ریاضی اور جوا (1)

ریاضی اور جوا

• ہم جانتے ہیں کہ جوا ایک احتمال کا کھیل ہے، اور یہ کچھ عجیب جوا نتائج ہیں جو ریاضی دان پاسکل اور عظیم ریاضی دان فرما کی دلچسپی کو جنم دیتے ہیں، جنہوں نے خط و کتابت کے ذریعے احتمال کے نظریے کے کچھ اصولوں کو پیش کیا، جس سے احتمال کا نظریہ پیدا ہوا۔ آج ہم آپ کو کچھ جوا کے امکانات کے بارے میں بتاتے ہیں، تاکہ آپ کو معلوم ہو جائے کہ یہاں تک کہ اگر آپ چاہتے ہیں تو آپ کو بھی ٹھیک طریقے سے کھیلنا چاہئے۔

• 1، کامل جوا کھیلنا

NBA ٹیم لیکرز اور بائیو ٹیم کا ایک میچ ہے، دونوں ٹیموں کے وفادار شائقین کو ان کے جونیئرز اور بائیو ٹیموں کے بارے میں بتائیں۔ شائقین یقینا feel محسوس کرتے ہیں کہ ان کی حمایت کرنے والی ٹیم جیتنے کا زیادہ امکان رکھتی ہے ، لہذا وہ آپ کے ساتھ شرط لگانے کو تیار ہیں۔ فرض کریں کہ جونیئرز کا خیال ہے کہ جونیئرز جیتنے کا امکان p ہے ، اور بائیو ٹیم کا خیال ہے کہ بائیو ٹیم جیتنے کا امکان q ، p اور q سے زیادہ ہونا چاہئے 50٪۔ اگلا دلچسپ حصہ ہے ، ہم ہمیشہ آسانی سے ایک طریقہ تیار کرسکتے ہیں ، بالترتیب جونیئرز اور بائیو ٹیموں کے ساتھ شرط لگاتے ہیں ، لیکن نتیجہ کسی بھی طرح سے ، ہم مستحکم ہیں!

طریقہ یہ ہے: ہم ایک ہی شرط لگاتے ہیں جو ہم نے جیتنے پر y یورو حاصل کرتے ہیں ، اور کھونے پر x یورو کھو دیتے ہیں ، جب تک کہ y > x ہم جیت جاتے ہیں۔ اور x اور y کو صرف دو آسان مساوات کو پورا کرنے کی ضرورت ہے ، جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے جیتنے والے

```
p * x - ( 1-p ) * y > 0
q * x - ( 1-q ) * y > 0
```

اس کے علاوہ y>x کی پابندی کے ساتھ، پینٹ کی گئی تصویر تین سیدھی لائنوں سے گھرا ہوا علاقہ ہے، جس میں کسی بھی نقطہ کے لئے ہم آہنگی کا قدر ((x، y) ایک جیتنے والا حل ہے۔ اگر p>q، تو حل ذیل میں دی گئی تصویر کا نیلا حصہ ہے:

اس مسئلے کو بالکل حل کیا گیا لگتا ہے لیکن ایک اور سوال ہے جو میں یقین کرتا ہوں کہ قارئین کو جلد ہی اس کی حماقت کا پتہ چل جائے گا: چاہے وہ مچھلیاں ہوں یا مویشی ، ان کی آمدنی کی توقعات درست ہیں ، یعنی ، طویل مدتی میں ، وہ پیسہ کماتے ہیں ، اور ہم مستحکم ہیں ، اتنا پیسہ کہاں سے آتا ہے ، اور ہر ایک کیسے پیسہ کماتا ہے؟

• دو یا تین کارڈوں کا دھوکہ

  

یہ ایک اور ہوشیار تعطل ہے، ہم پہلے تین کارڈ تیار کرتے ہیں، ایک کارڈ جس کا رخ سیاہ ہے، دوسرا کارڈ جس کا رخ سرخ ہے، تیسرا کارڈ جس کا رخ سیاہ ہے اور دوسرا سرخ ہے۔ پھر کارڈ کو ایک خانے میں ڈال کر ہلا دیں اور اپنے مخالف کو میز پر ایک فلیٹ کھینچنے دیں۔ پھر اس کے مخالف کی طرف دیکھتے ہیں جس کا رنگ مثبت کے برابر ہے۔ یہ تعطل منصفانہ لگتا ہے، جیسے کہ اگر ایک کارڈ کا رخ سیاہ ہے، تو کارڈ نمبر 1 یا نمبر 3 نہیں ہے، اور اس کا رخ سیاہ یا سرخ نہیں ہے، اور بدیہی طور پر ہر ایک کا امکان 1/2 ہے۔

حقیقت یہ ہے کہ ہمارے جیتنے کا امکان 1/2 نہیں بلکہ 2/3 ہے، اس تعطل کا سب سے زیادہ الجھن والا حصہ کارڈوں کی دو طرفہ پوزیشن ہے۔ کھلاڑیوں کو 3 کارڈ نہیں بلکہ 6 کارڈ ملتے ہیں: 3 سیاہ اور 3 سرخ۔ ہم ان 6 کارڈوں کو نمبر دیتے ہیں A، B، C، D، E، F:

جب کھلاڑی سیاہ سائیڈ کھینچتا ہے تو ، یہ تین ممکنہ صورتیں ہیں: A ، C ، D ، اور ان کے پس منظر D ، F ، A ہیں ، اور سیاہ 2/3 صورتیں ہیں۔

یہ مسئلہ سب سے پہلے 1889 میں فرانسیسی ریاضی دان جوزف لوئس فرانسوائی برٹرینڈ نے پیش کیا تھا۔ اس مسئلے کے نتائج غیر متوقع تھے، اس لیے اسے برٹرینڈ باکس پارڈوکس بھی کہا جاتا ہے۔ 1950 میں امریکی ریاضی دان وارن ویور نے مندرجہ بالا کارڈ کھیل کا تعارف کرایا، جسے مارٹن گارڈنر نے تین کارڈ دھوکہ دہی کہا۔

• تین، بہت ہی غیرمعمولی بلیک پیئرس A

  

  کبھی کبھی ہم جوئے بازی شروع کرتے ہیں اور پانی ڈالتے ہیں ، پہلے دوسروں کو تھوڑا سا پیسہ دیتے ہیں ، لمبی لائنیں لگاتے ہیں ، اور آخر میں ایک نیٹ لگاتے ہیں۔ ذیل میں ایک عمدہ مثال ہے۔ چار لوگ برج کھیل رہے ہیں ، میں پہلے کہتا ہوں: چلو ایک ٹوکری کھیلتے ہیں ، اب میرے پاس ایک اے ہے ، کیا آپ اندازہ لگاتے ہیں کہ میرے پاس مزید اے ہیں؟

  بہت سے لوگوں کو یقین ہے کہ دو مچھلیوں میں کوئی فرق نہیں ہے، اور ایک کالی مرچ شامل کرنا کوئی فرق نہیں پڑتا ہے۔ لیکن ان کے درمیان فرق ناقابل یقین حد تک بڑا ہے۔ ہم سب سے پہلے پہلی مچھلی کے امکانات کا حساب لگاتے ہیں:

  没有A的情形：C（48，13）
  至少有1张A的情形：C（52，13）－C（48，13）
  恰好有1张A的情形：4＊C（48，12）
  至少有2张A的情形：C（52，13）－C（48，13）－4＊C（48，12）
  事件X为至少有两张A，事件Y为至少有一张A，那么条件概率为：
  
  P（X｜Y）＝P（XY）／P（Y）=(C（52，13）－C（48，13）－4＊C（48，12）)/(C（52，13）－C（48，13）)≈37%
  

  اس وقت میں اپنے آپ کو ایک اور اے کے ساتھ شرط لگانا چاہتا ہوں ، جو کھونا آسان ہے۔ لیکن پہلی شرط لگانے کے بعد ، ہر ایک کی شرط لگانے کی خواہش متحرک ہوگئی ، ایک نظر میں دوسرا شرط لگانا کپڑے تبدیل کرنا نہیں تھا ، ہر ایک نے شرط بڑھا دی ، اور پھر میں نے مزید اے نہیں لیا ، اور ہم اس کے درمیان ہیں۔ ذیل میں ہم دیکھیں گے کہ دوسرے شرط لگانے کا امکان بہت مختلف ہے:

  有黑桃A的情形：C（51，12）
  没有其它A的情形：C（48，12）
  还有其它A的情形：C（51，12）－C（48，12）
  事件X为还有其它A，事件Y为有黑桃A，条件概率为：
  
  P（X｜Y）＝P（XY）／P（Y）＝（C（51，12）－C（48，12））／C（51，12）≈56%。
  

WHU ریاضیاتی مجموعہ سے نقل کیا گیا