से बहुत अधिक जटिल है। कुंजी यह है कि इस घर में एक लड़की के साथ एक बच्चे को कैसे देखा जाए, और इसे उचित संभावना के स्थान में कैसे बदल दिया जाए। यह स्पष्ट करना है कि बच्चे को कैसे लाया जाए। ध्यान दें कि यह घटना कम से कम एक लड़की के साथ एक परिवार में एक बच्चे के साथ नहीं है!

  अंत में एक और उदाहरण देखें, जो अक्सर संभावना सिद्धांत के पाठ्यपुस्तकों में दिखाई देता है; एक इकाई चक्र के साथ एक विमान पर, एक स्ट्रिंग को यादृच्छिक रूप से चित्रित किया जाता है, जिसमें स्ट्रिंग का आकार इस चक्र के अंतर्निहित से बड़ा होता है। यह ज्यामिति का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। लेकिन कैसे एक स्ट्रिंग को यादृच्छिक रूप से चित्रित किया जाता है? यह जानना है कि 1 से n तक के n सकारात्मक पूर्णांक में से, एक संख्या को यादृच्छिक रूप से निकालना, इसका अर्थ स्पष्ट है, प्रत्येक संख्या को निकाले जाने की संभावना 1/n है; स्वयं अंतर [0,1] के बीच एक संख्या को यादृच्छिक रूप से निकालना, जिसका अर्थ यह भी है कि यह संख्या [0,1] के किसी भी भाग में गिरने की संभावना है, इस भाग की लंबाई के लिए। लेकिन यादृच्छिक स्ट्रिंग का चित्रण कैसे किया जाता है? इस शब्द के लिए कई अलग-अलग व्याख्याएं हैं।

  उपरोक्त कुछ उदाहरणों से पता चलता है कि संभावनाओं की समस्याओं को संबोधित करते समय, स्थिति को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए; शब्दावली के लिए, संभावनाओं की जगह स्पष्ट रूप से दी जानी चाहिए, अन्यथा सभी बातें होंगी; कभी-कभी संभावनाओं की जगह नहीं दी जाती है, लेकिन स्थिति सरल होती है, सभी के बीच एक आम राय होती है, इस समय संभावनाओं की जगह पर विशेष रूप से जोर क्यों नहीं दिया जाता है, कोई समस्या नहीं है; उदाहरण के लिए, यदि आप एक निष्पक्ष डैश फेंकते हैं, तो 4 से अधिक की संभावनाएं हैं; हालांकि यह केवल एक सरल विवरण है, लेकिन यह संदिग्ध नहीं है; जब स्थिति के बारे में संदेह होता है, जैसे कि जोंग के लेख में कहा गया है, तो आप अपने लेखक से संभावनाओं को समायोजित करने के लिए पूछते हैं; जब यह राजनीतिक या सामाजिक रूप से महत्वपूर्ण विवादों का सामना करता है, तो आपको संविधान को देखना चाहिए, क्या यह असंवैधानिक है, और इसे बड़े पैमाने पर व्याख्या करना चाहिए; एक निश्चित स्थिति के बारे में, बहुत सावधानीपूर्वक व्याख्या की जाती है; एक सांख्यिकीय व्यक्ति गलत हो सकता है, भले ही वह गलत हो।

  स्थितिगत व्याख्या के अलावा, संभावनाओं में कुछ विशिष्ट अवधारणाओं, जैसे कि सशर्त संभावना, स्वतंत्रता, और यादृच्छिक नमूनाकरण, को भी संभावनाओं को लागू करते समय सावधानीपूर्वक ध्यान में रखा जाना चाहिए।