1987 foi o centenário do nascimento do lendário matemático indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Para comemorá-lo, uma série de atividades foram realizadas. O famoso estadístico contemporâneo, C. Radhakrishna Rao, nascido na Índia, também foi convidado a dar três palestras.
Quando era estudante, estudei matemática, uma lógica que deduz resultados a partir de premissas dadas. Mais tarde, estudei estatística, um método racional que aprende com a experiência e a lógica que verifica premissas a partir de resultados dados. Eu percebi que a matemática e a estatística são importantes em todos os esforços humanos para melhorar o conhecimento natural e gerenciar efetivamente os negócios diários.
Eu acredito:
Em última análise, todo o conhecimento é histórico.
No sentido abstrato, todas as ciências são matemáticas.
No mundo da razão, todos os julgamentos são estatísticos.
O texto mostra a importância da matemática e da estatística e seus respectivos significados.
Durante muito tempo, a matemática do ensino médio abrangeu tópicos de probabilidade, em que a probabilidade clássica (ou seja, a explicação da probabilidade com a mesma probabilidade) também representa uma proporção considerável. Portanto, a probabilidade é frequentemente associada a combinações de matrizes, enquanto as combinações de matrizes são mais complicadas. Embora os alunos às vezes sejam distraídos por tópicos complexos, isso geralmente não é muito confuso em termos cognitivos. Nos últimos anos, devido à importância da estatística, a matemática do ensino médio foi gradualmente adicionando tópicos de estatística.
O conceito de intervalos de confiança foi proposto pela primeira vez por Jerzy Neyman (1894-1981), outro estadístico famoso, nascido na Polônia e que emigrou para os Estados Unidos em 1938. Ele foi meu avô, o professor que eu orientava. Ele foi o primeiro a apresentar o conceito em 1934. Após o seu discurso, o presidente do congresso, Arthur Lyon Bowley (1869-1957), disse que não tinha certeza de que o conceito de intervalos de confiança não fosse uma farsa.
Os anos passaram, mais de setenta anos, e os estatísticos de hoje, é claro, entenderam completamente o significado do intervalo de confiança. Mas nas universidades, quer seja em probabilidade e estatística, estatística e estatística matemática, os intervalos de confiança geralmente pertencem à segunda metade dos livros didáticos. Ou seja, os estudantes universitários em cursos relevantes, quando começam a entrar em contato com os intervalos de confiança, geralmente têm uma base estatística de probabilidade bastante suficiente.
Por que esse tópico, que é um pouco profundo, pode entrar no currículo de matemática do ensino médio? A principal razão é a sua importância; isso só pode ser entendido se olharmos para os intervalos de confiança e os níveis de confiança dos resultados das pesquisas publicadas nos meios de comunicação.
Em alguns livros didáticos de estatística, os intervalos de confiança representam uma parcela de um capítulo. Para diferentes parâmetros, diferentes distribuições, podem haver diferentes intervalos de confiança; mesmo com o mesmo parâmetro e a mesma distribuição, também podem haver diferentes métodos para obter intervalos de confiança diferentes. Às vezes, por razões de insuficiência de condições ou complexidade de cálculo, basta recuar e buscar o segundo para obter um intervalo de confiança aproximado. Claro que isso requer algumas condições e o uso de alguns teoremas.
A partir daí, o grupo começou a trabalhar com os resultados de pesquisas que foram feitas em todo o mundo, incluindo o estudo da distribuição normal, o intervalo de confiança e o nível de confiança.
A inferência estatística do ensino médio faz apenas estimativas dos valores esperados de variáveis aleatórias, com a teoria do limite central; introduz a distribuição normal para introduzir o limite central. Esta parte é apenas uma introdução genérica para construir uma visão intuitiva do limite central para os alunos de forma ativa. Para um nível de confiança fixo, dá-se uma fórmula de intervalo de confiança, e depois os alunos são convidados a fazer simulações de tabelas de números aleatórios ou experimentos para lançar uma placa de cobre com probabilidade positiva de p, introduzindo a fórmula do intervalo de confiança, explicando o significado do intervalo de confiança; e, com isso, interpretando por que a maioria dos alunos cobre o intervalo de confiança obtido p.
A interpretação do parágrafo não só tem vários problemas, mas também não pode ser entendida. Se a teoria por trás da primeira frase é o raciocínio central extremamente limitado, não se sabe de onde surgiu. Esta é uma opinião não estatística. Como a interpretação do currículo não é clara, os professores de matemática do ensino médio que ensinam seriamente e querem ensinar aos alunos a entender, apenas devem investigar os princípios e interpretá-los individualmente.
Por que o conceito de intervalo de confiança é tão frequentemente usado como um argumento para a teoria da probabilidade?
Por que é que há 6 faces em um pacote e, em seguida, há uma probabilidade de obter um número ímpar? O pacote parece não ser diferente, assumindo que as probabilidades de ocorrência de cada lado são iguais, ou seja, 1/6 e que cada lado possui 2, 4, 6 e 3 pares. Portanto, a probabilidade é de 3/6. Esta é a chamada probabilidade clássica, o pressuposto básico é que a probabilidade é a mesma.
No final de julho e início de agosto de 2009, o campeão mundial de golfe, Tiger Woods, disputou o Buick Open, em Michigan, nos Estados Unidos. No primeiro round, ele terminou 8 pontos atrás do líder e ficou em 95o lugar. Isso provocou a possibilidade de que ele não pudesse escapar de sua carreira, e pela primeira vez em duas partidas consecutivas, o primeiro foi o British Open, o The Open Championship, muitas vezes chamado de British Open fora do Reino Unido.
这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。
Um senhor olha para uma garota, surpreso, e acha que é sua noiva de hoje. Após a avaliação, ele está confiante e tem 80% de chances de se identificar. Os outros não estão bem, perguntando como ele conseguiu esse número de 8%.
A probabilidade subjetiva, é claro, também pode ser baseada em fatos objetivos. Mas mesmo diante do mesmo material, pessoas diferentes podem ter diferentes julgamentos e, portanto, dar probabilidades subjetivas diferentes.
Por exemplo, para pegar uma menina, aproximadamente poucas meninas vão fazer um experimento, repetidamente, e depois contar algumas delas com sucesso várias vezes, para determinar a probabilidade de que ela seja atingida por você. Para esse tipo de fenômeno que não pode ser repetido, a probabilidade subjetiva é geralmente usada quando se fala de probabilidade.
Apesar de ser subjectivo, é razoável. Por exemplo, um exame tem probabilidade de ser bem-sucedido e de não ser bem-sucedido. Se a probabilidade de ser bem-sucedido for 0,9, não há problema, a pessoa sempre tem um pouco de confiança, mas se, ao mesmo tempo, tem medo de ter uma probabilidade de 0,8 de não ser bem-sucedido, não pode.
As três explicações acima são as mais comuns para a probabilidade, ou seja, muitas vezes as pessoas avaliam a probabilidade de ocorrência de um evento. Embora para diferentes situações, muitas vezes podem ser usadas em interação. Todos já ouviram o exemplo de um homicida que matou o seu avô com o mesmo nome, um homem de boa vontade que disse que sua mãe tinha matado seu avô. A mãe disse que Liu Uguzu não matou o seu avô, mas continuou a tecer o tecido.
É claro que você pode não acreditar, não importa qual seja o resultado do lançamento, todos pensam que é apenas uma situação momentânea, e a vontade é firme em acreditar que é uma placa de cobre justa. Isso não é impossível, como se houvesse uma mãe, mesmo que mais testemunhas, ela não acredita que seu filho mataria, desde que ela não veja com os olhos. Saber que fenômenos aleatórios, eventos, desde que a probabilidade seja positiva, não importa quão pequeno seja o valor da probabilidade, tudo pode acontecer.
Embora existam três explicações para a probabilidade, que também abrangem muitas situações da vida real, os matemáticos, é claro, não param por aí. Eles gostam de abstração e generalização. Como os solucionadores de equações, buscam fórmulas para expressar a solução de um tipo de equação, em vez de se contentarem apenas com a solução de um caso específico. Depois de conhecer completamente o sistema de números reais, definem o sistema de números reais de forma axiomática.
O que é chamado de forma racionalizada para introduzir probabilidades? Primeiro, há um conjunto, chamado espaço de amostra, que é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma observação. Pode haver essa observação, ou apenas virtual. Alguns subconjuntos do espaço de amostra, que são de nosso interesse, são eventos individuais. Todos os eventos também constituem um conjunto.
Isso não exige muito espaço para a amostra, mas não pode ser um conjunto vazio. O conjunto de eventos deve atender a algumas condições. Simplificando, não pode haver muitos eventos de seu interesse. Por exemplo, não pode haver apenas um interesse em um evento A e não ter interesse em A. Portanto, o conjunto de eventos deve ser grande o suficiente, pelo menos o que deve ser incluído.
Sob a estrutura de um espaço de probabilidade, qualquer pessoa que use qualquer maneira de interpretar a probabilidade pode expressar e encontrar o significado da probabilidade que ele quer. Mas, uma vez que a abstração não está mais limitada a pranchas de bronze, sacos e cartas de poker, é possível discutir problemas mais gerais, e há teorias suficientes para serem exploradas.
O desenvolvimento da teoria das probabilidades é mais tardio do que em outras áreas da matemática. Mas, após a racionalização, a teoria das probabilidades rapidamente se desenvolveu profundamente e se tornou uma área importante da matemática. Tudo isso graças ao importante probabilista do século XX, o russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), que lançou a base da teoria das probabilidades em seu livro de menos de 100 páginas, publicado em 1933.
A teoria da probabilidade como disciplina matemática pode e deve ser desenvolvida a partir de axiomas da mesma forma que a geometria e álgebra.
O francês Pierre-Simon de Laplace (Marquês de Laplace, 1749-1827), conhecido como Newton, disse:
Esta ciência, que se originou na consideração de jogos de azar, deve ter se tornado o objeto mais importante do conhecimento humano. As questões mais importantes da vida são, na maior parte, realmente apenas problemas de probabilidade.
A probabilidade é para um fenômeno aleatório. Mas nem tudo no mundo é aleatório, nós dissemos que também é inevitável. Suponha que todos os lançamentos sejam de uma placa de cobre de cabeça humana e a observação obtenha o outro lado. Você sabe que é um fenômeno inevitável, mas ainda pode dizer que a probabilidade de uma cabeça humana aparecer é de 1 e a probabilidade de outras situações ocorrerem é de 0. Ou seja, considere isso como um fenômeno aleatório de degradação.
Alguns físicos acreditam que o lançamento de uma placa de cobre pode ser calculado a partir de condições como velocidade, ângulo, elasticidade do solo, forma e peso da placa de cobre, e que, após o lançamento, a placa de cobre vai para cima, por isso não é aleatório. No que diz respeito ao prêmio da loteria, se as condições iniciais forem detectadas, a bola será descoberta, e também pode ser calculada, por isso não é aleatória.
Alguns teólogos podem pensar que tudo está acontecendo de acordo com a vontade de Deus, mas não sabemos se é verdade. Você já viu o filme Jason and the Argonauts? É um filme baseado no mito grego, relacionado ao signo de Aries no zodíaco 12.
Com o avanço da tecnologia, as pessoas começam a entender o que acontece com muitos fenômenos. Por exemplo, sabemos que, quando uma mulher está grávida, o sexo do bebê já está determinado. Mas para uma mulher com um ventre grande, os bons feitos, por causa do desconhecimento, ainda podem adivinhar a probabilidade de ter um menino. Na véspera do exame, os alunos, embora se preparem seriamente, ainda estão imaginando, e todos acham que os assuntos são de grande probabilidade.
Mas para o professor de um problema já proposto, não faz qualquer sentido julgar a probabilidade de que um problema seja escolhido. Porque para ele, a probabilidade de que cada problema seja escolhido é apenas um ou zero, não há outros valores. Da mesma forma, para quem vê o fruto por trás, a probabilidade de que o fruto seja uma maçã ou uma maçã, só dirá um ou zero. O acaso é diferente do acaso.
Na seção 2, introduzimos a probabilidade no modo de um espaço de probabilidade. Como o espaço de amostras pode ser virtual, então o evento também é virtual. Mas suponha que realmente haja uma observação, como lançar um quadrado, com quatro faces, respectivamente, os pontos de marcação 1, 2, 3, 4 e observar os pontos obtidos. O espaço de amostras é o conjunto de 1, 2, 3, 4. O conjunto de eventos pode ser o maior, ou seja, o conjunto que contém todos os subsetes do espaço de amostras.
Mesmo que você já tenha aceitado o conceito de espaço de probabilidade, que os matemáticos costumam dar algumas definições, você ainda pode estar curioso, o que significa a probabilidade de um ponto 1 aparecer 0.1, exatamente?
假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。
Você pragmático, provavelmente não acha essa explicação muito prática. Primeiro, pergunte: o que é aproximar-se do infinito? Você está sempre jogando, sem parar, o sol nasce, o sol cai, a primavera vem e cai, e continua jogando, mesmo que o seu pai tenha sido bem sucedido, o infinito ainda não foi alcançado, e ainda tem que jogar. O graduado em matemática, quando ouviu você perguntar o infinito, como um peixe que recebe água, é um dos poucos truques que ele aprendeu na janela fria de quatro anos de matemática.
A tentativa de explicar o significado de um valor de probabilidade seria uma inversão de nível em probabilidade e infinito. Isso é como tentar definir o que se chama um ponto, o resultado seria como se estivesse em um grupo on-line, difícil de aprender. Finalmente, o ponto é um nome indefinido. Mas, de qualquer forma, você deve entender que, para os quatro faces acima, jogar apenas uma vez, é impossível mostrar que o número 1 tem probabilidade de 0.1, o que significa que o número 0.1 é pequeno.
A explicação do ex-aluno de matemática, então, pode ser usada. Esta é uma versão simplificada de uma das leis dos grandes números. O significado matemático é que a frequência relativa de ocorrência de eventos, a probabilidade de encontro se resume à probabilidade de ocorrência de eventos.
Os eventos são possíveis desde que a probabilidade seja positiva. Portanto, não se pode excluir que ocorram eventos muito desviados (por exemplo, 1.000.000 de observações, com o número de vezes em que o ponto 1 aparece como 0, ou 1.000.000 de vezes). No entanto, quando os estatísticos saltam, é possível determinar se a probabilidade de ocorrência do ponto 1 é realmente 0.1, o que se enquadra na categoria de hipóteses de teste em estatística.
Se for incomum, a hipótese inicial não é aceitável. Por exemplo, se um painel de cobre for considerado justo, ele será lançado 100 vezes e terá pelo menos 80 positivos, em comparação com 10 lançamentos com pelo menos 8 positivos, o primeiro sendo mais incomum, pois tem uma probabilidade muito menor do que o segundo. Portanto, ao obter o mesmo número de positivos superior a 80%, o maior número de lançamentos fará com que acreditemos mais que o painel de cobre é injusto, e aceitar a probabilidade de que ele tenha positivos é pelo menos 0,8. Isso indica que, em nossa estatística, a maior amostra fará com que a conclusão seja mais precisa.
No mundo aleatório, o que é exatamente verdadeiro, geralmente é desconhecido. Muitas vezes, não conseguimos provar que o que aconteceu é verdade. Mas é uma hipótese, dependendo de como você aceita essa hipótese. A probabilidade de ocorrência de um número de pontos de 4 faces é de 0.1, e nem mesmo lançando várias vezes pode ser provado.
Além disso, para um quadrado, também é possível estimar a probabilidade de ocorrência do ponto 1, existem algumas estimativas diferentes, que podem obter estimativas diferentes. Na matemática, o uso de métodos diferentes deve resultar no mesmo resultado. O chamado "caso homogêneo". Mas na estatística, não há sempre um método definitivo, a menos que sejam feitas algumas restrições. Para o futuro imprevisível, muitas vezes temos que fazer estimativas, e a estatística pode desempenhar um papel muito bom nesse sentido.
Costumamos fazer estimativas sobre uma quantidade desconhecida. As quantidades desconhecidas podem ser a probabilidade de um evento ocorrer, um parâmetro de uma distribuição (como valores esperados e variáveis, etc.) ou a vida de um objeto. Essas quantidades desconhecidas são conhecidas como parâmetros. Às vezes, os parâmetros são estimados em um intervalo e esse intervalo é dado para cobrir a probabilidade desse parâmetro.
Os dados são a base principal para os estatísticos tomarem decisões. Se os dados não estiverem disponíveis, eles tendem a ignorar uma situação simples e comum. Suponha-se que se pretenda estimar a probabilidade de um painel de cobre ter um lado positivo p. Naturalmente, são projetadas várias vezes, por exemplo, n vezes, e observam-se os resultados n vezes. Este processo é chamado de amostragem. Neste caso, os resultados de cada um dos projetos não são importantes.
O cálculo é mais complexo porque envolve duas distribuições, e se n for grande o suficiente (n não é muito pequeno), muitas vezes podemos aproximar-nos através de distribuições normais. Outra lei importante para o teorema do limite central é o teorema do limite central. É importante mencionar que o teorema do limite central é usado apenas quando se aproxima com distribuições normais, e não em intervalos de confiança.
Para estimar a probabilidade positiva de p, antes da amostragem, o intervalo de confiança é um intervalo aleatório, se o nível de confiança for definido em 95%, há (ou, mais precisamente, há cerca de um quilo, se o intervalo de confiança for apenas aproximado) uma probabilidade de 0.95, o intervalo de confiança contém p; depois da amostragem, obtém-se um intervalo fixo. Então p pertence ao intervalo de probabilidade, não será 1 e 0 e não será mais p. Por que isso?
Vamos começar com o seguinte exemplo. Suponha que um aniversário de uma loja de conveniência, os clientes compram uma certa quantidade, então você pode tirar uma bola de loteria de 1 a 10. Se você tirar o número 5, hoje em dia o gasto da empresa, você pode obter 30% de crédito. Antes do sorteio, você sabe que há uma probabilidade de 0.1 de obter o crédito, a chance não é pequena.
Exemplos de tal natureza são muitos. Antes de bater o bastão, pode-se dizer que a probabilidade de apostar é de 0,341, depois de jogar não é uma jogada e não é uma jogada, 0,341 já não está em jogo. Mais um exemplo. Suponha que um sorteio de loteria emitido por um banco, em cada edição, de 1 a 42, 6 jardas sejam abertos como número de prêmio principal.
Além disso, como dito no currículo, também é possível que uma simulação de tabela de números aleatórios apareça positiva (o currículo tem menos duas palavras positivas, o que não faz sentido) a probabilidade de que p seja uma placa de cobre n vezes, para obter um intervalo de confiança. Você vê, p é basicamente pré-definido, um dos resultados da simulação é um intervalo fixo, p não cai entre eles, uma olhada sabe, como pode dizer que o intervalo de cobertura p é probabilidade de 0.95?
Para que serve esse 95%? 0.95 é um valor de probabilidade, e o valor de probabilidade nunca é apenas um resultado de uma experiência vista uma vez. Pode-se dizer, aproximadamente, que, se o experimento for repetido e muitos intervalos de confiança forem obtidos, eles contêm o número de intervalos de confiança p, cerca de 95% de todo o número de intervalos. Assim, o significado de 0.95 é o mesmo que a nossa explicação de probabilidades no parágrafo anterior.
Como a probabilidade está ligada aos nossos hábitos de vida, o bom uso da probabilidade pode ajudar a tomar decisões mais precisas em um mundo aleatório. Mas muitas vezes a probabilidade não é fácil de aplicar e os valores de probabilidade obtidos são frequentemente considerados errados.
No passado, todos nos cursos de matemática, encontramos o que chamamos de problemas de aplicação. O problema, entende-se, depois de escrever uma fórmula matemática, é resolver a matemática. Nesse momento, você pode jogar fora a narrativa redundante original.
No filme Final 21 (em inglês, o nome do filme é 21), o professor de matemática coloca um problema em uma sala de aula. Há três portas, uma atrás de um carro e duas atrás de uma cabra. Depois de escolher a primeira porta, o apresentador abre a segunda porta e vê uma cabra.
Sim, porque as minhas hipóteses de conseguir o carro vão aumentar de 33,33% para 66,67% se mudar da porta 1 para a porta 3.
O professor disse: "Very good!" e concordou com a opinião dele, ou seja, deveria mudar.
A forma mais correta seria que, se o apresentador soubesse de antemão que o carro estava atrás daquela porta, ele abrisse uma porta e depois a porta do bode (isto é uma abordagem mais razoável, senão o jogo não poderia ser realizado) e, se o terceiro portão fosse escolhido, a probabilidade de obter o carro aumentaria de 1/3 para 2/3, como diz o estudante do filme. Mas se o apresentador não soubesse de antemão que o carro estava atrás daquela porta (o que é, claro, um caso raro), ele escolheria aleatoriamente uma das portas 2 e 3 e abriria uma, e logo após a porta, o bode, então não precisaria ser trocado, porque a probabilidade de obter o carro, seja trocado ou não, é de 1/2.
Mas o leitor pode ter notado que, no caso de o apresentador saber que o carro está atrás daquela porta, nós também implicamos em fazer uma hipótese. Ou seja, se a segunda e a terceira portas são todas cabras, o apresentador abre a segunda ou a terceira porta aleatoriamente (ou seja, com uma probabilidade de 1/2). Na verdade, pode haver uma hipótese mais geral. Quando a segunda e a terceira portas são todas cabras, se o apresentador abre a segunda ou a terceira porta com uma probabilidade de q1 e? q, respectivamente, e 0≤q≤1; se a terceira porta é substituída, a probabilidade de o carro ser escolhido é 1/1+q (ver apêndice 2).
Outro exemplo: um casal que acaba de se mudar para uma comunidade, e todos sabem que eles têm dois filhos, sem saber o gênero. Um dia, um administrador da comunidade, vê o pai da casa, que está brincando com uma criança em casa. Se a criança é uma menina, a probabilidade de que os dois filhos sejam meninas. Muitas pessoas pensam que o problema não é difícil, achando que a probabilidade é de 1 / 3.
Por fim, veja outro exemplo que aparece frequentemente nos livros de probabilidade. Há um círculo unitário no plano, desenha uma corda aleatoriamente, e a probabilidade de que o cordão seja maior do que o comprimento do triângulo lateral. Utilize a geometria, a interseção da unidade de circunferência, etc.
Os exemplos acima nos dizem que, ao lidar com o problema da probabilidade, a situação deve ser claramente definida. Em termos de termos, o espaço de probabilidade deve ser claramente dado, caso contrário, levará a todas as palavras. Às vezes, embora não seja dado espaço de probabilidade, a situação é mais simples, todos têm uma opinião comum, e não há problema. Por que não se enfatiza especialmente o espaço de probabilidade neste momento.
Além da interpretação situacional, alguns conceitos únicos da probabilidade, como a probabilidade condicional, a independência e a amostragem aleatória, também devem ser cuidadosamente considerados quando a probabilidade é aplicada.