اورنسٹائن-ولنبیک کی پیتھون کے ساتھ نقل

اس مضمون میں ، ہم اورن اسٹائن - اوہلنبیک عمل کا جائزہ لیں گے ، اس کے ریاضیاتی فارمولوں کی وضاحت کریں گے ، اس کا نفاذ اور پیتھون کا استعمال کرتے ہوئے اس کی نقالی کریں گے ، اور مقداری مالی اور سسٹم ٹریڈنگ میں کچھ عملی استعمالات پر تبادلہ خیال کریں گے۔ ہم ایک اعلی درجے کی بے ترتیب عمل ماڈل استعمال کریں گے ، جسے اورن اسٹائن - اوہلنبیک (OU) عمل کہا جاتا ہے ، جو وقت کے سلسلے کو ماڈل کرنے کے لئے استعمال کیا جاسکتا ہے جس میں ہم آہنگی کی واپسی کا مظاہرہ کیا جاتا ہے۔ یہ خاص طور پر مشتق قیمتوں میں سود کی شرح ماڈلنگ کے لئے مفید ہے اور جب تجارت کرتے وقت نظام کی تجارت کے لئے الگورتھم انجام دیتا ہے۔

اورنسٹائن-ولنبیک عمل کیا ہے؟

اورنسٹائن - اوہلنبیک عمل ایک مسلسل وقتی بے ترتیب عمل ہے جو اوسط کے رجحان کے رویے کو ماڈل کرنے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ، معیاری بے ترتیب گھومنے یا براؤن کی نقل و حرکت کے برعکس ، جس میں لامحدود بہاؤ ہوسکتا ہے ، OU عمل اکثر وقت کے ساتھ طویل مدتی اوسط تک واپس آجاتا ہے۔ ریاضی کے لحاظ سے ، OU عمل اس طرح کے اوسط کے رجحان کو کنٹرول کرنے والے مخصوص بے ترتیب ڈویژنل مساوات (SDE) کا حل ہے۔ OU عمل کا SDE مندرجہ ذیل فارمولے کے ذریعہ دیا گیا ہے:

جہاں Xt وقت t میں ایک بے ترتیب عمل ہے، جہاں μ طویل مدتی اوسط ہے، θ اوسط واپسی کی شرح ہے، δ اتار چڑھاؤ ہے، اور DWt وینر عمل یا معیاری براؤن تحریک ہے۔

تاریخی پس منظر اور اطلاق

اورنسٹائن - اولنبیک عمل ابتدائی طور پر 1930 میں لیونارڈ اورنسٹائن اور جارج ایوجین اولنبیک نے پارٹیکل کی رفتار کی نقل کے لئے پیش کیا تھا جو رگڑ کی صورت میں براؤن کی نقل و حرکت کا مظاہرہ کرتی ہے۔ وقت کے ساتھ ساتھ اس کی افادیت طبیعیات سے بہت آگے بڑھ گئی ہے اور اس کے ساتھ ساتھ حیاتیات ، کیمسٹری ، معاشیات اور فنانس سمیت مختلف شعبوں میں بھی اس کا اطلاق ہوتا ہے۔

مقداری مالیات میں ، او یو کا عمل خاص طور پر اس رجحان کو ماڈل کرنے کے لئے مفید ہے جو اوسط واپسی کا مظاہرہ کرتا ہے۔ نمایاں مثالوں میں سود کی شرح ، زر مبادلہ کی شرح اور مالیاتی منڈیوں میں اتار چڑھاؤ شامل ہیں۔ مثال کے طور پر ، مقبول سود کی شرح کا ماڈل ، واسکیک ماڈل ، براہ راست او یو کے عمل سے اخذ کیا گیا ہے۔

مقداری مالیات میں اہمیت

اورنسٹائن - اوہلنبیک عمل کوالٹی فنانس میں اہم ہے ، اس کی وجہ یہ ہے۔ اس کی اوسط واپسی کی نوعیت اسے مالیاتی متغیرات کو ماڈلنگ کرنے کا ایک فطری انتخاب بناتی ہے ، جو مالیاتی متغیرات کو بے ترتیب حرکت نہیں کرتے ہیں ، بلکہ مستحکم طویل مدتی اوسط کے گرد گھومتے ہیں۔ یہ خصوصیت شرح سود کی ماڈلنگ کے لئے اہم ہے ، جہاں اوسط واپسی مرکزی بینک کے طویل مدتی مستحکم شرح سود پر اثر کو ظاہر کرتی ہے۔

مزید برآں ، او یو عمل اثاثوں کی قیمتوں کا تعین کرنے والے ماڈلز (بشمول مشتقوں کی قیمتوں کا تعین) اور رسک مینجمنٹ کی حکمت عملیوں میں بھی استعمال ہوتا ہے۔ یہ زیادہ پیچیدہ ماڈلز کے تعمیراتی ٹکڑے کے طور پر بھی کام کرسکتا ہے ، جیسے کوکس - انگرسول - راس (سی آئی آر) ماڈل ، جو او یو عمل کو غیر منفی شرح سود کے لئے ماڈلنگ کے لئے بڑھا دیتا ہے۔

اہم خصوصیات اور بصیرت

اورنسٹائن-ولنبیک عمل کی اہم خصوصیات کو مندرجہ ذیل طور پر خلاصہ کیا جاسکتا ہے:

• اوسط واپسی:OU عمل طویل مدتی اوسط تک واپس جانے کا رجحان رکھتا ہے۔ یہ براؤن تحریک جیسے عمل سے واضح طور پر متضاد ہے ، جو اس رجحان کو ظاہر نہیں کرتا ہے۔
• تبدیلیاں:پیرامیٹرδ کنٹرول کے عمل میں بے ترتیب یا اتار چڑھاؤ کی سطح۔ اتار چڑھاؤ زیادہ ہوتا ہے ، عمل میں واپسی سے پہلے اوسط سے زیادہ انحراف ہوتا ہے۔
• واپسی کی رفتار:پیرامیٹرθ عمل کی واپسی کی رفتار کا تعین کرتا ہے۔ جتنی زیادہ قیمت ، اتنی ہی تیزی سے واپسی ہوتی ہے۔
• استحکام:او یو کا عمل ہموار ہے ، جس کا مطلب ہے کہ اس کی شماریاتی خصوصیات وقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتی ہیں۔ یہ مالیاتی شعبے میں مستحکم نظام کی ماڈلنگ کے لئے ضروری ہے۔

بدیہی طور پر ، آپ اورنسٹائن - اولنبیک عمل کو اوسط کے ارد گرد کھینچنے والی جڑی بوٹیوں کے رویے کا ماڈلنگ کے طور پر دیکھ سکتے ہیں۔ اگرچہ یہ عمل تصادفی اتار چڑھاؤ کی وجہ سے یکسانیت سے انحراف کرسکتا ہے ، لیکن جڑی بوٹیوں کی کھینچنے کی طاقت (جیسے یکسانیت کی واپسی) اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ یہ آخر کار یکسانیت میں واپس آجائے۔

دیگر بے ترتیب عملوں کے مقابلے میں

چونکہ او یو عمل مختلف مالیاتی مظاہر کی ماڈلنگ کے ساتھ قریب سے وابستہ ہے ، لہذا اسے اکثر دوسرے بے ترتیب عملوں (جیسے براؤن موومنٹ اور جیومیٹریکل براؤن موومنٹ (GBM)) کے ساتھ موازنہ کیا جاتا ہے۔ براؤن موومنٹ کے برعکس (براؤن موومنٹ میں متوازن واپسی کا کوئی رجحان نہیں ہے) ، او یو عمل میں متوازن واپسی کا واضح رویہ ہے۔ اس سے یہ متغیر کے ارد گرد مستحکم متوازن اتار چڑھاؤ کے منظرنامے کی ماڈلنگ کے لئے زیادہ موزوں ہے۔

او یو عمل اشاریاتی نمو نہیں دکھاتا ہے ، بلکہ اس کی اوسط قیمت کے گرد گھومتا ہے۔ جی بی ایم وقت کے ساتھ بڑھتی ہوئی مقدار کو ماڈل کرنے کے لئے زیادہ موزوں ہے ، جبکہ او یو عمل متغیرات کو ماڈل کرنے کے لئے بہت موزوں ہے جو اوسط قیمت کی واپسی کی خصوصیت ظاہر کرتے ہیں۔

مقداری فنانس کی مثالیں

اورنسٹائن - اولنبیک عمل کا مالیاتی شعبے میں وسیع پیمانے پر استعمال ہوتا ہے ، خاص طور پر ماڈلنگ کے منظرناموں میں جہاں اوسط واپسی ایک اہم خصوصیت ہے۔ ذیل میں ہم کچھ عام استعمال کے معاملات پر تبادلہ خیال کریں گے۔

شرح سود کی ماڈلنگ

او یو کے عمل کا ایک نمایاں اطلاق شرح سود کے ماڈلنگ کے لئے ہے ، خاص طور پر وسسیک ماڈل کے فریم ورک کے اندر۔ وسسیک ماڈل نے فرض کیا ہے کہ شرح سود او یو کے عمل پر عمل کرتی ہے ، یعنی شرح سود وقت کے ساتھ ساتھ طویل مدتی اوسط کی طرف لوٹتی ہے۔ یہ خصوصیت شرح سود کے رویے کو درست طریقے سے ماڈل کرنے کے لئے اہم ہے ، کیونکہ شرح سود اکثر لامحدود طور پر اتار چڑھاؤ نہیں کرتی ہے ، بلکہ معاشی حالات سے متاثرہ اوسط سطح کے قریب اتار چڑھاؤ کرتی ہے۔

اثاثوں کی قیمت

اثاثوں کی قیمتوں میں ، خاص طور پر مقررہ آمدنی والی سیکیورٹیز میں ، OU عمل عام طور پر بانڈز کی واپسی کی ترقی کو ماڈل کرنے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے۔ OU عمل کی اوسط واپسی کی نوعیت اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ واپسی کی شرح اپنے تاریخی اوسط سے بہت دور نہیں ہوگی ، جو مشاہدہ شدہ مارکیٹ کے طرز عمل سے مطابقت رکھتی ہے۔ اس سے OU عمل بانڈز اور دیگر شرح حساس آلات کی قیمتوں میں ایک قیمتی ذریعہ بن جاتا ہے۔

جوڑی سازی کی حکمت عملی

جوڑی ٹریڈنگ ایک مارکیٹ غیر جانبدار حکمت عملی ہے جس میں دو متعلقہ اثاثوں میں آفسیٹ پوزیشنوں کی تشکیل شامل ہے۔ اس صورت میں ، OU عمل خاص طور پر مفید ہے کیونکہ یہ دو اثاثوں کے مابین قیمت کے فرق کا ماڈلنگ کرسکتا ہے ، اور قیمت کا فرق عام طور پر اوسط واپسی ہوتا ہے۔ OU عمل کا استعمال کرتے ہوئے قیمت کے فرق کا ماڈلنگ کرتے ہوئے ، تاجر منافع بخش اندراج اور باہر نکلنے کے مقامات کی نشاندہی کرسکتے ہیں جب قیمتوں میں ان کی اوسط سے انحراف ہوتا ہے ، واپسی کے اوسط کی پیش گوئی کرتے ہیں ، جس سے تجارتی سگنل پیدا ہوتا ہے۔

مثال کے طور پر ، اگر دو مستقبل کے مابین قیمت کا فرق کسی حد سے زیادہ بڑھ جاتا ہے تو ، تاجر بہترین کارکردگی کا مظاہرہ کرنے والے مستقبل کو خالی کر سکتے ہیں اور زیادہ خراب کارکردگی کا مظاہرہ کرنے والے مستقبل کو چھوڑ سکتے ہیں ، جس سے توقع کی جاسکتی ہے کہ قیمت کا فرق اپنے تاریخی اوسط تک واپس آجائے گا ، اور اس طرح واپسی کے وقت منافع بخش ہوگا۔

Ornstein-Uhlenbeck SDE کے جوابات

Ornstein-Uhlenbeck عمل کے لئے مختلف مساوات کے فارمولے اس کے حل کی بنیاد ہیں۔ اس SDE کو حل کرنے کے لئے ہم نے انٹیگریشن فیکٹر کا استعمال کیا ہے۔ آئیے SDE کو دوبارہ لکھیں:

تو پہلے ہم دونوں اطراف کو ضرب دیں گے :

اور نوٹ کریں کہ اگر ہم دونوں اطراف کو جمع کریںاس کے بعد، بائیں طرف کا حصہ ضرب کے فرق کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے:

آپ دونوں اطراف کو 0 سے t تک پوائنٹ کریں، اور آپ کو ملے گا:

یہ Ornstein-Uhlenbeck SDE کا ایک عام حل ہے۔

مندرجہ بالا نتیجہ اخذ کردہ واضح حل کے کئی اہم معنی ہیں۔یہ ظاہر کرتا ہے کہ ابتدائی قدر وقت کے ساتھ ساتھ کم ہو جاتی ہے اور یہ ظاہر کرتی ہے کہ یہ عمل کس طرح آہستہ آہستہ بھول جاتا ہے کہ اس کا آغاز کہاں سے ہوا تھا۔یہ ظاہر کرتا ہے کہ عمل وقت کے ساتھ ساتھ اوسط کی طرف بڑھتا ہے۔ تیسرا عنصر بے ترتیبیت کو متعارف کراتا ہے ، جس میں وینر کے عمل میں شامل عناصر بے ترتیب اتار چڑھاؤ کی وضاحت کرتے ہیں۔

اس حل میں یقینی طور پر متوازن واپسی کے رویے اور براؤن کی تحریک سے چلنے والے بے ترتیب جزو کے درمیان توازن پر زور دیا گیا ہے۔ اس حل کو سمجھنا OU کے عمل کو مؤثر طریقے سے ماڈل کرنے کے لئے اہم ہے ، جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔

دیگر بے ترتیب عملوں کے ساتھ روابط

اورنسٹائن-اُلنبیک عمل کے دیگر مشہور بے ترتیب عملوں (بشمول براؤن کی نقل و حرکت اور واسیک ماڈل) کے ساتھ کئی اہم روابط ہیں۔

براؤن تحریک کے ساتھ تعلقات

Ornstein-Uhlenbeck عمل کو Brownian motion کے متوازن رجعت ورژن کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ Brownian motion ایک ایسا عمل بیان کرتا ہے جس میں ایک رجحان ہوتا ہے جس میں آزادانہ اضافہ ہوتا ہے اور اس میں متوازن رجعت نہیں ہوتی۔ OU عمل Brownian motion کو متوازن رجعت میں لاتا ہے تاکہ اس عمل کو مرکز کی طرف لے جائے۔ ریاضی کے لحاظ سے، اگر ہم th = 0 مقرر کرتے ہیں تو، OU عمل کو معیاری Brownian motion کے طور پر آسان کیا جاتا ہے جس میں اتار چڑھاؤ ہوتا ہے:

لہذا ، براؤن کی نقل و حرکت OU عمل کی ایک غیر معمولی مثال ہے ، جو اوسط واپسی کی عدم موجودگی سے مطابقت رکھتی ہے۔

واسیک ماڈل کے ساتھ تعلقات

واسکیک ماڈل شرح سود کے ماڈلنگ میں وسیع پیمانے پر استعمال ہوتا ہے ، جو بنیادی طور پر شرح سود کے ارتقاء میں اورنسٹائن - اولنبیک عمل کی درخواست ہے۔ واسکیک ماڈل نے سود کی شرح کو OU عمل کے بعد فرض کیا ہے ، جس میں SDE کی وضاحت کی گئی ہے:

ان میں سے ، r مختصر مدت کی شرح سود کی نمائندگی کرتا ہے ، اور پیرامیٹرز θ ، μ اور δ کی تشریح OU کے عمل میں تشریح کے مترادف ہے۔ واسکیک ماڈل سود کی شرح سود کے راستے کی واپسی کو پیدا کرنے کے قابل ہے ، جو مالیاتی ماڈلنگ میں اس کا ایک اہم فائدہ ہے۔

ان تعلقات کو سمجھنے سے مختلف ماحول میں ، خاص طور پر مالیاتی شعبے میں ، او یو کے عمل کے استعمال کے بارے میں وسیع تر تفہیم حاصل ہوسکتی ہے۔ ہم ذیل میں درخواست کی مثالوں پر تبادلہ خیال کرتے ہوئے ان روابط کی عملی معنی کا جائزہ لیں گے۔

اورنسٹائن-ولنبیک عمل کو پیتھون کے ساتھ ماڈل کریں

اس سیکشن میں ، ہم اس بات کا جائزہ لیں گے کہ کس طرح پیئٹن کا استعمال کرتے ہوئے اورنسٹائن - اولنبیک (OU) عمل کی نقل تیار کی جائے۔ اس میں OU عمل کی وضاحت کرنے والے کسی بھی الٹرا ڈیفیکشنل مساوات (SDE) کو Euler-Maruyama ڈسچارج کا استعمال کرتے ہوئے ڈسچارج کرنا شامل ہے۔

ایس ڈی ای کی تقسیم

آئیے اوپر دیئے گئے ایس ڈی ای ریاضی کے فارمولے کا جائزہ لیں اور ہر اصطلاح کا خلاصہ کریں:

ان میں سے ایک

• Xt وقت t پر عمل کی قیمت ہے۔
• θ متغیر کی واپسی کی رفتار ہے۔
• μ عمل کا طویل مدتی اوسط ہے۔
• δ اتار چڑھاؤ کی شرح کا پیرامیٹر ہے۔
• ڈی ڈبلیو ٹی وائنر عمل (معیاری براؤن تحریک) میں اضافے کا اشارہ کرتا ہے۔

اس عمل کو کمپیوٹر پر ماڈل کرنے کے لیے ہمیں مسلسل وقت میں ایس ڈی ای کو الگ الگ کرنے کی ضرورت ہے۔ ایک عام طریقہ ایولر-مارویاما الگ الگ کرنا ہے جو چھوٹے الگ الگ وقت کے قدموں کو مدنظر رکھتے ہوئے ہوتا ہے۔تقریباً مسلسل عمل۔ اورن اسٹائن - اولن بیک عمل کی متفرق شکل مندرجہ ذیل ہے:

ان میں سے ایکیہ ایک متغیر ہے جو ایک معیاری تقسیم سے نکالا گیا ہے.) ؛ اس طرح کی جدائی ہمیں وقت کے ساتھ Xt کی قدر کو دہرانے کے قابل بناتی ہے تاکہ OU کے عمل کے رویے کا اندازہ لگایا جاسکے۔

پائتن کی نفاذ

اب ہم Python میں Ornstein-Uhlenbeck عمل کو غیر منقولہ طور پر انجام دیتے ہیں۔ ذیل میں ہم صرف NumPy اور Matplotlib Python لائبریری استعمال کرتے ہیں۔

سب سے پہلے، ہم معیاری طریقے سے NumPy اور Matplotlib درآمد کرتے ہیں۔ پھر، ہم OU ماڈل کے لئے تمام پیرامیٹرز کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس کے بعد، ہم پہلے سے N کی لمبائی کا ایک NumPy سیٹ مختص کرتے ہیں تاکہ OU راستے کا حساب لگائے جانے کے بعد اسے اس میں شامل کیا جاسکے۔ پھر ہم N-1 مرحلے کو دہراتے ہیں ((مرحلہ 1 مخصوص ابتدائی حالت X0 ہے) ، بے ترتیب اضافے dW کی پیمائش کرتے ہیں، اور پھر OU راستے کی اگلی نسل کا حساب لگاتے ہیں جو مندرجہ بالا ریاضیاتی فارمولے کے مطابق ہے۔ آخر میں، Matplotlib کا استعمال کرتے ہوئے راستے کی تاریخ کا حساب لگائیں۔

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters for the OU process
theta = 0.7      # Speed of mean reversion
mu = 0.0         # Long-term mean
sigma = 0.3      # Volatility
X0 = 1.0         # Initial value
T = 10.0         # Total time
dt = 0.01        # Time step
N = int(T / dt)  # Number of time steps

# Pre-allocate array for efficiency
X = np.zeros(N)
X[0] = X0

# Generate the OU process
for t in range(1, N):
    dW = np.sqrt(dt) * np.random.normal(0, 1)
    X[t] = X[t-1] + theta * (mu - X[t-1]) * dt + sigma * dW

# Plot the result
plt.plot(np.linspace(0, T, N), X)
plt.title("Ornstein-Uhlenbeck Process Simulation")
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("X(t)")
plt.show()

اس تصویر کے نتائج یہ ہیں:

اورنسٹائن-اوہلنبیک عمل کی پیتھون سے تیار کردہ نقالی

نوٹ کریں کہ یہ عمل کس طرح تیزی سے ابتدائی حالت سے ایک پلاسٹک کو کھینچتا ہے X0 = 1 تک کہ اس کا اوسط μ = 0 ہو ، اور پھر جب یہ اس اوسط سے انحراف کرتا ہے تو ، اس کا رجحان ظاہر ہوتا ہے کہ وہ اس اوسط کی طرف واپس آجاتا ہے۔

خلاصہ اور اقدامات

اس مضمون میں ، ہم نے اورنسٹائن - اولنبیک کے عمل کا جائزہ لیا ، اس کے ریاضیاتی فارمولوں کی وضاحت کی ، اور پیتھون کی ایک بنیادی عمل درآمد فراہم کی جس میں مسلسل وقت کے ایس ڈی ای کے متفرق ورژن کی تقلید کی گئی ہے۔ اس کے بعد کے مضامین میں ، ہم او یو کے عمل پر مبنی زیادہ پیچیدہ ایس ڈی ایز کی جانچ پڑتال کریں گے اور دیکھیں گے کہ ان کا استعمال سسٹم ٹریڈنگ اور مشتق قیمتوں کے اطلاقات میں کیسے کیا جاسکتا ہے۔

مکمل کوڈ

# OU process simulation

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters for the OU process
theta = 0.7      # Speed of mean reversion
mu = 0.0         # Long-term mean
sigma = 0.3      # Volatility
X0 = 1.0         # Initial value
T = 30.0         # Total time
dt = 0.01        # Time step
N = int(T / dt)  # Number of time steps

# Pre-allocate array for efficiency
X = np.zeros(N)
X[0] = X0

# Generate the OU process
for t in range(1, N):
    dW = np.sqrt(dt) * np.random.normal(0, 1)
    X[t] = X[t-1] + theta * (mu - X[t-1]) * dt + sigma * dW

# Plot the result
plt.plot(np.linspace(0, T, N), X)
plt.title("Ornstein-Uhlenbeck Process Simulation")
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("X(t)")
plt.show()

اصل لنک:https://www.quantstart.com/articles/ornstein-uhlenbeck-simulation-with-python/