1987年は,インド人伝説の数学者ラマヌヤン (Srinivasa Ramanujan,1887-1920) の誕生100周年である.彼の記念として,一連の活動が行われている.現代著名な統計学者,インド生まれのラウ氏 (C. Radhakrishna Rao,1920) も3回の講演に招待された.その後,インド統計研究所はラウ氏の講演稿をベースに,1989年に彼のための"統計と真実"を出版した.この本は1997年に2版が発行された.
学生時代,私は数学を専攻し,ある前提から結果を推論する論理を学びました. その後,私は統計学を学びました. 経験から学ぶ合理的な方法,そして与えられた結果から前提を検証する論理です. 私は,数学と統計が,自然知識の向上,そして日常の問題を効果的に管理するための人間のあらゆる努力において重要であることを認識しました.
私は信じている:
知識は歴史であり,知識は歴史であり,知識は歴史である.
抽象的な意味では,すべての科学は数学である.
合理的な世界では,すべての判断は統計である.
この文は,数学と統計の重要性とそれぞれの意味を概説しています.
高校数学では長い間,概率を対象とした科目も含まれており,古典的な概率 (つまり,同じ確率で概率を説明する) が相当な割合を占めている.したがって,概率はしばしば配列組合せと結びついている.配列組合せはより複雑な数学的な
信頼区間は,ポーランドで生まれ,1938年にアメリカに移住したもう一人の著名な統計学者,ナイマン (Jerzy Neyman (1894-1981),私の祖父,つまり私の指導教授の指導教授) が1934年のスピーチで最初に提唱したものです.彼のスピーチの終わりに,大会議長アーサー・ライオン・ボウリー (1869-1957) は演説の中で,この信頼は信頼の戯曲ではないと確信していないと述べた.ナイマン・ボウレー区間という概念が提唱されたとき,現代の統計学の創始者とみなされるイギリスのフィッシャー (Sir Ronald Aylmer Fisher, 1890-1962,R.A. Fisher) を含むほとんどの統計学者が,この概念を提唱した.
70年以上経った今,現在の統計学者は,当然,信頼区間の意味を完全に理解している.しかし,大学では,概率と統計,統計学,数学統計などの教科書では,信頼区間は通常後半に属している.つまり,大学生は,関連するコースで,信頼区間と接触し始めたとき,概率統計学的基礎がほぼ十分である.しかし,現在,このテーマは数学者の好みを得ているが,95課程の後に98課程に加入して99課程に変更された後,毎年実施) はまだこのテーマを維持している.しかし,十分な準備が不足しているため,高校生に吸収することは容易ではなく,期待されている.
なぜこの話題は少し深いものですが,高校の数学教科書にふさわしい場所になっているのでしょうか? 主な理由は,その重要性が推測されています. これは,メディアで頻繁に掲載される様々な調査結果の信頼区間や信頼レベルを見てみれば理解できます.
いくつかの統計教科書では,信頼区間が章の一部分を占める.異なるパラメータ,異なる分布に対して,異なる信頼区間がある.同じパラメータと同じ分布であっても,異なる方法によって異なる信頼区間を得ることができる.時には条件が不足したり,計算の複雑さなどの理由で,近似した信頼区間を得るために,次に退いてみなければならない.もちろん,このとき,いくつかの条件が必要であり,いくつかの定理を使用する必要があります.信頼区間も比較的に優れています.統計学には様々な推論方法がありますが,ランダムな現象を扱うため,天に頼らず,誰と争う方法があります.
高校レベルの統計推論は,ランダム変数の期待値のみを推定し,その背後にある理論は中央極限理論である.中央極限理論を紹介するには,通常の分布を導入する必要がある.この部分は,学生に対して中央極限理論の直観を活動的に構築するための一般的な説明のみである.固定的信頼レベルに対して,信頼区間公式を与え,その後,学生にランダム表模擬または実験を投影して,正の確率がpである銅板をn回投影させ,信頼区間公式を入力し,信頼区間の意味を説明し,この解読で,ほとんどの学生が得た信頼区間がpをカバーする理由を説明する.
この段落の解読にはいくつかの問題があるだけでなく,理解することもできない. 例えば,最初の文の解読の背後にある理論は中央極限理念であり,どこから生まれたのかわからない.これは統計学以外の見解である. 教科書の解読が不明であるため,学生に理解を伝えたいことを真剣に教える高校の数学教師は,その原理を掘り下げ,それぞれ解読するだけでよい.
なぜ信頼区間という概念は,しばしば
偶数を得る確率は何なのか? 偶数には6つの面があり,その下には偶数がある. 偶数には6の1つ,偶数には2つ,4つ,6つ等3つがある. したがって,求められる確率は3/6である. これは古典的な確率と呼ばれるもので,基本的仮定は同じ確率である. 観察される現象にはいくつかの可能性があり,そのうちのいくつかは我々が興味を持っている. 後者を除くと,前者,つまり必要な確率である. 古典的な
2009年7月下旬から8月上旬,世界ゴルフ王者タイガー・ウッズは,米ミシガン州で開催されたビック・オープン (Buick Open) に出場した.第1ラウンドを打破し,リードに8ポイントまで落差し,ランキングを95位にランクインした.彼のキャリアを逃れられない可能性を引き起こし,最初の2連勝戦 (前回は英国オープン (The Open Championship,英国以外ではBritish Openとして知られている) で,事前に淘汰された).しかし,タイガーは結局小
这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。
ある男は女の子を見て,驚いて,今生のお嫁だと思っている.評価後,自信が溢れ,自己認識のチャンスが8パーセントである.しかし,他の者は良い目で見ていないが,彼に8パーセントという数字を尋ね,どのようにやって来たのか.彼はカレンダーを示し,その女の子が彼に好意を持っていることを示している兆候を一つずつ示した.この0.8の確率,いわゆる主観的な確率である.
主観的確率は,当然,認識された確率35からいくつかの客観的な事実に基づいている. しかし,同じ情報に直面しても,異なる人が異なる判断をする可能性があるため,異なる主観的確率を与えることができます.
女の子を追う例として,約少数の女の子が,実験をして,繰り返し追いかけて,そのうちのいくつかを数えて,あなたが追いかける確率を決定します. このような観察できない現象について,確率について話すとき,主観的確率がよく使われる. 毎朝,私たちは天を見上げて,今日雨の確率を判断することに慣れていません. ただ,親はしばしば,この帯が大きいと考え,子供たちは雨の確率が小さいと考えます.
主観的だと言っても,それでも合理的である.例えば,試験に適性と不適性がある.合格する確率は0.9であると考えれば,それは問題ではない.人は常に少し自信を持っているが,同時に0.8の確率が不適性になるのではないかと心配している場合,それはできない.様々な可能性の発生確率は1に加算される.主観的であっても,単独で議論できるが,それでも自らを解決しなければならない.主観的であるため,任意に各イベントの確率を決定することができるとは言えない.したがって,確率の説明は,自然に,あるいはいくつかの共通の規則を満たす必要があります.これは誰もが理解すべきです.
上記3つの解釈は概率に対する一般的な解釈であり,通常は事件の発生の可能性を評価するいくつかの考えである. 異なる状況に対してはありますが,しばしば相互に適用される. 誰もが曾殺人の例を聞いたことがある. ある人は曾殺人の同名の殺人者であり,善意ある人は曾母
もちろん,あなたは信じられてもいい,投球の結果がどうであろうと,誰もがそれが一時的な状況に過ぎないと信じ,意志が強く,これは公正な銅板であると信じている.これは,母親がいるようなことではない,それ以上の証拠があるとしても,彼女が目で見ない限り,彼女は息子を殺すことを信じない. 偶然の現象を知ること,事件は,確率が正である限り,確率値がどれほど小さいにせよ,すべてが起こり得る. 結局,銅板の正面が現れる確率は何なのかは,天だけが知っている. しかし,投球の確率は統計と比較して,意思決定を支援するために,より正確である. 予期された結果は,変更できないのではなく,時間的に推移される. 予期された結果は,嵐がもたらす雨量について,新しい方向に精密に考える必要がある,あるいは,それを修正する時,ある. 偶然の思考がある,前述の実験で述べたように,100回,100回,100回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,80回,
上記の3つの概率の説明は,多くの実生活で遭遇する状況もカバーしているが,数学者はもちろんここで止まらない. 彼らは抽象化や一般化が好きである. 解答のように,ある種の方程式の解を表現するための公式を探し,特定の例の解を求めるだけで満足するのではなく. また,実数系を完全に理解すると,実数系を公理化方法で定義する. つまり,集合を数値集合として,その要素に二乗を定義し,それに続く10つの公理 (公理,規則) を与える. あなたは二乗を1つの要素として加えることができるのか,または1つの要素として加えることができるのか,と不思議に思う. なぜそれを除法とは考えないのか? 名前,非常に,数学的に重要な問題です. しかし,その後,あなたは最終的に,その2つの集合の2つの法則が存在しないことに気が付きます.
確率を公約化する方法として導入するには,まず,ある観察のすべての可能な結果の集合であるサンプル空間と呼ばれる集合がある.この観察は実際に存在するのか,虚拟的なものなのか.サンプルスペースのいくつかの子集合は,我々が興味を持っている,これらは個々の出来事である.すべての出来事も集合を形成する.最後に,確率関数,すなわち,すべての出来事に対して,その出来事の確率として0,1の間の値を与え,そして確率関数の集合,これら三つは確率空間を形成する.
これは,サンプルスペースに大きな要求はないが,空の集合ではありえない.事件の集合は,いくつかの条件を満たす必要がある.簡単に言えば,あなたが興味のあるイベントは,あまり少ないことができません.例えば,あなたが興味のあるイベントAにのみ興味を持ちながら,Aには興味がないことができません.したがって,イベントの集合は,十分な大きさで,少なくとも必要なものは含まれている必要があります.これは,結婚式前の招待状のようなものです.
確率空間の構造の下では,確率をどの方法で解釈しても,それぞれが表現し,その確率の意味を見つけることができる.しかし,抽象化によって,銅板,
数学の他の分野と比較して,確率論は遅れて発展した.しかし公約化後,確率論は急速に大きく発展し,数学の重要な分野となった.これは20世紀の重要な確率学者,ロシアのコモゴロフ (Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987) が1933年に出版した100ページ未満の小冊子"Fundationssof the Theory of Probability"で基礎を確立したことに感謝する.
確率論は数学学科として,幾何学や代数のように公理から発展し得るし,発展されるべきである.
フランスのニュートンとして知られるラプラス (Pierre-Simon, Marquis de Laplace, 1749年−1827年) はこう言った.
この科学は,ゲーム・オブ・チャンスの検討から生まれたもので,人間の知識の最も重要なオブジェクトになってしまったはずです. 人生の最も重要な質問は,ほとんどの場合,本当に確率の問題のみです.
確率はランダムな現象に対してである.しかし,世界ではすべてのことがランダムではない.我々は必然性も言った. 投下する側がすべて人間の頭の銅板であると仮定し,その側が観察される. あなたはそれが必然的な現象であることを知っていますが,それでも人間の頭が起こる確率は1であり,他の状況が起こる確率は0です. つまり,これは退化した
投げる銅板については,投げる速度,角度,地面の弾力,銅板の形状,重量などの条件によって,投げた銅板が落下すると,その一面が上向きに計算されると言う物理学者もいるが,これはランダムではない.
ある神学者は,すべてのことが神の意志に従って行われていると考えてもよいが,それは確かではない.あなたは,ジェイソン王子とアルゴナウスを見ましたか.これはギリシャ神話に基づいた映画で,十二星座の羊座に関する内容です.1963年に発売されました.私は幼い頃に見たものの,今でも印象的です.
テクノロジーの進歩とともに,人々は徐々に多くの現象を理解するようになった.例えば,女性が妊娠すると,赤ちゃんの性別が決定されていることがわかっています.しかし,大腹の便秘のある女性については,善良な人が知らないため,まだ男の子の誕生の可能性を推測することができます.試験の前夜,生徒たちは真剣に準備していますが,まだ頭の中で推測しています.それぞれが高い確率の課題を考えています.先生は知ると,笑います.教室では繰り返し暗示されています.
しかし,既定課題の先生にとって,その課題が出来上がる確率を判断することは意味がありません. 彼にとって,それぞれの課題が出来上がる確率は1か0だけであり,他の値はありません. 同様に,果実が
第2節では,概率空間を用いて概率を導入する.サンプル空間は仮想である可能性があるので,このときの事件も仮想である.しかし,実際に観測があると仮定すると,4つの側面を4つの点として投射し,それぞれ1,2,3,4を表示し,その点数を観測する.その場合,サンプル空間は1,2,3,4の集合である.イベントの集合は,サンプル空間のすべての子集合を構成する集合である最大のもの,すなわち集合を取ることができる.あなたが配列組み合わせを学んだ場合,この最大のイベント集合に合計16の要素がある.概率関数では,点1,2,3,4が発生する確率をそれぞれ0.1,0.2,0.3,0.4,および1として仮定します.任意のイベントの確率について,このイベントは1,2,3,4を含むいくつかのイベントを含んでいます.また,これらのイベントの確率を,この空間に2つの可能性と定義することができます.
確率空間という概念を受け入れていても,数学者はいつも自分の好きな定義をするので,あなたは疑問に思うかもしれません. "点数"が現れる確率は0.1で,それはどういう意味ですか? 10回ごとに点数"が現れる確率は1回ですか?
假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。
現実的なあなたには,このような説明は現実的とは思えないでしょう. まず疑問を投げかけると,無限に近づくのは何ですか? 投げ続けること,止まらないこと,日出,日沈,春から秋まで,投げ続けること,そして,クォーパーの追いかける日が成功しても,無限はまだ達成されていませんが,投げ続けなければなりません. その数学系卒業生が,あなたが無限を尋ねると聞いたとき,魚のように水を得ました. これは数学系で4年の寒い窓で学んだ数々の技巧の1つです. あなたは無限について話すことをやめなければなりません.
確率値の意味を説明しようとすると,確率と無限大で,一層一層の転覆になります. これは,点と呼ばれるものを定義しようとすると,結果がオンライン群に,学習段階の苦闘のように落ちるようなものです. 最後に,ポイントは定義のない名詞です. しかし,とにかく,あなたは理解すべきです. 前述の4つの面に対して,たった1回投げただけで,点1が 0.1の確率を表示することができません. そのわずかな 0.1の意味です. 確率は,数回投げた結果ではありません. 確率の大きなサンプルの下では,力があります.
前回の数学系卒業者の説明では,このとき使える.これは大数の法則の一つである.数学的に意味すると,出来事の発生の相対頻度,出会いの確率が,出来事の発生の確率に収束する. ランダムな世界では,まだ従うべき法則があり,大数の法則が,そのうちの1つである. もちろん,我々は,実際に無限に多くのイベントを観察することができないことを指摘した.
確率が正である限り,すべての出来事が起こり得る.したがって,観測数が大きくても,非常に偏差が排除できない (例えば,1,000,000回観測され,1点が0回または1,000,000回発生する) 出来事が起こる.しかし,この時点で統計学者は飛び出して,点1が実際に発生する確率が0.1であるかどうかを判断することができます.これは統計学の仮定の判断のカテゴリーに属します.簡単に言えば,ある仮定の下で,このような結果が見られるかどうか,不規則か.不規則とは,発生する可能性が非常に小さく,ある予測値よりも小さいことを意味します.
不慣例である場合,初期仮定は受け入れられない.付録,銅板が公正であると仮定すると,100回投下され,少なくとも80回正面が出現し,10回投下され,少なくとも8回正面が出現し,前者より不慣例であり,それが起こる確率は後者よりもはるかに小さい.したがって,同じ80%以上の正面数を得ると,投下数が大きいほど,この銅板が不公平であると確信し,それを受け入れると,正面が出現する確率は少なくとも0.8である.これは,我々の統計において,サンプルが大きいほど,推論がより正確になることを示している.
ランダムな世界では,どちらが本当か,通常は不明である. 私たちはしばしば
また,4つの面に対して,1点の発生確率を推定することもできる.いくつかの異なる推定方法があり,異なる推定値を得ることができる.数学では,異なる方法を使用して,同じ結果をもたらす必要があります.いわゆる重回帰である.しかし,統計では,制限がある限り,常に統一された方法はありません.予測不能な未来について,私たちはしばしば推定を行う必要があります.
私たちは,ある未知量に対する推定を行う.未知量とは,ある出来事の起こる確率,ある分布のパラメータ (例えば,期待値や変数など) や物体の寿命などである.これらの未知量とは,パラメータと呼ばれる.時にはパラメータを区間で推定し,そのパラメータの確率をその区間で表す.これは区間推定と呼ばれるもので,その区間を信頼区間と呼びます.その区間を対象とするパラメータの確率は,この区間での信頼度 (con?dencelevel) と呼ばれる.確率とは,信頼度レベルは,通常,前もって与えられた0,1の値であり,百分比で表される.90%,95%,99%,等が通常,取られる値です.
データ (data) は統計学者の意思決定の主な根拠である.データがない場合,彼らはしばしば一括を無視する.単純な,一般的な状況を見てみましょう. 銅板の正面の発生確率 p を推定したいと仮定します. 自然に,いくつかの投影をします,例えば n 回,そして n 回の結果を観察します. このプロセスはサンプリングと呼ばれます. この状況では,各投影の結果は重要ではありません.
ここで2つの分布が関わっているため,計算は複雑で,nが十分大きい場合 (nが小さすぎる場合) は通常,正規分布を用いて近似することができる.これは確率理論における別の重要な法則である中央限界定理を使用する.ただし,正規分布を用いて近似するときにのみ,中央限界定理を使用し,信頼区間がすべて使用されないことを言及しなければならない.
推定された銅板の正面の確率 p に対して,サンプリングの前に,信頼区間がランダムな区間である.信頼レベルが95%と設定されている場合, (または正確に言うと,信頼区間が近似している場合,約
まず,次の例を挙げましょう. ある百貨店の年賀状を祝うとき,顧客が特定の金額に買い物をすると,1から10までの数字から1つの宝くじを抽出します. 5を抽出すると,今日その会社の支出で30%の抵当券を得ることができます. 抽出の前に,抵当券を得る確率が0.1であることを知っています. 抽出すると,3が表示されると,抵当券の確率はもちろん0になります.
このような例はたくさんあります. 振手前は,安打の確率が0.341であり,安打が終わると安打ではない,0.341が使えなくなっています. もう1つの例を挙げましょう. 銀行によって発行されたロッテが,1〜42の番号から6ヤードを1番目として開いていると仮定します. あなたは6ヤードを賭け,開示前に,少なくとも1ヤードを賭けることが容易であることを知っています. 確率は約0.629です.
また,課程文で述べたように,乱数表模擬が正面を表示することもできる (課程文に
その95%は何のためにあるのか?0.95は確率値で,確率値は決して一度だけ見た実験の結果ではない. 概して,実験を繰り返して多くの信頼区間を得ると,その中にpの信頼区間が含まれ,全体の範囲の約95%を占める. したがって,0.95の意味は,前節で説明した確率と同じである. しかし注意すべきは,同じpに対して,40人の全クラスで,得られる40つの95%信頼区間のうち,pの間隔が85%を超えない場合でも (さらに34個を超えない場合でも) 驚くことではない. この確率値は0.01388 (注2) ほどである.
確率は私たちの生活習慣に関連しているので,それをうまく使うことは,ランダムな世界でのより正確な意思決定に役立ちます. しかし,しばしば確率は簡単には使われず,得られた確率値はしばしば誤って考えられています. また,さまざまな確率値が提示されています. 原因は何ですか? 主な原因は,状況の解釈が間違っていることです.
過去の数学授業では,応用問題と呼ばれるものに出くわす.問題は,解算の解算です.このとき,元の冗長な記述を捨てることができます.しかし,確率では,単純なように思える状況が,解読が異なるため,南北の結論につながります.以下にいくつかの例をご覧ください.
映画の決勝21 (英語名21) では,数学教授が教室で質問をする. 3つのドアがある. 1つのドアの後ろには車があり,もう2つのドアの後ろにはヤギがある. あなたが1つ目のドアを選んだ後,司会者が2つ目のドアを開いてヤギを見た.
そうです. 車の入手の確率は 33.33% から 66.67% に増加します.
教授は"Very good!"と答え,彼の意見に賛同し,変更すべきだと言う.
比較的に正しい言い方は,司会者が車がそのドアの後ろにあることを事前に知っていれば,彼は1つのドアを開けるとヤギのドアである (これはより合理的な方法であり,そうでなければゲームは行われない) で,第3のドアを選択すると,映画の学生が言うように,車の確率が1/3から2/3に増加します.しかし,司会者が車がその1つのドアの後ろにあることを事前に知っていなければ (これはもちろん稀なケースですが),ただ2番目と3番目からランダムに1つのドアを開いて,ちょうどドアの後ろにあるヤギのドアを選んで,交換する必要はありません.
しかし,読者が気づいているかわかりませんが,司会者が車がそのドアの後ろにあることを事前に知っている場合,私たちは実際には仮定を暗示しています.つまり,2番目と3番目の後ろのドアがすべてヤギである場合,司会者はランダムに (すなわちそれぞれ1/2の確率で) 2番目または3番目を開く.実際には,より一般的な仮定があります.
別の例を挙げましょう. ある夫婦が新しい地域に移住したばかりで,2人の子供がいるが,性別は不明である.ある日,コミュニティの管理者が,この家の
最後に,概率論教科書でよく出てくる別の例を見てください.平面に単位円があり,ランダムに弦を描き,弦を引く際の辺の長さはこの円の内接等辺の三角形よりも大きい.この辺の長さは幾何学,円の内接等辺の三角形を使って求めることができる.しかし,どのようにランダムに弦を描くか. 1からnの正整数から1をランダムに引く.その意味はより明確である.つまり,取られるすべての数の確率は1/nである.自区間[0,1]から1をランダムに引く.また,この意味は,この数が[0,1]のいずれかの区間でも落ちる確率であり,その子区間の長さによって異なるものである.しかし,ランダムな弦を描くとき,どのようにランダムな弦を描くのか?
上記の例は,概率問題を扱うとき,状況が明確に定義されるべきであることを示しています. 用語的には,概率空間が明確に与えられなければ,各々の発言につながります. 時には,概率空間が与えられていないが,状況が単純で,誰もが共通する意見があるので,なぜ概率空間が特に強調されていないのか,まだ問題ではありません. 例えば,
状況解釈以外にも,条件確率,独立性,ランダムサンプリングなどの確率におけるユニークな概念は,確率を適用する際に注意を払う必要があります.