Gestão do dinheiro através do critério Kelly

Gestão do dinheiro através do critério Kelly

O risco e a gestão de dinheiro são tópicos absolutamente críticos na negociação quantitativa. Ainda temos que explorar esses conceitos em qualquer quantidade razoável de detalhes além de indicar as diferentes fontes de risco que podem afetar o desempenho da estratégia.

Objetivos dos investidores

O mercado de ações pode ser considerado como um mercado de ações, mas não como um mercado de ações, ou como um mercado de ações.

Muitos comerciantes de varejo consideram que o único objetivo é o aumento do patrimônio líquido da conta tanto quanto possível, com pouca ou nenhuma consideração dada ao risco de uma estratégia.Um investidor de varejo mais sofisticado estaria medindo os drawdowns da conta, mas também pode ser capaz de suportar uma queda considerável no patrimônio líquido (digamos 50%) se estivesse ciente de que era ideal, no sentido da taxa de crescimento, a longo prazo.

Um investidor institucional pensaria de forma muito diferente sobre o risco. É quase certo que terá um levantamento máximo obrigatório (digamos 20%) e que consideraria a alocação por setor e os limites de volume médio diário, que seriam restrições adicionais para o "problema de otimização" da alocação de capital para estratégias. Estes fatores podem até ser mais importantes do que maximizar a taxa de crescimento a longo prazo da carteira.

Assim, estamos numa situação em que podemos encontrar um equilíbrio entre maximizar a taxa de crescimento a longo prazo através da alavancagem e minimizar o nosso "risco" tentando limitar a duração e a extensão da retirada.

Critério Kelly

Dentro deste artigo o Critério Kelly vai ser nossa ferramenta para controlar alavancagem de, e alocação para, um conjunto de estratégias de negociação algorítmica que compõem um portfólio multi-estratégia.

Definiremos alavancagem como a relação entre o tamanho de uma carteira e o patrimônio real da conta dentro dessa carteira. Para esclarecer isso, podemos usar a analogia de comprar uma casa com uma hipoteca. Seu adiantamento (ou depósito para aqueles de nós no Reino Unido!) constitui o patrimônio da sua conta, enquanto o adiantamento mais o valor da hipoteca constitui o equivalente ao tamanho de uma carteira. Assim, um adiantamento de 50.000 USD em uma casa de 200.000 USD (com uma hipoteca de 150.000 USD) constitui uma alavancagem de (150000 + 50000) / 50000 = 4. Assim, neste caso, você seria alavancado 4x na casa. Uma conta de carteira de margem se comporta de forma semelhante. Há um componente de margem cash e depois mais ações podem ser emprestadas, para fornecer a alavancagem.

Antes de afirmarmos o Critério Kelly especificamente quero delinear as suposições que vão para sua derivação, que têm diferentes graus de precisão:

• Cada estratégia de negociação algorítmica será assumida como possuindo um fluxo de retornos que é normalmente distribuído (ou seja, gaussiano). Além disso, cada estratégia tem sua própria média fixa e desvio padrão de retornos. A fórmula assume que esses valores médios e std não mudam, ou seja, que são os mesmos no passado como no futuro.

• Os rendimentos considerados são os rendimentos excedentários, o que significa que são líquidos de todos os custos de financiamento, tais como os juros pagos sobre a margem e os custos de transacção.

• Todos os lucros de negociação são reinvestidos e não são efectuadas retiradas de capital.

• Todas as estratégias são estatisticamente independentes (não há correlação entre as estratégias) e, portanto, a matriz de covariância entre os retornos da estratégia é diagonal.

Essas suposições não são particularmente precisas, mas consideraremos maneiras de relaxa-las em artigos posteriores.

Agora chegamos ao critério de Kelly real! Vamos imaginar que temos um conjunto de N estratégias de negociação algorítmicas e queremos determinar tanto como aplicar alavancagem ideal por estratégia, a fim de maximizar a taxa de crescimento (mas minimizar os drawdowns) e como alocar capital entre cada estratégia.onde μi são os retornos excessivos médios e σi o desvio-padrão dos retornos excessivos para uma estratégia i. Esta fórmula descreve essencialmente a alavancagem ideal que deve ser aplicada a cada estratégia.

Embora o critério Kelly fi nos dê a alavancagem e a alocação estratégica ideais, ainda precisamos calcular a nossa taxa de crescimento composta esperada a longo prazo da carteira, que denotamos por g. A fórmula para isso é dada por:onde r é a taxa de juros livre de risco, que é a taxa a que você pode pedir emprestado ao corretor, e S é a taxa de Sharpe anualizada da estratégia. Esta última é calculada através da média anualizada de rendimentos excessivos dividida pelos desvios padrão anualizados de rendimentos excessivos.

Nota: Se você gostaria de ler uma abordagem mais matemática da fórmula Kelly, por favor, dê uma olhada no artigo de Ed Thorp sobre o assunto: The Kelly Criterion in Blackjack Sports Betting, And The Stock Market (2007).

Um exemplo realista

Vamos considerar um exemplo no caso de estratégia única (i=1). Suponha que vamos longo uma ação mítica XYZ que tem um retorno médio anual de m=10,7% e um desvio padrão anual de σ=12,4%. Além disso, suponha que somos capazes de pedir emprestado a uma taxa de juros livre de risco de r=3,0%.

Com isso, podemos calcular a alavancagem Kelly ideal através de f = μ / σ2 = 0,077/0,1242 = 5,01. Assim, a alavancagem Kelly diz que para uma carteira de 100.000 USD devemos pedir emprestado 401.000 USD adicionais para ter um valor total de carteira de 501.000 USD. Na prática, é improvável que nossa corretora nos deixe negociar com uma margem tão substancial e, portanto, o Critério Kelly precisaria ser ajustado.

Podemos então usar o rácio de Sharpe S e a taxa de juros r para calcular g, a taxa de crescimento composta esperada a longo prazo. g=r+S2/2=0,03+0,622/2=0,22, ou seja, 22%. Assim, devemos esperar um retorno de 22% ao ano dessa estratégia.

Critério Kelly na prática

É importante estar ciente de que o Critério Kelly requer um reequilíbrio contínuo da alocação de capital para permanecer válido. Claramente, isso não é possível na configuração discreta da negociação real e, portanto, uma aproximação deve ser feita. A regra padrão aqui é atualizar a alocação de Kelly uma vez por dia. Além disso, o próprio Critério Kelly deve ser recalculado periodicamente, usando uma média final e desvio padrão com uma janela de retrospectiva.

Aqui está um exemplo de reequilíbrio de um portfólio sob o Critério Kelly, o que pode levar a algum comportamento contra-intuitivo. Suponhamos que temos a estratégia descrita acima. Usamos o Critério Kelly para pedir dinheiro emprestado para aumentar o tamanho do nosso portfólio para 501.000 USD. Suponhamos que fazemos um retorno saudável de 5% no dia seguinte, o que aumenta o tamanho da nossa conta para 526.050 USD. O Critério Kelly nos diz que devemos pedir mais emprestado para manter o mesmo fator de alavancagem de 5.01.

Agora considere que no dia seguinte perdemos 10% em nossa carteira (ouch!). Isso significa que o tamanho total da carteira é agora 568,359.45 USD (631510.5 × 0.9). Nosso patrimônio total da conta é agora 62,898.95 USD (126050−631510.45 × 0.1). Isso significa que nosso fator de alavancagem atual é 568359.45/62898.95 = 9.03. Portanto, precisamos reduzir nossa conta vendendo 253,235.71 USD de ações para reduzir nosso valor total da carteira para 315,123.73 USD, de modo que tenhamos uma alavancagem de 5.01 novamente (315123.73/62898.95 = 5.01).

Por isso, compramos com lucro e vendemos com prejuízo. Este processo de vender com prejuízo pode ser extremamente difícil emocionalmente, mas é matematicamente a coisa "correta" a fazer, assumindo que os pressupostos de Kelly tenham sido cumpridos!

Você pode ter notado que os valores absolutos de dinheiro sendo realocados entre dias eram bastante severos. Isso é uma consequência tanto da natureza artificial do exemplo quanto da alavancagem extensa empregada.

Como a estimativa de meios e desvios padrão estão sempre sujeitos a incerteza, na prática muitos comerciantes tendem a usar um regime de alavancagem mais conservador, como o Critério Kelly dividido por dois, conhecido carinhosamente como half-Kelly. O Critério Kelly deve realmente ser considerado como um limite superior de alavancagem para usar, em vez de uma especificação direta.

Deve usar o critério de Kelly?

Cada comerciante algorítmico é diferente e o mesmo vale para as preferências de risco. Ao escolher empregar uma estratégia de alavancagem (da qual o Critério Kelly é um exemplo), você deve considerar os mandatos de risco sob os quais você precisa trabalhar. Em um ambiente de varejo, você é capaz de definir seus próprios limites máximos de retirada e, assim, sua alavancagem pode ser aumentada. Em um ambiente institucional, você precisará considerar o risco de uma perspectiva muito diferente e o fator de alavancagem será um componente de uma estrutura muito maior, geralmente sob muitas outras restrições.

Em artigos posteriores, consideraremos outras formas de gerenciamento de dinheiro (e risco!), algumas das quais podem ajudar com as restrições adicionais discutidas acima.