Управление деньгами с помощью критерия Келли

Управление деньгами с помощью критерия Келли

Управление рисками и деньгами являются абсолютно критическими темами в количественной торговле. Мы еще не изучили эти концепции в разумной степени детально, помимо указания различных источников риска, которые могут повлиять на эффективность стратегии. В этой статье мы рассмотрим количественные средства управления собственным капиталом счета с целью максимизации долгосрочного роста счета и ограничения риска снижения.

Цели инвестора

Возможно, кажется, что единственной важной целью инвестора является просто "сделать как можно больше денег". Однако реальность долгосрочной торговли сложнее. Поскольку участники рынка имеют различные предпочтения и ограничения риска, существует много целей, которыми могут обладать инвесторы.

Многие розничные трейдеры считают, что единственной целью является увеличение собственного капитала счета как можно больше, с небольшим или никаким учетом риска стратегии. Более сложный розничный инвестор будет измерять снижение счета, но также может быть в состоянии принять значительное падение собственного капитала (скажем, 50%), если они знают, что это оптимально, в смысле темпа роста, в долгосрочной перспективе.

Институциональный инвестор будет рассматривать риск совершенно по-другому. Почти наверняка у него будет установленный максимальный уровень привлечения (скажем, 20%) и он будет рассматривать распределение секторов и среднедневные ограничения объема, которые являются дополнительными ограничениями для "проблемы оптимизации" распределения капитала в стратегии. Эти факторы могут быть даже более важными, чем максимизация долгосрочного темпа роста портфеля.

Таким образом, мы находимся в ситуации, когда мы можем найти баланс между максимизацией долгосрочного темпа роста с помощью кредитного плеча и минимизацией нашего риска, пытаясь ограничить продолжительность и масштаб снижения.

Критерий Келли

В этой статье Критерий Келли станет нашим инструментом для контроля рычага и распределения в направлении набора алгоритмических торговых стратегий, которые составляют многостратегический портфель.

Мы будем определять рычаг в качестве соотношения размера портфеля к фактическому капиталу счета в этом портфеле. Чтобы прояснить это, мы можем использовать аналогию покупки дома с ипотекой. Ваш первоначальный взнос (или депозит для тех из нас в Великобритании!) составляет ваш капитал счета, в то время как первоначальный взнос плюс стоимость ипотеки составляет эквивалент размера портфеля. Таким образом, первоначальный взнос в размере 50 000 долларов США на дом на сумму 200 000 долларов США (с ипотекой в размере 150 000 долларов США) составляет рычаг в размере (150000 + 50000) / 50000 = 4. Таким образом, в этом случае вы будете иметь 4x рычаг в доме. Портфель маржина ведет себя аналогично.

Прежде чем мы конкретно изложим критерий Келли, я хочу обозначить предположения, которые входят в его вывод, которые имеют различную степень точности:

• Предполагается, что каждая алгоритмическая торговая стратегия обладает потоком доходов, который обычно распределен (т.е. Гауссианский). Кроме того, каждая стратегия имеет свое фиксированное среднее и стандартное отклонение доходов. Формула предполагает, что эти средние и стандартные значения не меняются, т.е. что они одинаковы в прошлом и в будущем.

• Если стратегия реализуется в институциональной среде, это также означает, что доходность не включает в себя комиссионные за управление и исполнение.

• Все прибыли от торговли реинвестируются, и вывод собственного капитала не производится.Это явно не применимо в институциональной среде, где вышеупомянутые сборы за управление снимаются, и инвесторы часто делают выводы.

• Все стратегии являются статистически независимыми (нет корреляции между стратегиями), и, следовательно, матрица ковариантности между доходами от стратегии является диагональной.

Эти предположения не совсем точны, но мы рассмотрим способы их смягчения в последующих статьях.

Теперь мы пришли к фактическому Критерию Келли! Давайте представим, что у нас есть набор N алгоритмических торговых стратегий и мы хотим определить как применять оптимальный рычаг для каждой стратегии, чтобы максимизировать темпы роста (но минимизировать выводы) и как распределить капитал между каждой стратегией. Если мы обозначаем распределение между каждой стратегией i как вектор f длины N, st f=(f1,...,fN), то Критерий Келли для оптимального распределения для каждой стратегии fi дается:где μi - средние избыточные доходы и σi - стандартное отклонение избыточных доходов для стратегии i. Эта формула, по существу, описывает оптимальный уровень кредитного плеча, который должен применяться к каждой стратегии.

В то время как критерий Келли fi дает нам оптимальный рычаг кредитования и стратегическое распределение, мы все еще должны фактически рассчитать ожидаемый долгосрочный совокупный темп роста портфеля, который мы обозначаем g. Формула для этого дается:где r - безрисковая процентная ставка, которая является ставкой, по которой вы можете одолжить у брокера, и S - годовое отношение Шарпа стратегии. Последнее рассчитывается с помощью годовой средней избыточной доходности, разделенной на годовое стандартное отклонение избыточной доходности.

Примечание: Если вы хотите прочитать более математический подход к формуле Келли, пожалуйста, ознакомьтесь с статьей Эда Торпа по теме: Критерий Келли в ставках на блэкджек и фондовый рынок (2007).

Реалистичный пример

Давайте рассмотрим пример в случае одной стратегии (i=1). Предположим, что мы покупаем мифическую акцию XYZ, которая имеет среднюю годовую доходность m=10,7% и годовое стандартное отклонение σ=12,4%. Кроме того, предположим, что мы можем брать в долг по безрисковой процентной ставке r=3,0%.

С помощью этого мы можем вычислить оптимальный кредитный рычаг Келли через f=μ/σ2=0.077/0.1242=5.01. Таким образом, кредитный рычаг Келли говорит, что для портфеля в 100 000 долларов США мы должны взять дополнительно 401 000 долларов США, чтобы иметь общую стоимость портфеля в 501 000 долларов США. На практике маловероятно, что наш брокер позволит нам торговать с такой существенной маржой, и поэтому критерий Келли должен быть скорректирован.

Затем мы можем использовать коэффициент Шарпа S и процентную ставку r для расчета g, ожидаемого долгосрочного совокупного темпа роста. g=r+S2/2=0,03+0,622/2=0,22, т.е. 22%. Таким образом, мы должны ожидать доходность 22% в год от этой стратегии.

Критерий Келли на практике

Важно знать, что Критерий Келли требует постоянного перебалансирования распределения капитала, чтобы оставаться действительным. Очевидно, что это невозможно в дискретной обстановке фактической торговли, и поэтому необходимо сделать приближение. Стандартное правило здесь заключается в обновлении распределения Келли один раз в день. Кроме того, Критерий Келли должен периодически пересчитываться, используя среднее среднее и стандартное отклонение с обратным окном. Опять же, для стратегии, которая торгуется примерно один раз в день, этот обратный взгляд должен быть установлен в порядке 3-6 месяцев ежедневной доходности.

Вот пример ребалансирования портфеля по критерию Келли, который может привести к некоторому противоположному интуитивному поведению. Предположим, что у нас есть стратегия, описанная выше. Мы использовали критерий Келли для заимствования наличных денег, чтобы увеличить размер нашего портфеля до 501 000 долларов США. Предположим, что мы получаем здоровую доходность 5% на следующий день, что увеличивает размер нашего счета до 526 050 долларов США. Критерий Келли говорит нам, что мы должны брать больше, чтобы сохранить тот же фактор рычага 5.01.

Теперь рассмотрим, что на следующий день мы теряем 10% от нашего портфеля (ауч!). Это означает, что общий размер портфеля сейчас составляет 568,359.45 USD (631510.5×0.9). Общий капитал нашего счета теперь составляет 62,898.95 USD (126050−631510.45×0.1). Это означает, что наш текущий фактор рычага составляет 568359.45/62898.95=9.03. Поэтому нам нужно уменьшить наш счет, продав 253,235.71 USD акций, чтобы уменьшить общую стоимость нашего портфеля до 315,123.73 USD, так что у нас снова будет рычаг 5.01 (315123.73/62898.95=5.01).

Таким образом, мы покупаем в прибыль и продаем в убыток. Этот процесс продажи в убыток может быть чрезвычайно сложным с эмоциональной точки зрения, но это математически правильное дело, если предположить, что предположения Келли были выполнены! Это подход, который следует следовать, чтобы максимизировать долгосрочный совокупный темп роста.

Вы, возможно, заметили, что абсолютные значения денег, перераспределяемых между днями, были довольно серьезными. Это является следствием как искусственного характера примера, так и используемого обширного рычага. 10% потери в день не особенно распространены в алгоритмической торговле с более высокой частотой, но это служит для того, чтобы показать, насколько обширный рычаг может быть в абсолютных условиях.

Поскольку оценка средних и стандартных отклонений всегда подвержена неопределенности, на практике многие трейдеры склонны использовать более консервативный режим рычага, такой как Критерий Келли, разделенный на два, известный как half-Kelly. Критерий Келли действительно следует рассматривать как верхнюю границу рычага, а не как прямую спецификацию. Если не прислушаться к этому совету, то использование прямого значения Келли может привести к краху (т.е. исчезновению собственного капитала счета до нуля) из-за негауссианского характера прибыли стратегии.

Следует ли применять критерий Келли?

Каждый алгоритмический трейдер отличается, и то же самое относится к предпочтениям риска. При выборе стратегии использования рычага (например, критерий Келли) вы должны учитывать условия риска, в которых вы должны работать. В розничной среде вы можете установить свои собственные пределы максимального вывода, и, таким образом, ваш рычаг может быть увеличен. В институциональной среде вам нужно будет рассматривать риск с очень другой точки зрения, и фактор рычага будет одним из компонентов гораздо более широкой структуры, обычно под многими другими ограничениями.

В последующих статьях мы рассмотрим другие формы управления деньгами (и рисками!), некоторые из которых могут помочь с дополнительными ограничениями, обсужденными выше.