수학과 도박 (1)

수학과 도박

• 우리는 도박이 확률의 게임이라는 것을 알고 있으며, 어떤 이상한 도박 결과가 수학자 파스칼과 위대한 수학자 페르마 (Fermat) 의 관심을 불러 일으켰으며, 그들은 편지를 주고받으며 확률 이론의 몇 가지 원리를 제안하여 확률 이론을 만들었습니다. 오늘 몇 가지 도박의 확률 재미 문제를 소개합니다.

• 첫 번째, 완벽한 도박

NBA 팀인 Lakers와 Cowboys의 경기가 있는데, 두 팀의 충성스러운 팬들은 두 팀의 족과 족을 불러라. 팬들은 당연히 자신이 지지하는 팀이 더 이길 가능성이 있다고 생각하고 당신과 내기를 하겠다. 족이 Lakers가 이길 확률이 p라고 생각한다면, 족이 Cowboys가 q, p, q가 이길 확률이 50% 이상이라고 생각한다면, 다음 부분은 흥미로운 부분입니다. 우리는 항상 쉽게 방법을 설계할 수 있습니다. 각각 족과 족과 내기를 할 수 있습니다.

방법은 다음과 같습니다: 우리는 각각 족과 牛족의 같은 을 치고, 우리가 이겼다면 y원을 얻으며, 잃으면 x원을 잃습니다. y>x만 있으면 우리는 입니다. 그리고 x와 y는 다음과 같은 두 가지 간단한 불균형을 만족시켜야 합니다.

```
p * x - ( 1-p ) * y > 0
q * x - ( 1-q ) * y > 0
```

y>x의 한계와 함께, 그려진 그림은 세 개의 직선이 둘러싸고 있는 영역이며, 그 안에 있는 임의의 점의 좌표값 ((x,y) 은 승부차기이다. 만약 p>q이라면, 해답은 아래 그림의 파란색 부분이다:

이 문제는 완벽히 해결된 것처럼 보이지만, 또 다른 의구심이 있습니다. 독자들이 곧 이 의문의 터무니를 알게 될 것입니다. 코코넛이나 코코넛 모두 수익을 기대하는 것이 옳습니다. 즉, 장기적으로 볼 때 그들은 돈을 벌고, 우리는 안정적으로 돈을 벌고 있습니다.

• 두, 세 카드 사기

  

이것은 또 다른 우아한 딜러마입니다. 우리는 먼저 세 장의 카드를 준비합니다. 첫 번째 카드는 검은색이고, 두 번째 카드는 빨간색이고, 세 번째 카드는 한쪽이 검은색이고, 다른 하나는 빨간색입니다. 그리고 카드를 상자에 넣고 흔들고 상대방이 테이블 위에 평면 한 장을 뽑도록합니다. 그리고 그는 반대쪽과 같은 색을 습니다. 이 딜러마는 공정해 보입니다. 예를 들어, 표면이 검은색인 카드가 뽑히면 카드가 1 또는 3이 아닌 1 또는 3이 아니라 검은색 또는 빨간색이 아닌 다른 색을 가지고 있으며, 직관적인 확률은 1/2입니다.

사실 우리가 이길 확률은 1/2이 아니라 2/3입니다. 이 정결의 가장 혼란스러운 부분은 카드의 두면이 있습니다. 플레이어가 뽑는 것은 3면이 아니라 6면입니다. 3면은 검은색이고 3면은 빨간색입니다. 우리는 6면을 A, B, C, D, E, F로 표시합니다.

플레이어가 검은 면을 뽑을 때, 즉 A,C,D 등 세 가지 가능한 상황, 그 뒷면은 각각 D,F,A이며, 검은 면은 2/3의 상황을 차지합니다.

이 문제는 1889년 프랑스의 수학자 조셉 루이스 프랑수아 베르트랑에 의해 처음 제기되었으며, 이 문제의 결과는 예상치 못한 결과로 인해 베르트랑의 상자 역설로 불린다. 1950년 미국 수학자 워렌 위버가 상위 카드 게임을 소개했으며, 마틴 가드너는 이것을 세 카드 사기 (three-card swindle) 라고 부른다.

• 3번, 매우 특이한 A.

  

  때때로 우리는 도박을 시작하기 전에 물을 넣고, 다른 사람들이 먼저 약간의 돈을 벌게하고, 길게 뻗어있는 라인을 고, 마지막으로 을 습니다. 아래는 훌륭한 예입니다. 네 사람이 브리지를 고 있습니다. 나는 먼저 말합니다. 을 어, 나는 이제 A를 가지고 있습니다. 당신은 더 많은 A를 가지고 있다고 추측합니까?

  많은 사람들이 두 마리의 오징어는 전혀 다르지 않다고 생각하겠지만, 두 마리의 오징어는 상관없습니다. 그러나 두 마리의 오징어의 차이는 믿을 수 없을 정도로 크습니다. 먼저 첫 번째 오징어의 확률을 계산해보죠.

  没有A的情形：C（48，13）
  至少有1张A的情形：C（52，13）－C（48，13）
  恰好有1张A的情形：4＊C（48，12）
  至少有2张A的情形：C（52，13）－C（48，13）－4＊C（48，12）
  事件X为至少有两张A，事件Y为至少有一张A，那么条件概率为：
  
  P（X｜Y）＝P（XY）／P（Y）=(C（52，13）－C（48，13）－4＊C（48，12）)/(C（52，13）－C（48，13）)≈37%
  

  이 때 나는 A를 더하고, 더 쉽게 잃을 것이라고 내기로 했다. 그러나 첫 번째 의 이 있은 후, 모든 사람들이 내기를 할 의지가 움직여졌습니다. 두 번째 이 옷을 바꾼 것이 아니냐는 것을 보면, 그들은 내기를 올렸습니다.

  有黑桃A的情形：C（51，12）
  没有其它A的情形：C（48，12）
  还有其它A的情形：C（51，12）－C（48，12）
  事件X为还有其它A，事件Y为有黑桃A，条件概率为：
  
  P（X｜Y）＝P（XY）／P（Y）＝（C（51，12）－C（48，12））／C（51，12）≈56%。
  

WHU 집합학에서 옮겼다