बेयर्स - संभावनाओं को तोड़ने का रहस्य, निर्णय लेने के पीछे गणितीय बुद्धि का पता लगाना

बेयेस सांख्यिकी गणित के क्षेत्र में एक मजबूत विश्वविद्यालय अनुशासन है, जिसमें कई क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग हैं, जिनमें वित्त, चिकित्सा अनुसंधान और सूचना प्रौद्योगिकी शामिल हैं। यह हमें पहले के विश्वासों को साक्ष्य के साथ जोड़ने की अनुमति देता है, ताकि हम अधिक समझदार निर्णय लेने में सक्षम हो सकें।

इस लेख में, हम कुछ प्रमुख गणितज्ञों का संक्षिप्त परिचय देंगे जिन्होंने इस क्षेत्र का निर्माण किया।

बेयेज़ से पहले बेयर्स के सांख्यिकी को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हमें 18वीं शताब्दी में गणितज्ञ डी मोइवर और उनके पेपर द प्रिंसिपल ऑफ चांस के संदर्भ में वापस जाने की आवश्यकता है।

अपने शोध पत्र में, डी मोइवर ने अपने समय में संभावनाओं और जुए से संबंधित कई समस्याओं का समाधान किया। जैसा कि आप शायद जानते हैं, उनके समाधान से एक समस्या के लिए सामान्य वितरण का जन्म हुआ, लेकिन यह एक और कहानी है।

उन्होंने कहा, "हमारे लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है कि हम अपने देश के लोगों के साथ मिलकर काम करें।

यदि आप एक निष्पक्ष सिक्का तीन बार फेंकते हैं, तो आप तीन सकारात्मक संभावनाएं प्राप्त करते हैं।

आप देख सकते हैं कि अधिकांश प्रश्नों में से अधिकांश एक धारणा के साथ शुरू होते हैं, और फिर किसी घटना की संभावनाओं का गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए प्रश्न में, एक धारणा है कि सिक्का निष्पक्ष है, इसलिए एक सकारात्मक प्राप्त करने की संभावना 0.5 है।

यह आज गणित की भाषा में कहा जाता हैः

𝑃(𝑋|𝜃)

लेकिन क्या होगा अगर हम नहीं जानते कि यह सिक्का निष्पक्ष है?𝜃क्या?

थॉमस बेयेस और रिचर्ड प्राइस

लगभग पचास वर्षों के बाद, 1763 में, एक प्रश्न पर एक शोध पत्र, जो कि एक समस्या के समाधान के सिद्धांत पर आधारित है, जो कि एक समस्या के समाधान के सिद्धांत पर आधारित है, जो कि एक समस्या के समाधान के सिद्धांत पर आधारित है, जो कि एक समस्या के समाधान के सिद्धांत पर आधारित है, जो कि एक समस्या के समाधान के सिद्धांत पर आधारित है, जो कि एक समस्या के समाधान के सिद्धांत पर आधारित है, जो कि रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन के दार्शनिक ट्रेडिंग पेपर में प्रकाशित किया गया था।

दस्तावेज़ के पहले कुछ पन्नों में, गणितज्ञ रिचर्ड प्राइस द्वारा लिखित एक लेख है, जो उनके मित्र थॉमस बेयज़ द्वारा उनकी मृत्यु से कुछ साल पहले लिखे गए एक पेपर का सारांश देता है। परिचय में, प्राइस ने थॉमस बेयज़ द्वारा किए गए कुछ निष्कर्षों के महत्व की व्याख्या की, जो डी मोइव्रे के विलोम मौके के सिद्धांत में शामिल नहीं हैं।

वास्तव में, वह एक विशिष्ट मुद्दे को संदर्भित करता हैः

एक अज्ञात घटना के होने और विफल होने की ज्ञात संख्या, किसी भी दो नामित संभावनाओं के बीच इसके होने की संभावना का पता लगाने का अवसर;

दूसरे शब्दों में, जब हम किसी घटना को देखते हैं, तो हम एक अज्ञात पैरामीटर पाते हैं।θदो संभावनाओं के बीच की संभावना क्या है? यह वास्तव में इतिहास में सांख्यिकीय निष्कर्षों से संबंधित पहले प्रश्नों में से एक है और इसने उल्टा संभावना का नाम दिया है।

𝑃( 𝜃 | 𝑋）

यह निश्चित रूप से आज हम बेयर्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है कि एक बाद के वितरण है।

अनियंत्रित कारण

इस तरह के लोगों के बारे में जानने के लिए, मैं एक लेख लिख रहा हूं।थॉमस बेयर्सऔररिचर्ड प्राइसलेकिन ऐसा करने के लिए, हमें अस्थायी रूप से सांख्यिकी के बारे में कुछ ज्ञान को छोड़ना होगा।

हम 18वीं सदी में हैं और संभावनाएं गणितज्ञों के लिए एक बढ़ते हुए रुचि का क्षेत्र बन रही हैं। गणितज्ञों जैसे डेमोवर या बर्नूली ने दिखाया है कि कुछ घटनाएं कुछ हद तक यादृच्छिकता के साथ होती हैं, लेकिन फिर भी निश्चित नियमों द्वारा शासित होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप कई बार दांव लगाते हैं, तो एक छठा समय यह छह पर रुक जाता है। यह ऐसा है जैसे कि एक छिपा हुआ नियम है जो अवसर के भाग्य को निर्धारित करता है।

अब, कल्पना कीजिए कि आप इस युग में रहने वाले एक गणितज्ञ और धार्मिक व्यक्ति हैं। आप शायद इस छिपे हुए नियम और भगवान के बीच के संबंध को जानने में रुचि रखते हैं।

यह वास्तव में बायेज़ और प्राइस द्वारा खुद से पूछा गया सवाल है। वे चाहते हैं कि इस समस्या का समाधान सीधे तौर पर यह साबित करने के लिए लागू किया जाए कि ब्रह्मांड में बुद्धि और बुद्धि का परिणाम होना चाहिए; इसलिए, परम कारण के साथ भगवान के अस्तित्व के लिए एक सबूत प्रदान करें[2] - यानी, बिना कारण के कारण।

लैप्रस

आश्चर्यजनक रूप से, लगभग दो साल बाद, 1774 में, स्पष्ट रूप से थॉमस बेयेस के पेपर को नहीं पढ़ा था, फ्रांसीसी गणितज्ञ लैप्रस ने एक लेख लिखा था, जो कि एक घटना के कारणों को घटना की संभावनाओं के माध्यम से हल करने के बारे में था।

मुख्य सिद्धांतः

यदि एक घटना को n अलग-अलग कारणों से उत्पन्न किया जा सकता है, तो दिए गए कारणों के कारणों की संभावनाओं का एक-दूसरे के बीच अनुपात दिए गए कारणों की घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है, जबकि इन कारणों में से प्रत्येक के अस्तित्व की संभावनाएं दिए गए कारणों के कारणों की संभावनाओं के बराबर हैं, जो दिए गए कारणों में से प्रत्येक की घटनाओं की संभावनाओं के योग के अलावा हैं।

यह आज हम जानते हैं कि Bayesian Theorem है:

​

इनमें सेP(θ)यह एक समान वितरण है।

सिक्का प्रयोग

हम पायथन और PyMC लाइब्रेरी का उपयोग करके बेयर्स सांख्यिकी को आज तक लाएंगे और एक सरल प्रयोग करेंगे।

मान लीजिए कि एक दोस्त आपको एक सिक्का देता है और आपसे पूछता है कि क्या आपको लगता है कि यह एक निष्पक्ष सिक्का है। क्योंकि वह जल्दी में है, वह आपको बताता है कि आप केवल 10 बार सिक्का फेंक सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, इस समस्या में एक अज्ञात पैरामीटर है।pऔर हम यह अनुमान लगाना चाहते हैं कि क्या हम एक सिक्का फेंकने में सकारात्मक होने की संभावना है।pसबसे अधिक संभावित मानों में से एक।

(नोटः हम पैरामीटर नहीं कह रहे हैं)pयह एक यादृच्छिक चर है, लेकिन यह एक निश्चित पैरामीटर है, और हम जानना चाहते हैं कि यह सबसे अधिक संभावित मानों के बीच है।)

इस मुद्दे पर अलग-अलग विचार रखने के लिए, हम इसे दो अलग-अलग पूर्व धारणाओं के तहत हल करेंगेः

• 1. आप सिक्के की निष्पक्षता के बारे में पहले से कोई जानकारी नहीं है, तो एक समान संभावना के लिए आवंटितpइस मामले में, हम तथाकथित सूचना रहित पूर्ववर्ती का उपयोग करेंगे, क्योंकि आपने अपने विश्वास में कोई जानकारी नहीं जोड़ी है।

• 2. आप अनुभव से जानते हैं कि भले ही सिक्का अन्यायपूर्ण हो सकता है, लेकिन यह बहुत अन्यायपूर्ण बनाना मुश्किल है, इसलिए आप मान लेते हैं कि पैरामीटरpयह 0.3 से कम या 0.7 से अधिक होने की संभावना नहीं है; इस मामले में, हम एक सूचना पूर्ववर्ती का उपयोग करेंगे।

इन दोनों स्थितियों के लिए, हमारी पूर्व धारणा होगीः

10 बार सिक्का फेंकने के बाद, आपको दो बार सकारात्मक परिणाम मिलता है. इस सबूत के साथ, हम शायद हमारे पैरामीटर को कहां पाएंगे.p？

आप देख सकते हैं कि पहले मामले में, हम पैरामीटर के बारे में बात कर रहे हैं।pपूर्ववर्ती वितरण अधिकतम समान अनुमान (एमएलई) पर केंद्रित है।p=0.2, जो कि आवृत्ति विद्यालय विधि का उपयोग करने के समान है. सच्चे अज्ञात पैरामीटर 95% विश्वास सीमा के भीतर होंगे, 0.04 और 0.48 के बीच.

दूसरी ओर, उच्च विश्वास के साथ मानता है कि पैरामीटरp0.3 और 0.7 के बीच होने के मामले में, हम 0.4 के आसपास के बाद के वितरण को देख सकते हैं, जो हमारे एमएलई द्वारा दिए गए मानों से बहुत अधिक है। इस मामले में, वास्तविक अज्ञात पैरामीटर 95% विश्वास सीमा के भीतर होगा, 0.23 और 0.57 के बीच।

इसलिए, पहले मामले में, आप अपने दोस्त को बताएंगे कि आप आश्वस्त हैं कि यह सिक्का अनुचित है। लेकिन दूसरे मामले में, आप उसे बताएंगे कि आप निश्चित नहीं हैं कि सिक्का उचित है या नहीं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां तक कि एक ही साक्ष्य के मामले में भी (दश बार में दो बार सकारात्मक) परिणाम अलग-अलग पूर्व धारणाओं के तहत अलग-अलग होंगे। यह बेयसेज़ सांख्यिकी का एक लाभ है, जो वैज्ञानिक दृष्टिकोण के समान है, जो हमें पूर्व धारणाओं को नए अवलोकनों और साक्ष्य के साथ जोड़कर अपने विश्वासों को अद्यतन करने की अनुमति देता है।

अंत

आज के लेख में हम बेयर्स सांख्यिकी की उत्पत्ति और इसके प्रमुख योगदानकर्ताओं को देखेंगे। इसके बाद से, इस क्षेत्र में कई अन्य महत्वपूर्ण योगदानकर्ता हैं (जैसे जेफ्रे, कॉक्स, शैनन आदि) ।转载自quantdare.com。