��ा है। 2021 में, स्थायी अनुबंधों के लिए व्यापार की मात्रा पिछले वर्ष की तुलना में लगभग चौगुनी हो गई। तालिका 1 व्यापारिक मात्रा के इस विकास को अनुभवजन्य रूप से प्रदर्शित करती है। यह डेरीबिट एक्सचेंज पर तीन प्रमुख बिटकॉइन डेरिवेटिव्स के लिए औसत दैनिक वॉल्यूम और ओपन इंटरेस्ट दिखाता है। 2020 और 2021 के बीच सभी उत्पादों में वॉल्यूम और ओपन इंटरेस्ट में उल्लेखनीय वृद्धि हुई, जो संभवतः प्रमुख बैंकों और मालिकाना ट्रेडिंग फर्मों की क्रिप्टो स्पेस में रुचि के कारण हुआ।

चित्र 1. डेरीबिट वायदा और सतत अनुबंधों की औसत दैनिक ट्रेडिंग मात्रा।

चित्र 1 में जनवरी 2020 से जनवरी 2022 तक सतत अनुबंधों की औसत दैनिक मात्रा (नीला) और अन्य सभी वायदा अनुबंधों की औसत कुल मात्रा (लाल) दर्शाई गई है। दैनिक मात्रा की गणना 24 घंटे की अवधि में डेरीबिट पर कारोबार किए गए कुल अनुबंधों की संख्या को उनके $10 के अनुमानित मूल्य से गुणा करके, फिर पिछले सात दिनों का औसत लेकर की जाती है। परिणाम अरबों अमेरिकी डॉलर में हैं।

तालिका 1. डेरीबिट बिटकॉइन डेरिवेटिव्स का वॉल्यूम और ओपन इंटरेस्ट।

3. बिटकॉइन निहित अस्थिरता

चित्र 2, डेरीबिट विकल्पों से प्राप्त निहित अस्थिरता वक्र की अनुभवजन्य गतिशीलता को दर्शाता है, जिसे दैनिक संरचना में ढाई वर्ष की अवधि में दर्शाया गया है। मनीनेस अक्ष आउट-ऑफ-द-मनी कॉल विकल्पों से आउट-ऑफ-द-मनी पुट विकल्पों तक की कीमत द्वारा निहित अस्थिरता वक्र का प्रतिनिधित्व करता है, जहां डीप आउट-ऑफ-द-मनी पुट विकल्पों की मनीनेस 0.7 है, डीप आउट-ऑफ-द-मनी कॉल ऑप्शन की मनीनेस 1.3 है, और एट-द-मनी ऑप्शन की मनीनेस 1.3 है। कॉल और पुट ऑप्शन दोनों की मनीनेस 1 है, और हम इन मनीनेस स्तरों को दर्शाने के लिए डेटा को इंटरपोल करते हैं एक निश्चित 30-दिन की समाप्ति अवधि. डेटा और उसके फ़िल्टरिंग के बारे में अधिक विवरण अगले अनुभाग में दिया गया है।

चित्र 2. बिटकॉइन निहित अस्थिरता वक्र।

30-दिवसीय निरंतर समाप्ति अवधि के साथ बिटकॉइन विकल्पों के लिए निहित अस्थिरता वक्र, 1 जनवरी 2020 से 30 जून 2022 तक दैनिक डेटा को कवर करता है, जो आउट-ऑफ-द-मनी और एट-द-मनी विकल्पों से प्राप्त होता है। स्ट्राइक कीमतें वर्तमान अंतर्निहित बिटकॉइन सूचकांक मूल्य से 30% नीचे से लेकर 30% ऊपर तक होती हैं।

समय के साथ वक्र का आकार बहुत बदल जाता है। मार्च 2020 में “ब्लैक थर्सडे” घटना के तुरंत बाद, जब बिटकॉइन की कीमत कुछ ही घंटों में 30% से अधिक गिर गई, तो निहित अस्थिरता वक्र ने नकारात्मक रूप ले लिया, जो इक्विटी इंडेक्स विकल्पों के लिए विशिष्ट है। यानी, आउट-ऑफ-द-मनी पुट ऑप्शंस की अस्थिरता आउट-ऑफ-द-मनी कॉल ऑप्शंस की तुलना में बहुत अधिक है। हालाँकि, सामान्य तौर पर, बिटकॉइन विकल्पों में स्टॉक इंडेक्स विकल्पों की तुलना में बहुत अधिक अस्थिरता होती है। नमूना अवधि के अधिकांश समय में, निहित अस्थिरता वक्र एक “हॉकी स्टिक” आकार प्रदर्शित करता है, जबकि विशेष रूप से शांत समय के दौरान यह एक मामूली सममित मुस्कान में समतल हो जाता है। सकारात्मक विषमता के मामले भी हैं, जहां आउट-ऑफ-द-मनी कॉल की अस्थिरता आउट-ऑफ-द-मनी पुट की तुलना में बहुत अधिक होती है। ये विशेषताएं इक्विटी सूचकांक विकल्प बाजार में आम नहीं हैं, जहां उनका वर्णन करने के लिए अक्सर “स्माइल” के बजाय “स्क्यू” शब्द का उपयोग किया जाता है। इस बिंदु के समर्थन में, चित्र 3 निहित अस्थिरता मुस्कान का एक और दृश्य प्रदान करता है। यह मुद्रा के विभिन्न स्तरों पर बिटकॉइन की निहित अस्थिरता (शीर्ष चार्ट) को दर्शाता है, साथ ही एटीएम अस्थिरता से विचलन को भी दर्शाता है, अर्थात निश्चित-मुद्रा अस्थिरता और एटीएम अस्थिरता (नीचे चार्ट) के बीच का अंतर। अधिकांश नमूनों में, 0.7 मनीनेस वाले आउट-ऑफ-द-मनी पुट ऑप्शन में सबसे अधिक निहित अस्थिरता होती है। पारंपरिक (शेयर) बाजारों में, ये अत्यधिक आउट-ऑफ-द-मनी पुट ऑप्शन, गिरते शेयर मूल्यों के विरुद्ध एक आकर्षक बीमा होते हैं। उदाहरण के लिए, एसएंडपी 500 में, निहित अस्थिरता वक्र की स्पष्ट और लगभग रैखिक रूप से तिरछी आकृति का अर्थ है कि अंतर्निहित परिसंपत्ति में गिरावट के बाद जिन विकल्पों की कीमत में सबसे अधिक वृद्धि होती है, वे सबसे कम मौद्रिक होते हैं। इसके विपरीत, चित्र 3 से पता चलता है कि 12 मार्च 2020 को दुर्घटना से पहले, बिटकॉइन का निहित अस्थिरता वक्र अपेक्षाकृत सममित था। एटीएम विकल्पों में सबसे कम अस्थिरता लगभग 50% होती है, जबकि आउट-ऑफ-द-मनी पुट और आउट-ऑफ-द-मनी कॉल में लगभग समान अस्थिरता होती है, लेकिन दोनों ही अधिक होती हैं, जिसमें मनी की अस्थिरता 0.7 और 1.3 विकल्प होते हैं। लगभग 75%. हालांकि, इस गिरावट में एक स्पष्ट असममित मुस्कान थी, जिसमें आउट-ऑफ-द-मनी पुट ऑप्शन्स को जोखिम से बचने वाले निवेशकों से उच्च प्रीमियम प्राप्त हुआ, ताकि कीमतों में फिर से तेज गिरावट आ सके। 30-दिन के गहरे आउट-ऑफ-द-मनी पुट ऑप्शन की निहित अस्थिरता अचानक लगभग 200% तक बढ़ गई। बिटकॉइन में पहली बार स्पष्ट नकारात्मक झुकाव देखा गया है, लेकिन इसका आकार अभी भी इक्विटी इंडेक्स विकल्पों में आमतौर पर देखे जाने वाले झुकाव की तुलना में काफी सपाट है। यह विषमता बनी रहती है, लेकिन जैसे ही निहित अस्थिरता का स्तर कम होता है, निहित अस्थिरता वक्र का आकार पुनः मुस्कुराहट जैसा आकार लेने लगता है।

चित्र 3. बिटकॉइन निहित अस्थिरता और एटीएम पूर्वाग्रह।

यह आंकड़ा 30 दिनों की अवधि और 1 जनवरी 2020 से 30 जून 2022 की समय सीमा वाले बिटकॉइन विकल्पों के लिए निहित अस्थिरता वक्र को दर्शाता है। वक्र की गणना आउट-ऑफ-द-मनी और एट-द-मनी विकल्पों का उपयोग करके की जाती है, जिसमें स्ट्राइक मूल्य बिटकॉइन सूचकांक के वर्तमान मूल्य में 30% की गिरावट से लेकर 30% की वृद्धि तक होता है।

हमारे नमूना डेटा के आधार पर, एटीएम (एट द मनी) निहित अस्थिरता स्माइल वक्र का सबसे निचला बिंदु प्रतीत होता है और अधिकांश समय नकारात्मक रूप से तिरछा होता है। हालांकि, इक्विटी सूचकांक विकल्पों के विपरीत, स्माइलिंग कर्व उच्च अस्थिरता की अवधि के दौरान महत्वपूर्ण सकारात्मक तिरछापन प्रदर्शित करता है। उदाहरण के लिए, जून 2021 में बिटकॉइन की रैली के दौरान, स्माइल कर्व का ढलान बढ़ गया और कई महीनों तक सकारात्मक रूप से तिरछा बना रहा। जबकि शेयर सूचकांक की कीमतों और अस्थिरता के बीच संबंध लगभग हमेशा बड़ा और नकारात्मक होता है, बिटकॉइन की कीमतों और इसकी निहित अस्थिरता के बीच संबंध बाजार की स्थितियों पर निर्भर करता है। अगस्त 2019 से नवंबर 2020 तक, बिटकॉइन की कीमत और 30-दिवसीय एटीएम निहित अस्थिरता के बीच सहसंबंध लगभग -0.42 था; अगले पाँच महीनों में, सहसंबंध बढ़कर 0.74 हो गया; और 2022 में जुलाई से नवंबर 2017 तक, कीमत और के बीच सहसंबंध अस्थिरता 0.08 थी.

हालाँकि, कुछ विशेषताएँ स्टॉक इंडेक्स विकल्पों की निहित अस्थिरता के समान हैं: (i) विभिन्न वर्चुअलिटी की अस्थिरता समान परिपक्वता की एट-द-मनी अस्थिरता के साथ अत्यधिक सहसंबंधित है, जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है; (ii) बिटकॉइन की निहित अस्थिरता है अस्थिरता अवधि संरचना उच्च अस्थिरता रिवर्स वायदा और अपेक्षाकृत शांत आगे वायदा के बीच नियमित उतार-चढ़ाव दिखाती है। चित्र 4 से पता चलता है कि, स्टॉक सूचकांकों की अस्थिरता अवधि संरचना के समान, बिटकॉइन की निहित अस्थिरता में भी छोटे उतार-चढ़ाव होते हैं और अधिकांश व्युत्क्रम वायदा अवधि के दौरान समान रुझान होते हैं।

चित्र 4. बिटकॉइन की निहित अस्थिरता अवधि संरचना।

1 जनवरी, 2020 से 31 दिसंबर, 2021 तक 10-दिन, 20-दिन और 30-दिन की निरंतर समाप्ति तिथियों सहित बिटकॉइन विकल्पों की निहित अस्थिरता अवधि संरचना, एट-द-मनी विकल्पों के आधार पर गणना की जाती है। अपेक्षाकृत शांत अवधि के दौरान, अवधि संरचना सकारात्मक वायदा दिखाती है, जबकि दुर्घटनाओं के दौरान (विशेष रूप से मार्च 2020 और जून 2021 में), विपरीत सत्य है।

हम इस लेख के बाकी भाग में बिटकॉइन विकल्पों और वायदों की विशेषताओं का उपयोग करते हैं, जिन्हें हमने ऊपर उजागर किया है। एक दीर्घकालिक बिटकॉइन धारक एक महत्वपूर्ण मूल्य गिरावट से बचाव के लिए आउट-ऑफ-द-मनी पुट ऑप्शन खरीद सकता है और स्पॉट स्थिति को उचित रूप से हेज करने पर विचार कर सकता है। हालांकि, बाजार निर्माता और अन्य पेशेवर व्यापारी गतिशील डेल्टा हेजिंग में सक्रिय रूप से भाग लेते हैं, क्योंकि विकल्पों के जोखिम को हेज करना उनके लिए तरलता प्रदाताओं के रूप में महत्वपूर्ण है। वे इस बचाव को पूरा करने के लिए बीएस डेल्टा का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन इक्विटी विकल्प व्यापारियों के बीच स्माइल कर्व डेल्टा समायोजन की व्यापकता को देखते हुए, बिटकॉइन विकल्पों के लिए इस डेल्टा की प्रभावशीलता की जांच करना दिलचस्प होगा। हमने उस साहित्य की समीक्षा की है जिसमें इक्विटी सूचकांक विकल्पों की हेजिंग के लिए स्माइलिंग कर्व एडजस्टेड डेल्टा की प्रभावशीलता पर चर्चा की गई है और दिखाया है कि कई मामलों में बीएस डेल्टा किसी भी स्माइलिंग कर्व एडजस्टेड डेल्टा जितना ही प्रभावी है। हालाँकि, किसी भी पिछले शोध ने बिटकॉइन विकल्पों के लिए इस प्रश्न का पता नहीं लगाया है, और यह स्पष्ट है - बिटकॉइन निहित अस्थिरता वक्र के बहुत अलग व्यवहार से, जिस पर हमने अभी चर्चा की है और बिटकॉइन के लिए उपलब्ध नए हेजिंग उपकरणों की सरणी से - कि हम आसानी से अनुमान नहीं लगा सकते हैं बिटकॉइन विकल्पों की हेजिंग के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए स्टॉक इंडेक्स विकल्पों के बारे में जो कुछ ज्ञात है, उसका अध्ययन करना आवश्यक है। इसलिए, इस अध्ययन का उद्देश्य विभिन्न स्माइलिंग कर्व समायोजित डेल्टाओं का परिचय देना और उनकी तुलना करना है, जो आमतौर पर चिकित्सकों द्वारा उपयोग किए जाते हैं, ताकि हेजिंग उपकरणों के विभिन्न विकल्पों के आधार पर बिटकॉइन विकल्पों में हेजिंग त्रुटियों के मानक विचलन को कम करने में उनकी प्रभावशीलता का विश्लेषण किया जा सके। वास्तव में, इस शोध को एक्सचेंज स्तर तक भी बढ़ाया जा सकता है, जहां विकल्प ट्रेडिंग और/या हेजिंग होती है। उदाहरण के लिए, क्या डेरीबिट एक्सचेंज पर सूचीबद्ध विकल्पों को हेज करने के लिए बिनेंस या डेरीबिट वायदा या सतत अनुबंधों का उपयोग करना बेहतर है? लेकिन हम इस अध्ययन में बिटकॉइन विकल्प हेजिंग समस्या के इस विस्तृत स्तर पर चर्चा नहीं करते हैं। कम से कम वर्तमान में, लेखन के समय, डेरीबिट विकल्प बाजार में सभी बिटकॉइन विकल्प मात्रा का 90% से अधिक हिस्सा है, और डेरीबिट विकल्प बाजार निर्माताओं के साथ व्यक्तिगत संचार से संकेत मिलता है कि वे केवल डेल्टा हेजिंग गतिविधियों के लिए डेरीबिट वायदा मंच का उपयोग करते हैं।

4. हेज अनुपात

हमारे प्रयोगात्मक डिजाइन में, हम एक बिटकॉइन मूल्य के बिटकॉइन सूचकांक वायदा पर एक मानक यूरोपीय विकल्प लिखते हैं और एक निश्चित संख्या में वायदा अनुबंधों में लंबी स्थिति लेकर इसे हेज करते हैं। टी-समाप्ति वायदा व्यापारियों को भविष्य में किसी समय टी पर एक निश्चित मात्रा में बिटकॉइन खरीदने या बेचने के लिए एक समझौते में प्रवेश करने की अनुमति देता है, जो अब सहमत बिटकॉइन-यूएसडी विनिमय दर पर है। वायदा और विकल्प के लिए अंतर्निहित परिसंपत्ति डेरीबिट बिटकॉइन इंडेक्स बीटीसी है, जो एक गैर-व्यापार योग्य समग्र सूचकांक है। हालाँकि, हम टी समाप्ति वायदा अनुबंध के बजाय एक सतत अनुबंध स्थिति के साथ टी समाप्ति विकल्पों को भी हेज कर सकते हैं। हम भ्रम पैदा किए बिना अपने संकेतन में चालू समय t को छोड़ सकते हैं, और हम स्ट्राइक मूल्य K और समाप्ति तिथि T के साथ एक व्युत्क्रम विकल्प के समय t पर मूल्य को f(K,T|F,σ) के रूप में दर्शाते हैं, जहाँ F है समय t पर T पर समाप्त होने वाला सतत मूल्य या वायदा मूल्य, σ:=σt(K,T|F) विकल्प की निहित अस्थिरता को दर्शाता है, जो समय t पर अस्थिरता भी है। हमारे हेजिंग ढांचे में अस्थिरता और अंतर्निहित परिसंपत्ति के बीच संबंध को शामिल करके, हमारा लक्ष्य बीएस डेल्टा की तुलना में अधिक सटीक डेल्टा प्राप्त करना है, अर्थात श्रृंखला नियम पर आधारित स्माइल-समायोजित डेल्टा δadj।

जहाँ δBS मानक BS डेल्टा है, νBS BS विकल्प मूल्य (वेगा) की अस्थिरता संवेदनशीलता है, और σF = ∂σ/∂F मूल्य के प्रति अस्थिरता संवेदनशीलता है, अर्थात अंतर्निहित परिसंपत्ति में परिवर्तन के लिए निहित अस्थिरता में परिवर्तन . . यद्यपि बीएस डेल्टा और वेगा के बंद-रूप सूत्र हैं और उनकी गणना करना आसान है, σF का परिमाणीकरण अपेक्षाकृत कठिन है और इसके लिए कई अलग-अलग विधियां हैं।

बीएस डेल्टा में हमने जिस पहले समायोजन पर चर्चा की, उसकी जड़ें बाजार की वर्तमान स्थिति या “बाजार व्यवस्था” के आधार पर स्थानीय अस्थिरता को अलग-अलग तरीके से मापित करने में निहित हैं। स्थानीय अस्थिरता की अवधारणा को अकादमिक साहित्य की एक विस्तृत श्रृंखला में विकसित किया गया है, जिसकी शुरुआत डुपायर (1994) और डरमन एट अल. (1996) के क्लासिक पत्रों से हुई। यहां विशेष रुचि “स्टिकी मॉडल” की है, जिसकी वकालत डरमन (1999) ने इक्विटी इंडेक्स विकल्पों की हेजिंग के संदर्भ में की थी, जो एक बाइनरी ट्री के नोड्स पर विभिन्न स्थानीय अस्थिरता पैरामीटराइजेशन को लागू करता है जो अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य के विकास को मॉडल करता है। डरमैन एट अल. (1996) ने स्ट्राइक मूल्य के संबंध में निहित अस्थिरता के ढलान के रूप में σF का अनुमान लगाने का प्रस्ताव रखा: नोट 13

उनमें से, σK=∂σ/∂K स्ट्राइक मूल्य के संबंध में अस्थिरता के व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है, और k को वर्तमान बाजार तंत्र पर निर्भर होना चाहिए। वास्तव में, डरमन (1999) ने विभिन्न बाजार व्यवस्थाओं के तहत स्थानीय अस्थिरता व्यवहार का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीन अलग-अलग “चिपचिपाहट मॉडल” पेश किए। स्टिकी स्ट्राइक मॉडल (एसएस) एक ट्रेंडिंग बाजार स्थिति का वर्णन करता है और मानता है कि अस्थिरता अंतर्निहित परिसंपत्ति के भविष्य के मूल्य आंदोलनों से स्वतंत्र है और, बीएस धारणा की तरह, प्रत्येक विकल्प के लिए स्थिर और समान है। इस तंत्र में डेल्टा, बीएस डेल्टा के बराबर है। नोट 14 स्टिकी मनी (एसएम) (जिसे कभी-कभी स्टिकी डेल्टा भी कहा जाता है) मॉडल एक रेंज-बाउंड बाजार पर विचार करता है। इस तंत्र के तहत, किसी विकल्प की अस्थिरता केवल उसकी मौद्रिकता (या समतुल्य रूप से उसके डेल्टा) पर निर्भर करती है। इसलिए, स्थानीय अस्थिरता वृक्ष के प्रत्येक नोड पर समान होती है, लेकिन प्रत्येक विकल्प का वृक्ष भिन्न होता है, तथा स्थानीय अस्थिरता भिन्न होती है, जो विकल्प की मौद्रिकता पर निर्भर करती है। जैसे ही अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत बदलती है, विकल्प की मुद्रागतता बदल जाती है और हमें विकल्प का मूल्य निर्धारण करने के लिए एक अलग वृक्ष पर जाना पड़ता है। अंत में, स्टिकी ट्री मॉडल (एसटी) तीव्र बाजार गिरावट के दौरान स्थानीय अस्थिरता व्यवहार को पकड़ता है, अर्थात, जब अस्थिरता और अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य के बीच एक मजबूत नकारात्मक सहसंबंध होता है, जो एक मुस्कुराते हुए वक्र समायोजन का वर्णन करता है। इस छिपे हुए वृक्ष मॉडल का नाम डरमन और कानी (1994) द्वारा प्रस्तावित स्थानीय अस्थिरता मॉडल से आया है। इसी प्रकार, स्थानीय अस्थिरता एक नियतात्मक फलन है, लेकिन यह वृक्ष के प्रत्येक नोड पर भिन्न हो सकता है, तथा सभी विकल्पों के मूल्य निर्धारण के लिए उसी वृक्ष का उपयोग किया जाता है। स्थानीय अस्थिरता पैरामीटरीकरण के इन तीन अलग-अलग प्रकारों में, सूत्र (2) में k का मान बाजार तंत्र के आधार पर अलग-अलग होगा, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

क्रेपी (2004) और अलेक्जेंडर एट अल. (2012) दोनों ने k की अवस्था निर्भरता को शामिल करने के लिए सन्निकटन (2) को बढ़ाया। यह भी ध्यान दें कि अलेक्जेंडर एट अल. (2012) के समीकरण (1) और (2) को अलेक्जेंडर और नोगीरा (2007बी) के समीकरण (3) के साथ संयोजित करके और कुछ बीजीय हेरफेर करके, यह पाया जा सकता है कि बेट्स का मुस्कान वक्र ( 2005) निहित रूप से, स्केल-इनवेरिएंट डेल्टा (अलेक्जेंडर और नोगीरा (2007 ए) में सामान्यीकृत) चिपचिपा पैसा (एसएम) सन्निकटन के समान है।

बिटकॉइन की उच्च अस्थिरता को देखते हुए, उपलब्ध स्ट्राइक मूल्यों की सीमा समय के साथ काफी भिन्न हो सकती है। इसलिए, लंबी समयावधि में समान विशेषताओं वाले विकल्पों का अध्ययन करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करने के लिए, हम स्ट्राइक कीमतों से हटकर इन-द-मनी संकेतकों की ओर रुख करते हैं। हम मनीनेस m को m=K/F के रूप में परिभाषित करते हैं, और अब निहित अस्थिरता को दर्शाने के लिए θ(m,T|F)=σ(mK,T|F) का उपयोग करते हैं। F और m के संबंध में θ(m,T|F) के आंशिक व्युत्पन्नों को क्रमशः θF(m,T|F) और θm(m,T|F) के रूप में निरूपित करते हुए, हम समायोजित डेल्टा (7) को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

हम अस्थिरता-मूल्य संवेदनशीलता θF का अनुमान लगाने के लिए डरमैन (1999) द्वारा प्रस्तावित स्थानीय अस्थिरता परिकल्पना का उपयोग करते हैं। विकल्प मूल्य विकास का अनुकरण करने के लिए प्रयुक्त वृक्ष संरचना तीन संभावित बाजार मॉडलों के आधार पर भिन्न होगी: स्थिर प्रवृत्ति बाजार (एसएस), रेंज बाजार (एसएम) और जंप क्रैश बाजार (एसटी)। इसलिए, डर्मन (1999) के चिपचिपे डेल्टा को मौद्रिक माप में परिवर्तित करते हुए, (5) में κ का मूल्य बाजार मॉडल के आधार पर अलग-अलग होना चाहिए।

पहले की तरह, बेट्स (2005) और अलेक्जेंडर और नोगीरा (2007 ए) द्वारा प्रस्तावित मॉडल-मुक्त, मुस्कान-निहित, स्केल-इनवेरिएंट डेल्टा, डरमैन और कानी (1994) के स्टिकी मनी माप (एसएम) डेल्टा के समान है।

इसके बाद, हम न्यूनतम विचरण (एमवी) डेल्टा δmv पर विचार करते हैं, अर्थात, वह डेल्टा जो डेल्टा हेज पोर्टफोलियो के तात्कालिक विचरण को न्यूनतम करता है। यहां हम बक्शी एट अल. (1997) द्वारा प्रस्तुत एक सन्निकटन का अनुसरण करते हैं जो स्थानीय विचरण को न्यूनतम करता है। ली (2001) दर्शाता है कि एमवी हेज अनुपात में यह समायोजन (एसएम) स्माइल इंप्लाइड डेल्टा के समान परिमाण का है, लेकिन विपरीत संकेत का है, यानी:

जैसा कि अलेक्जेंडर (2008) के अध्याय 4 में विस्तार से बताया गया है, और निहित अस्थिरता पर अन्य ग्रंथों में भी, मुस्कुराहट निहित डेल्टा एक काउंटर-सहज ज्ञान युक्त “फ्लोटिंग स्माइल” गतिशीलता बनाता है जिसका अर्थ यह भी है कि जब अस्थिरता जब दर-मूल्य सहसंबंध बड़ा होता है और नकारात्मक (यानी, एक महत्वपूर्ण नकारात्मक तिरछा है), एसएम समायोजन द्वारा उत्पादित हेजिंग प्रदर्शन बीएस डेल्टा की तुलना में काफी खराब है। चूंकि एमवी समायोजन का संकेत एसएम समायोजन के विपरीत होता है, इसलिए इक्विटी सूचकांक विकल्पों और किसी भी ऐसे विकल्प की हेजिंग करते समय, जिसमें निहित अस्थिरता वक्र में महत्वपूर्ण नकारात्मक ढलान हो, बीएस डेल्टा की तुलना में एमवी डेल्टा को प्राथमिकता दी जानी चाहिए।

हमारा अंतिम मुस्कान वक्र समायोजन डेल्टा, जिसे δhw से दर्शाया गया है, हल और व्हाइट (2017) द्वारा प्रस्तावित किया गया है। इसे बीएस डेल्टा हेज पोर्टफोलियो के दैनिक PnL ΔP के निरपेक्ष मान और बीएस डेल्टा के बीच द्विघात संबंध का अनुभवजन्य अनुमान लगाकर प्राप्त किया जाता है। वह है:

जहाँ ΔF वायदा का दैनिक PnL है। ऐतिहासिक डेटा का उपयोग करके पैरामीटर अनुमान (aˆ, bˆ, cˆ) प्राप्त करने के बाद, हल और व्हाइट (HW) डेल्टा की गणना निम्नानुसार की जाती है:

जहाँ δBS और νBS शास्त्रीय BS डेल्टा और वेगा का प्रतिनिधित्व करते हैं। वर्तमान अंतर्निहित मूल्य को F से दर्शाया जाता है, इसके परिवर्तन को ΔF से दर्शाया जाता है, तथा τ विकल्प की समाप्ति समय को दर्शाता है। लेखक 36 महीने की रोलिंग विंडो का उपयोग करके अनुमान (aˆ, bˆ, cˆ) की गणना करते हैं और फिर जनवरी 2014 से शुरू होने वाली 11 साल की अवधि के लिए दैनिक हेज त्रुटि के मानक विचलन को कम करने के लिए एचडब्ल्यू डेल्टा हेज के प्रदर्शन का विश्लेषण करते हैं। एस एंड पी 500 और अन्य स्टॉक सूचकांक विकल्प। उन्होंने पाया कि एचडब्ल्यू डेल्टा के प्रयोग से प्रदर्शन में 26% तक सुधार हो सकता है। अन्य निष्कर्ष पूरी तरह से स्टॉक इंडेक्स विकल्पों पर आधारित हैं, और उनका तर्क है कि एचडब्ल्यू डेल्टा कॉल के लिए पुट विकल्पों से बेहतर प्रदर्शन करता है और आउट-ऑफ-द-मनी विकल्पों के लिए इन-द-मनी विकल्पों से बेहतर प्रदर्शन करता है। इसके अलावा, उनका दावा है कि इक्विटी सूचकांक विकल्पों की हेजिंग करते समय एचडब्ल्यू डेल्टा, विभिन्न स्टोचैस्टिक अस्थिरता और स्थानीय अस्थिरता मॉडल से प्राप्त कई अन्य डेल्टाओं से बेहतर प्रदर्शन करता है।

यह खंड बीएस डेल्टा में सरल समायोजनों की एक श्रृंखला को कवर करता है, जो इक्विटी इंडेक्स विकल्प हेजिंग और अन्य पारंपरिक परिसंपत्ति वर्गों पर पिछले शोध में अपनी प्रभावशीलता साबित कर चुके हैं। अब सवाल यह है कि क्या वे बिटकॉइन विकल्प बाजार में सरल बीएस डेल्टा हेजिंग से भी बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं। बिटकॉइन विकल्प बाजार पारंपरिक विकल्प बाजारों की तुलना में कम परिपक्व है, और इसकी अस्थिरता और दिशात्मक खरीद दबाव अधिक महत्वपूर्ण हैं, और बाजार निर्माता इन दबावों से प्राप्त जानकारी के आधार पर अपने इन्वेंटरी को पुनर्संतुलित करते हैं। हम इस अध्ययन में विचारित बीएस-समायोजित डेल्टा हेज अनुपातों को निम्नलिखित एकल सूत्र में सारांशित करते हैं:

हम उपरोक्त सामग्री को इस प्रकार समझाते हैं:

1. जब m=1 हो, अर्थात एट-द-मनी विकल्प में, MV समायोजन ST समायोजन के समान होता है; अन्यथा, जब m>1 हो, अर्थात आउट-ऑफ-द-मनी कॉल विकल्प में, एमवी समायोजन का आकार एसटी समायोजन से बड़ा होता है; जब m, यानी, आउट-ऑफ-द-मनी पुट ऑप्शन में, एमवी समायोजन का आकार एसटी समायोजन से छोटा होता है;

2. एमवी समायोजन हमेशा एसएम समायोजन के आकार के बराबर और दिशा में विपरीत होता है, और एसएम डेल्टा अलेक्जेंडर और नोगीरा (2007 ए) का मॉडल-मुक्त स्केलिंग-इनवेरिएंट (एसआई) डेल्टा भी है, यानी किसी भी प्रकार का डेल्टा बिटकॉइन विकल्प की कीमतों में स्टोकेस्टिक अस्थिरता कूद प्रक्रिया;

3. एस.टी., एस.एम., और एम.वी. समायोजन के संकेत निहित अस्थिरता वक्र, θm के ढलान पर निर्भर करते हैं। जब इसका ढलान ऋणात्मक होता है, तो एमवी और एसटी डेल्टा बीएस/एसएस डेल्टा से कम होते हैं, जबकि एसएम/एसआई डेल्टा बीएस/एसएस डेल्टा से अधिक होता है। जब इसका ढलान धनात्मक होता है, तो एमवी और एसटी डेल्टा बीएस/एसएस डेल्टा से अधिक होते हैं, जबकि एसएम/एसआई डेल्टा बीएस/एसएस डेल्टा से कम होता है।

5. डेटा

हमने एक्सचेंज एपीआई का उपयोग करके कई वर्षों की अवधि में डेरीबिट विकल्प बाजार डेटा के प्रति घंटे स्नैपशॉट लेकर एक अद्वितीय डेटाबेस बनाया। इस डेटा में सभी विकल्पों, वायदों और सतत अनुबंधों के लिए स्तर 1 ऑर्डर बुक की जानकारी शामिल है। इस लेख में, हम केवल आठ घंटे और दैनिक आवृत्तियों वाले डेटा का उपयोग करते हैं, जो 1 जनवरी, 2020 से 1 जनवरी, 2022 तक की दो साल की अवधि को कवर करता है।

चित्र 5 में BTC सूचकांक का दैनिक निपटान मूल्य (अर्थात 00:00 UTC पर मूल्य) तथा पिछले 24 घंटों में डेरीबिट पर कारोबार किए गए सभी विकल्पों और सतत अनुबंधों की कुल मात्रा (काल्पनिक मात्रा में, बिलियन अमेरिकी डॉलर में) दर्शाई गई है। . वायदा अनुबंधों को यहां शामिल नहीं किया गया है, क्योंकि उनका ट्रेडिंग वॉल्यूम सतत अनुबंधों और विकल्पों की तुलना में बहुत कम है, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। 2020 के दौरान, बीटीसी सूचकांक \(7,000 के स्तर से अपेक्षाकृत धीमी गति से बढ़ा, जो नवंबर 2020 में शुरू हुए पहले प्रमुख बुल रन तक था, और 2020 के अंत तक सूचकांक का मूल्य लगभग \)28,000 तक पहुंच गया। 2021 में, BTC सूचकांक जनवरी (लगभग \(28,000) से अप्रैल 2021 के मध्य (लगभग \)59,000) तक दोगुना हो गया, और फिर जुलाई के मध्य में वापस $30,000 तक गिरने तक लगभग 50% गिर गया। 8 नवंबर, 2021 को यह लगभग 69,000