امکانات میں تجارت کا فلسفہ

امکانات میں تجارت کا فلسفہ

1987ء ہندوستان کے مشہور ریاضی دان سریناواس رامانیجان (Srinivasa Ramanujan، 1887ء-1920ء) کی پیدائش کی صد سالہ سالگرہ تھی۔ اس کی یاد میں ایک سلسلہ سرگرمیاں منعقد کی گئیں۔ معاصر مشہور شماریات دان، ہندوستان میں پیدا ہونے والے راؤ (C. Radhakrishna Rao، 1920ء) نے بھی تین لیکچر دینے کے لیے مدعو کیا گیا۔ اس کے بعد انڈین سٹیٹسٹیکل انسٹی ٹیوٹ نے راؤ کی لیکچر پر مبنی 1989ء میں ان کے لیے ایک کتاب شماریات اور سچائی شائع کی۔ اس کتاب کا دوسرا ایڈیشن 1997ء میں جاری ہوا تھا۔

• پہلی ایڈیشن کے پیش لفظ میں ، راؤ نے کہا:

  طالب علم کی حیثیت سے ، میں نے ریاضی میں ایک منطق کی مہارت حاصل کی ، جس میں دیئے گئے مفروضوں سے نتائج اخذ کیے جاتے ہیں۔ بعد میں ، میں نے اعدادوشمار کی تعلیم حاصل کی ، جو تجربات سے سیکھنے کا ایک عقلی طریقہ ہے ، اور نتائج سے ثابت شدہ مفروضوں کی منطق ہے۔ میں نے ریاضی اور اعدادوشمار کو اس بات کا احساس کیا ہے کہ قدرتی علم کو بڑھانے اور روزمرہ کے معاملات کو موثر انداز میں سنبھالنے کے لئے انسانی کوششوں میں ریاضی اور اعدادوشمار کی اہمیت ہے۔

  مجھے یقین ہے:

  • یہ ایک ایسا ملک ہے جس کے بارے میں ہم جانتے ہیں کہ اس کی تاریخ میں بہت سے واقعات ہوئے ہیں۔

  • ابراہیمی معنوں میں، تمام سائنسیں ریاضی ہیں۔

  • اس کے علاوہ ، یہ بھی کہا جاتا ہے کہ اس کی وجہ یہ ہے کہ اس کی وجہ یہ ہے کہ اس کی وجہ یہ ہے کہ اس کی وجہ یہ ہے کہ اس کی وجہ یہ ہے۔

    اس آیت میں ریاضی اور شماریات کی اہمیت اور ان کے متعلقہ مفہوم کا خلاصہ بیان کیا گیا ہے۔

    طویل عرصے سے ، ہائی اسکول کے ریاضی کے تمام موضوعات میں امکانات کا احاطہ کیا گیا ہے ، جن میں کلاسیکی امکانات (یعنی اسی طرح کے امکانات کے ساتھ امکانات کی وضاحت کرنے کے لئے) بھی ایک چھوٹا سا تناسب ہے۔ لہذا ، امکانات اکثر صفوں کے مجموعوں کے ساتھ منسلک ہوتے ہیں۔ جبکہ صفوں کے مجموعے ریاضی کے مقابلے میں زیادہ پیچیدہ ہوتے ہیں۔ اگرچہ طلباء کو کبھی کبھی ان پیچیدہ مسائل سے پریشان کیا جاتا ہے۔ لیکن یہ صرف ہنر مند پہلو ہے ، علمی لحاظ سے ، زیادہ تر زیادہ الجھن میں نہیں ہوتا ہے۔ حالیہ برسوں میں ، شماریات کی اہمیت کے پیش نظر ، ہائی اسکول کے ریاضی میں ، اعدادوشمار کے مضامین کو آہستہ آہستہ شامل کیا گیا ہے۔ اس میں سے ، 95 میں شروع ہونے والے اعلی درجے کے اسکول کے نصاب میں ، نئے بڑھتے ہوئے اعتماد کے علاقوں کو اعتماد کے پانی کے ساتھ آسان بنایا جاتا ہے ، لیکن اس میں بہت سی مشکلات پیدا ہوتی ہیں۔ اس نئے شماریاتی موضوعات میں شامل ہونے کے بعد ، اعدادوشمار کی دلیل ، چونکہ بے ترتیب تصورات کی ضرورت ہوتی ہے ، اعداد و شمار کو نمایاں کیا جاتا ہے ، اعدادوشمار میں امکان کی ضروریات کو مکمل

    ایک اور مشہور شماریات دان، جرزی نیمان (1894-1981) ، جو پولینڈ میں پیدا ہوئے تھے اور 1938 میں امریکہ منتقل ہوئے تھے۔ وہ میرے استاد، یعنی میرے استاد کے استاد پروفیسر تھے، جو 1934 میں ایک تقریر میں پہلی بار پیش کیے گئے تھے۔ ان کی تقریر کے اختتام پر ، کانگریس کے صدر آرتھر لیون باؤلی (1869-1957) نے اپنے خطاب میں کہا ، "مجھے یقین نہیں ہے کہ یہ اعتماد ایک اعتماد کا کھیل ہے"۔ نیمان باؤلی کے فرقے کے تصور کے بارے میں جاننا ، جب نیمان باؤلی کا تصور پیش کیا گیا تھا ، تو زیادہ تر شماریات دانوں ، بشمول جدید طرز شماریات کے بانی کے طور پر جانے جانے جانے والے ، برطانوی فشر (سر رونالڈ ایلمر فشر ، 1890-1962 ، جسے اکثر آر اے فشر نے کہا تھا) کو قبول کرنا مشکل تھا۔ نام نہاد 95٪ اعتماد کے فرقے میں ، یہ کیا ہے؟ یہ تخلیقی امکان کیا ہے؟ اگر یہ 200٪ اعتماد کا امکان ہے تو ، یقینا.

    سال گزر چکے ہیں ، ستر سے زیادہ سال گزر چکے ہیں ، آج کے شماریات دانوں نے ، یقینا ، اعتماد کے وقفے کے معنی کو مکمل طور پر سمجھ لیا ہے۔ لیکن یونیورسٹیوں میں ، چاہے وہ امکانات اور شماریات ، شماریات ، اور ریاضیاتی شماریات جیسے درسی کتابوں میں ہوں ، اعتماد کے وقفے عام طور پر پچھلے نصف حصے میں شامل ہوتے ہیں۔ یعنی ، جب کالج کے طلباء متعلقہ کورسز میں اعتماد کے وقفے سے رابطہ کرتے ہیں تو ، عام طور پر کافی امکانات کی شماریات کی بنیاد موجود ہوتی ہے۔ آج ، یہ موضوع ریاضی دانوں کی طرف سے پسند کیا جاتا ہے ، اور 95 کے بعد ، 98 کے بعد ، 98 کے بعد ، 99 کے بعد ، اس موضوع کو برقرار رکھا جاتا ہے۔ لیکن کافی تیاری کی کمی کی وجہ سے ، ہائی اسکول میں طلباء کو جذب کرنا آسان نہیں ہے ، بلکہ توقع کی جاتی ہے۔

    اس موضوع کو ہائی اسکول کے ریاضی کے نصاب میں کیوں شامل کیا جاتا ہے؟ اس کی اہم وجہ اس کی اہمیت ہے۔ یہ صرف میڈیا میں شائع ہونے والے مختلف سروے کے نتائج کے اعتماد کے علاقوں اور اعتماد کی سطح کو دیکھنے سے سمجھا جاسکتا ہے۔

    بعض اعداد و شمار کے درسی کتابوں میں ، اعتماد کے فاصلے ایک باب کا حصہ بناتے ہیں۔ مختلف پیرامیٹرز ، مختلف تقسیموں کے ل different ، مختلف اعتماد کے فاصلے ہوسکتے ہیں۔ یہاں تک کہ ایک ہی پیرامیٹرز اور ایک ہی تقسیم کے ل different ، مختلف اعتماد کے فاصلے حاصل کرنے کے لئے مختلف طریقے بھی ہوسکتے ہیں۔ بعض اوقات ، حالات کی کمی ، یا حساب کتاب کی پیچیدگی وغیرہ کی وجہ سے ، صرف پیچھے ہٹ کر ، قریب سے اعتماد کے فاصلے حاصل کرنے کے ل second دوسرے کو تلاش کرنا پڑتا ہے۔ یقینا this اس وقت کچھ شرائط کی ضرورت ہوتی ہے ، اور کچھ نظریات کا استعمال ہوتا ہے۔ اعتماد کے فاصلے بھی بہتر ہوسکتے ہیں۔ یہ جاننا ضروری ہے کہ اعداد و شمار میں مختلف اندازے کے طریقے ہیں ، لیکن چونکہ یہ بے ترتیب رجحانات سے نمٹنے کے لئے ہے ، اس پر انحصار نہیں کرتا ہے ، جس کے ساتھ بحث کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر ، اصولوں کا تعین کرنا بھی ضروری ہے۔ جیسے کہ ایک گھڑی ہے جو رکتی نہیں ہے ، ایک دن میں ایک منٹ اور آہستہ آہستہ ، اس کے بارے میں کیا کہنا ہے؟ ہر ایک کا اندازہ لگایا جاسکتا

    اس کے علاوہ ، اس کے بارے میں مزید معلومات کے ل you ، آپ کو اس کے بارے میں مزید جاننے کی ضرورت ہے۔

    ہائی اسکول کی سطح پر اعداد و شمار کے نتیجے میں صرف متوقع متغیرات کے متوقع اقدار کا تخمینہ لگایا جاتا ہے ، اس کے پیچھے مرکزی انتہا پسندی کی تھیوری ہے۔ مرکزی انتہا پسندی کی تھیوری کو متعارف کرانے کے لئے ، معمول کے مطابق تقسیم کا تعارف کرایا جانا ضروری ہے۔ اس حصے میں صرف دانشورانہ تعارف کیا جاتا ہے تاکہ طلباء کو مرکزی انتہا پسندی کی تھیوری کے بارے میں عملی طور پر بصیرت حاصل کی جاسکے۔ ایک مقررہ اعتماد کی سطح کے بارے میں ، اعتماد کے علاقوں کی فارمولا دی جائے ، پھر طلباء کو بے ترتیب ٹیبلز کے ماڈلنگ یا تجربات کے ذریعہ تانبے کی پلیٹ میں n بار مثبت امکانات کے ساتھ پیش کیا جائے ، اعتماد کے علاقوں کی فارمولا میں داخل کیا جائے ، اعتماد کے علاقوں کا مطلب کیا ہے؟ اور اس کے ساتھ ہی ، یہ سمجھا جائے کہ زیادہ تر طلباء اعتماد کے علاقوں کو کیوں شامل کرتے ہیں؟

    اس پیراگراف کی تشریح میں نہ صرف کئی مسائل ہیں ، بلکہ یہ بھی نہیں کہا جاسکتا ہے۔ اگر پہلی جملے میں اس کے پیچھے کی تھیوری مرکزی حد تک محدود تھیوری ہے ، تو پتہ نہیں کہاں سے پیدا ہوئی؟ یہ اعداد و شمار سے متعلق نظریہ نہیں ہے۔ کیونکہ نصاب میں تشریح غلط ہے ، جو لوگ سنجیدگی سے تعلیم دیتے ہیں ، جو ہائی اسکول کے ریاضی کے اساتذہ ہیں ، جو طلباء کو سمجھنا چاہتے ہیں ، انہیں صرف اس کے اصولوں پر گہرائی سے تحقیق کرنی چاہئے ، اور ان کی اپنی ترجمانی کریں۔ کچھ نے خود کو ان تصورات کو صاف کرنے کے لئے تسلیم شدہ مضامین پیش کیے ہیں۔ صرف اس کی ترجمانی ، اکثر ابھی تک ناکام رہتی ہے۔

    کیوں اعتماد کے فاصلے کا تصور اکثر اس طرح کے ڈرامے میں گر جاتا ہے؟ اس کی جڑیں تلاش کرنا ، یا بہت سے طلباء ، امکانات کے معنی کو صحیح طریقے سے سمجھنے میں ناکام رہتے ہیں۔ یہ مضمون لکھنے کی وجہ ہے۔

• احتمال کا مطلب

  ایک سیٹ میں چھ رخ ہوتے ہیں، ایک سیٹ کے نیچے، یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ یہاں تک کہ

  جولائی اور اگست 2009 کے آخر میں ، دنیا کے گالفر ٹائیگر ووڈس نے امریکی ریاست مشی گن میں ہونے والے بیوک اوپن میں حصہ لیا۔ پہلے راؤنڈ میں ، وہ 8 پوائنٹس کے فاصلے پر ، 95 ویں پوزیشن پر پہنچ گئے۔ اس نے اپنے کیریئر کو روکنے کا خطرہ پیدا کیا ، اور پہلے دو مسلسل ٹورنامنٹس (پہلے ایک برطانیہ کے اوپن چیمپئن شپ ، جسے برطانیہ سے باہر عام طور پر برطانوی اوپن کہا جاتا ہے) میں پہلے سے ہی خارج کردیا گیا۔ تاہم ، ٹائیگرز نے آخر کار کوئی چھوٹا سا کام نہیں کیا ، اور پہلے تین راؤنڈ کھیلنے کے بعد ، ووڈس نے پہلی پوزیشن حاصل کرلی۔

  这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。

  ایک آدمی نے ایک لڑکی کو دیکھا ، حیرت زدہ ہوا ، اور سوچا کہ یہ اس کی آج کی دلہن ہے۔ تشخیص کے بعد ، اعتماد سے بھرا ہوا ، خود کو تسلیم کرنے کا موقع 80٪ ہے۔ لیکن دوسروں نے بھی اچھا نہیں دیکھا ، اس سے پوچھا کہ یہ 8٪ نمبر ، یہ کیسے آیا؟ اس آدمی نے ایک کیلنڈر دکھایا ، ایک اور نشانی ، جس سے پتہ چلتا ہے کہ لڑکی اس کے ساتھ بہت اچھی لگتی ہے۔ یہ 0.8 کا امکان ، نام نہاد موضوعی امکان ہے۔

  یقینا subjective امکانات کو کسی معروضی حقائق پر مبنی بھی کیا جاسکتا ہے۔ لیکن یہاں تک کہ ایک ہی معلومات کے سامنے ، مختلف لوگوں کے پاس مختلف فیصلے ہوسکتے ہیں ، لہذا مختلف مضامین دیئے جاسکتے ہیں۔ (کیا آپ نے دیکھا ہے کہ وہ واقعی آپ کو اتنا پسند نہیں کرتا ہے؟ (کیا وہ صرف اس میں آپ کو پسند نہیں کرتا ہے؟ فلم میں لڑکی جس کا نام گیگی ہے ، اکثر لڑکوں کے ذریعہ انکشاف کردہ پیغامات کو غلط طور پر سمجھتی ہے) ۔ کچھ مظاہر ایسے ہوتے ہیں جن کا مشاہدہ بار بار نہیں کیا جاسکتا ہے۔ جیسے جوہری پاور پلانٹ کا حادثہ ، اور زمین پر حملہ کرنے والا کومٹ وغیرہ۔

  مثال کے طور پر ، لڑکیوں کی پیروی کرنے کے ل you ، آپ کو ایک تجربہ کرنے ، بار بار پیچھا کرنے ، اور پھر ان میں سے کچھ کامیابیوں کو گننے کے ل several ، آپ کے پیچھے آنے کے امکانات کا تعین کرنے کے ل.۔ اس طرح کے ناقابل تکرار مشاہدات کے لئے ، امکانات کے بارے میں بات کرتے وقت ، عام طور پر موضوعی امکانات استعمال ہوتے ہیں۔ ہر صبح باہر جانے کے بعد ، ہم آسمان کی طرف دیکھنے کے عادی نہیں ہیں ، اور آج بارش کا امکان کیا ہے؟ صرف یہ کہ اکثر والدین کا خیال ہے کہ بارش کا امکان زیادہ ہوگا ، یہ بینڈ ، اور بچے کا خیال ہے کہ بارش کا امکان کم ہوگا۔

  اگرچہ یہ کہا جا سکتا ہے کہ یہ سبزیویٹ ہے ، لیکن پھر بھی یہ معقول ہے۔ مثال کے طور پر ، امتحان میں اہلیت اور عدم اہلیت ہے۔ اگر یہ خیال کیا جائے کہ اہلیت کا امکان 0.9 ہے تو ، یہ کوئی مسئلہ نہیں ہے ، انسان ہمیشہ تھوڑا سا پر اعتماد رہتا ہے ، لیکن اگر اس کے ساتھ ہی یہ خدشہ ہے کہ 0.8 کا امکان ہے تو ، یہ کام نہیں کرتا ہے۔ مختلف امکانات کا امکان 1 ہے۔ یہاں تک کہ اگر یہ سبزیویٹ ہے تو ، اس پر الگ الگ بحث کی جاسکتی ہے ، پھر بھی اس کا حل کرنا ضروری ہے۔ یہ نہیں کہا جاسکتا ہے کہ چونکہ یہ سبزیویٹ ہے ، لہذا اس طرح کے واقعات کی احتمال کو آزادانہ طور پر طے کیا جاسکتا ہے۔ لہذا ، قدرتی طور پر ، اس طرح کی وضاحت کے باوجود ، یا تو یہ کہا جاسکتا ہے ، یا کچھ مشترکہ قواعد کو پورا کرنا ضروری ہے۔ یہ سب کو سمجھنا چاہئے۔

  مذکورہ بالا تینوں اقسام امکانات کی عام وضاحتیں ہیں، جن میں اکثر لوگ اس بات کا اندازہ لگاتے ہیں کہ واقعات کے ہونے کا امکان کتنا بڑا ہے۔ اگرچہ یہ مختلف حالات کے لئے ہوتے ہیں، لیکن اکثر باہمی طور پر استعمال ہوتے ہیں۔ ہم سب نے ایک قاتل کا قصہ سنا ہے۔ ایک شخص نے اپنے چچا کے نام کے ساتھ ایک ہی نام کا قتل کیا، اور نیک دل نے اپنی ماں کو بتایا کہ اس نے اپنی ماں کو مار ڈالا تھا۔ ماں نے کہا کہ یوگو نے اپنی ماں کو نہیں مارا، وہ کپڑے بناتے رہے۔ ایک لمحے کے بعد، ایک اور شخص نے کہا کہ اس نے اپنی ماں کو قتل کیا تھا۔ ماں نے ابھی بھی اس کے کپڑے بناتے رہے، اس طرح کے اچھے بیٹے کو کیسے قتل کیا جا سکتا ہے؟ لیکن جب تیسرا شخص آیا تو اس نے اپنی ماں کو مارا، اس نے خوفزدہ ہو گیا، اس نے اپنے کپڑے کو توڑنے کے آلے کو کھو دیا، اس نے اپنی ماں کو خوفزدہ کر دیا، وہ دیوار سے بھاگ گیا تھا۔ یہ کہانی دوسری جنگ کے لئے اپنی ماں کی حکمت عملی تھی۔ لہذا جب تانبے کی پلیٹ کو لے لیا جاتا ہے، تو یہ سوچا جاتا ہے کہ یہ ممکن

  یقیناً آپ کو یقین نہیں ہو سکتا کہ جو بھی نتیجہ نکلے گا وہ صرف ایک عارضی صورت حال ہے اور آپ کو یقین نہیں ہو سکتا کہ یہ صرف ایک منصفانہ تانبے کی پلیٹ ہے۔ یہ ایسا نہیں ہے، جیسا کہ ایک ماں ہو گی، یہاں تک کہ اگر اس کے پاس مزید گواہ ہوں، تو وہ اس بات پر یقین نہیں کرے گی کہ اس کا بیٹا اسے قتل کرے گا جب تک کہ وہ اسے اپنی آنکھوں سے نہ دیکھے۔ جان لیں کہ تصادفی واقعات، واقعات جب تک کہ ان کے امکانات مثبت ہوں، چاہے ان کے امکانات کتنے ہی چھوٹے کیوں نہ ہوں، سب ممکن ہیں۔ آخر میں تانبے کی پلیٹ کے مثبت ہونے کا امکان کیا ہے، صرف خدا ہی جانتا ہے۔ لیکن اعداد و شمار کے ساتھ امکانات متعارف کرانے سے ہمیں فیصلے کرنے میں مدد مل سکتی ہے۔ تخمینہ نتائج وقت کے ساتھ آگے بڑھنے کے بجائے تبدیل نہیں ہوسکتے ہیں۔ جیسے کہ موسم کی صورت حال میں ایک طوفان کے ساتھ کتنی بارش ہوگی، اس پر قریبی یقین رکھنا ضروری ہے، اور بعد میں اسے تبدیل کرنا بھی ضروری ہے۔

  اگرچہ امکانات کی مذکورہ بالا تینوں تشریحات موجود ہیں اور ان میں سے بہت سی حالات کو بھی شامل کیا گیا ہے جو عملی زندگی میں پائے جاتے ہیں ، لیکن ریاضی دان یقیناً اس پر نہیں رکتے ہیں۔ وہ تجریدی اور عمومی کرنا پسند کرتے ہیں۔ جیسے مساوات کو حل کرنے والے ، وہ فارمولوں کی تلاش کرتے ہیں تاکہ کسی قسم کے مساوات کے حل کو ظاہر کیا جاسکے ، نہ کہ صرف ایک خاص مثال تلاش کرنے کے لئے۔ اور جب حقیقی نظام کو مکمل طور پر سمجھنے کے بعد ، حقیقی نظام کو ایک عملی انداز میں بیان کیا جاتا ہے۔ یعنی ، ایک سیٹ دی جائے ، جس میں اعداد کا مجموعہ ہے ، اس کے عناصر کے لئے دوہری تعریف کی جاتی ہے ، اور 10 اصول دیئے جاتے ہیں۔ آپ کو حیرت ہے کہ کیا یہ دوہری ایک عنصر کے طور پر شامل کیا جاسکتا ہے ، ایک ضرب؟ اور یہ کہ کس طرح اس کے ساتھ کوئی ضابطہ نہیں ہے؟ اس کا اصل نام ، یہ بہت اہم مسئلہ ہے ، جو آپ ریاضی میں پیش کرنا چاہتے ہیں۔ لیکن بعد میں ، آپ کو معلوم ہوگا کہ آپ کے پاس دوہری نظام نہیں ہے ، آپ اس میں بنیادی طور پر ایک ہی عنصر ، ایک ہی عنصر ، ایک ہی عنصر ، اور اسی طرح کی ایک ہی

  امکانات کو متعارف کرانے کے لئے ایک نظریاتی طریقہ کیا ہے؟ سب سے پہلے ایک مجموعہ ہے، جسے نمونہ کی جگہ کہا جاتا ہے، جو کسی مشاہدے کے تمام ممکنہ نتائج کا مجموعہ ہے۔ یہ مشاہدہ واقعی ہوسکتا ہے یا صرف مجازی ہے۔ نمونہ کی جگہ کے کچھ ذیلی مجموعے، جو ہماری دلچسپی ہیں، وہ ایک واقعہ ہیں۔ تمام واقعات بھی ایک مجموعہ تشکیل دیتے ہیں۔ آخر میں ایک امکان فنکشن کا تعین کریں، یعنی ہر ایسے واقعہ کے لئے، اس واقعے کے امکانات کے لئے، 0 اور 1 کے درمیان ایک قدر دی جائے۔ اس جگہ کے واقعات کا مجموعہ، اور امکانات کے افعال، تینوں احتمال کی جگہ تشکیل دیتے ہیں۔

  اس میں نمونہ کی جگہ کے لئے بہت زیادہ تقاضے نہیں ہیں ، لیکن یہ خالی مجموعہ نہیں ہوسکتا ہے۔ اور واقعات کا مجموعہ ، کچھ شرائط پر پورا اترتا ہے۔ سیدھے الفاظ میں ، یہ ہے کہ آپ کو دلچسپی رکھنے والے واقعات بہت کم نہیں ہوسکتے ہیں۔ مثال کے طور پر ، آپ صرف ایک واقعہ A کے بارے میں دلچسپی نہیں لے سکتے ہیں ، لیکن A کے بارے میں دلچسپی نہیں رکھتے ہیں۔ لہذا واقعات کا مجموعہ کافی بڑا ہونا چاہئے ، کم از کم جو کچھ ہونا چاہئے وہ شامل ہے۔ یہ شادی کی تقریب سے پہلے مہمانوں کی فہرست کی طرح ہے۔ بہت کم لوگوں کو مدعو کیا جاسکتا ہے ، جیسے صرف دونوں کے والدین۔ اور ایک بار جب کسی کو ایک ہی فہرست میں شامل کیا جاتا ہے تو ، اس کے ساتھ ساتھ اس کے قریب ترین افراد بھی مدعو کیے جاتے ہیں۔ لہذا ہر ایک قطار میں ، صرف ایک شخص نہیں بڑھتا ہے ، بلکہ اس کے ساتھ ہی کئی افراد بڑھتے ہیں۔ اور پھر امکانات کا فنکشن ، چونکہ امکان کا نام ، یقینا some کچھ بنیادی شرائط کو پورا کرتا ہے ، جو ہم سب کو امکانات کے بارے میں جانتے ہیں۔

  احتمال کی جگہ کے ڈھانچے کے تحت، جو بھی طریقہ استعمال کیا جاتا ہے اس کی وضاحت کرنے کے لئے، ہر ایک کو اس کی وضاحت کرنے کے لئے، اس کے لئے اس کی وضاحت کرنے کے لئے، اس کے لئے اس کی وضاحت کرنے کے لئے، اس کے لئے اس کی وضاحت کرنے کے لئے. لیکن ابھرتی ہوئی ہے، اب تک تانبے کی سلاخوں، جوتے، اور پوکر کارڈ وغیرہ تک محدود نہیں ہے، عام مسائل پر بات چیت کرنے کے لئے کافی تھیوری کھدائی کرنے کے لئے کافی ہے.

  ریاضی کے دیگر شعبوں کے مقابلے میں احتمال کی نظریہ کی ترقی دیر سے ہوئی ہے۔ لیکن اس کے بعد ، احتمال کی نظریہ نے تیزی سے گہری ترقی کی اور ریاضی کا ایک اہم شعبہ بن گیا۔ اس کی بدولت ، بیسویں صدی کے اہم احتمال کے ماہر ، روسی اینڈری نکولائیویچ کولموگوروف (1903-1987) نے 1933 میں شائع ہونے والی 100 سے بھی کم صفحات کی کتاب میں امکان کی بنیاد رکھی۔ اس کتاب میں ، انہوں نے کہا:

  ریاضی کا ایک شعبہ ہونے کے ناطے، احتمال کی نظریہ کو ایکسیومز سے تیار کیا جاسکتا ہے اور کیا جانا چاہئے، بالکل اسی طرح جیسے جیومیٹری اور الجبرا۔

• جہاں امکانات کی دنیا ہے

  فرانسیسی نیوٹن نامی لیپلاس (Pierre-Simon, Marquis de Laplace, 1749-1827) نے کہا تھا:

  یہ سائنس، جو کہ گیمز آف چانس کے غور میں شروع ہوئی، انسانی علم کا سب سے اہم اعتراض بننا چاہئے۔ زندگی کے سب سے اہم سوالات، زیادہ تر حصے کے لئے، واقعی صرف امکانات کے مسائل ہیں۔

  امکان بے ترتیب واقعات کا ہے۔ لیکن دنیا میں ہر چیز بے ترتیب نہیں ہوتی۔ ہم نے کہا ہے کہ ناگزیر بھی ہے۔ فرض کریں کہ ایک یا دو طرف کو انسان کے سر کی تانبے کی پلیٹیں پھینکیں اور مشاہدہ کریں کہ آپ کو وہ طرف مل جائے گی۔ آپ جانتے ہیں کہ یہ ایک ناگزیر واقعہ ہے ، لیکن پھر بھی یہ کہا جاسکتا ہے کہ انسان کے سر کا امکان 1 ہے ، اور دیگر حالات کا امکان 0 ہے۔ یعنی ، اس کو ایک گراوٹ کے طور پر سمجھنا۔ بے ترتیب واقعات۔

  کچھ طبیعیات دانوں کا خیال ہے کہ تانبے کی پلیٹ کے لئے ، جس کی رفتار ، زاویہ ، زمین کی لچک ، تانبے کی پلیٹ کی شکل اور وزن وغیرہ کی طرف سے حساب لگایا جاسکتا ہے ، تانبے کی پلیٹ زمین پر اترنے کے بعد ، اس کا رخ اوپر کی طرف ہوگا ، لہذا یہ بے ترتیب نہیں ہے۔ جیسا کہ لاٹری کے اوپنر کے بارے میں ، جب تک ابتدائی حالات کا اندازہ لگایا جاسکتا ہے ، تب تک وہ گیند کھولی جائے گی ، اور حساب لگایا جاسکتا ہے ، لہذا یہ بھی بے ترتیب نہیں ہے۔ لیکن آپ کو یہ بھی معلوم ہے کہ بٹر وائی اثر۔ پیمائش میں بہت کم غلطی ہوسکتی ہے ، اور بعض اوقات کچھ معمولی تبدیلیاں ، لیکن اثر بہت زیادہ ہوسکتا ہے۔ لہذا ہم یہ یقین کرنا چاہتے ہیں کہ یہ بے ترتیب مظاہر ہیں۔

  کچھ مذہبی ماہرین کا خیال ہے کہ یہ سب کچھ خدا کے ارادے کے مطابق ہو رہا ہے، لیکن ہم نہیں جانتے۔ کیا آپ نے کبھی جیسن اور ارگونائٹس دیکھا ہے؟ یہ یونانی افسانوں پر مبنی ایک فلم ہے، جس کا موضوع 12 ستاروں میں میش سے متعلق ہے۔ یہ فلم 1963 میں بنائی گئی تھی۔ میں نے اسے بچپن میں دیکھا تھا، لیکن اب بھی متاثر ہوں۔ اس فلم میں شہزادہ جیسن کے ساتھ پیش آنے والی مختلف اچانک آفتوں اور بار بار بہادری کے ساتھ ہی ہلاکت خیز گیج ، جو کہ ہیرہ اور زوس کے ساتھ مل کر ، الگ الگ مداخلت اور مدد کرتے ہیں۔ لیکن اگر آپ خدا کے ارادے کو نہیں جانتے ہیں تو ، مستقبل کو صرف اتفاق سے دیکھا جاسکتا ہے۔

  تکنیکی ترقی کے ساتھ ، لوگوں کو آہستہ آہستہ بہت سارے مظاہر کی حقیقت کا پتہ چلتا ہے۔ مثال کے طور پر ، ہم جانتے ہیں کہ ایک بار جب عورت حاملہ ہوجاتی ہے تو ، بچے کی جنس کا تعین ہوجاتا ہے۔ لیکن ایک بڑی پیٹ والی عورت کے ل good ، اچھی بات یہ ہے کہ وہ نہیں جانتی ہے ، اس کی وجہ سے ، وہ ابھی بھی لڑکی کی پیدائش کے امکانات کا اندازہ لگاسکتی ہے۔ امتحان کی شام کے موقع پر ، طلباء نے سنجیدگی سے تیاری کی ، لیکن پھر بھی ان کے دماغ میں قیاس آرائی کی ، ہر ایک نے یہ سوچا کہ امکانات بہت زیادہ ہیں۔ جب اساتذہ کو معلوم ہوا ، تو وہ بہت ہنستے ہوئے۔ کلاس میں بار بار اشارہ کیا گیا ہے کہ وہ خود ہی ، تقریبا ، سب کچھ طے کرسکتے ہیں ، اور کیا اندازہ لگائیں؟ حقیقت میں ، امتحانات پہلے ہی طباعت شدہ ہیں ، لیکن امتحانات کے بجائے ، اور اساتذہ کی طرف سے واضح طور پر اشارہ کیا گیا ہے ، لہذا ابھی بھی اندازہ لگایا جاسکتا ہے۔ اس کے علاوہ ، جیسے دروازے پر دستک ، کیا آپ جاننا چاہتے ہیں؟ کیا مرد اور عورتیں آپ کے پیچھے پڑ

  لیکن ایک استاد کے لیے جو پہلے سے ہی ایک اچھا مسئلہ پیش کر چکا ہے، اس کا اندازہ لگانے کا کوئی مطلب نہیں ہے۔ کیونکہ اس کے لیے ہر سوال کا امکان صرف ایک یا صفر ہے، کوئی اور قدر نہیں۔ اسی طرح، اس شخص کے لیے جو اس کے پیچھے پھل دیکھتا ہے، اس کا امکان ہے کہ یہ میٹھا یا سیب ہو گا، وہ صرف ایک یا صفر کہے گا۔ بے ترتیب اور بے ترتیب مختلف ہیں۔ ہم نے کہا ہے کہ اس منطق میں، امکانات، کافی لچکدار ہیں، تاکہ لوگ ہلچل مچائیں، لیکن پھر بھی معقول رہیں، ورنہ اٹھائیں گے۔ اگر آپ واضح طور پر جانتے ہیں کہ یہ سیب ہے، تو یہ مشکل ہے کہ یہ کہا جائے کہ یہ میٹھا ہے، اس کا امکان 0.5 ہے۔ یا یہ معلوم ہے کہ ڈاکٹر نے تمام معلومات کو سنبھال لیا ہے، اور یہ کہ پیدا ہونے کا امکان 0.5 ہے، اور ہم اس امکان کے بارے میں بات نہیں کر رہے ہیں۔

• امکانات کی وضاحت

  سیکشن 2 میں ہم احتمال کو احتمال کی جگہ کے طور پر متعارف کراتے ہیں۔ چونکہ نمونہ کی جگہ مجازی ہوسکتی ہے ، لہذا واقعہ بھی مجازی ہے۔ لیکن فرض کریں کہ واقعی ایک مشاہدہ ہے ، جیسے چار رخا نقطہ ، 1, 2, 3, 4 کو نشان زد کرنا ، اور اس کے نتیجے میں پوائنٹس کو مشاہدہ کرنا۔ پھر نمونہ کی جگہ 1 ، 2 ، 3 ، 4 کا مجموعہ ہے۔ واقعات کا مجموعہ سب سے بڑا ہے ، جس میں نمونہ کی جگہ کے تمام ذیلی سیٹوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ اگر آپ صف بندی کے مجموعے کو سیکھتے ہیں تو ، آپ کو معلوم ہوگا کہ اس سب سے بڑے واقعات کے مجموعے میں ، مجموعی طور پر 16 (((2 کے 4 حصے) عناصر ہیں۔ امکانات کے فنکشن میں ، فرض کریں کہ اعداد و شمار 1 ، 2 ، 3 ، 4 کے امکانات ، بالترتیب ، 0.1 ، 0.2 ، 0.3 ، 0.4 ، اور 1 کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں۔ کسی بھی واقعے کے امکان کے مطابق ، اس واقعے میں بہت سے واقعات شامل ہیں ، اور پھر اس واقعے کے امکانات کو اس جگہ میں شامل کریں ، جس میں ایک ہی امکان ہے۔ 2 ، 2 ، 4 ، 6 ، 0.4 ، 0.

  یہاں تک کہ اگر آپ نے احتمال کی جگہ کے تصور کو قبول کرلیا ہے ، کیونکہ ریاضی دان اکثر اپنی مرضی کے مطابق تعریف کرتے ہیں ، تو آپ کو شاید حیرت ہوگی ، اس کا مطلب یہ ہے کہ نقطہ نمبر 1 کے آنے کا امکان 0.1 ہے۔ کیا ہر 10 بار ، نقطہ نمبر 1 صرف ایک بار آتا ہے؟ نہیں!

  假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。

  آپ جو حقیقت پسندانہ ہیں، شاید آپ کو اس طرح کی وضاحت بہت عملی نہیں لگے گی۔ پہلے سوال پوچھیں کہ لامحدود کے قریب کیا ہے؟ آپ ہمیشہ پھینکتے رہتے ہیں، کبھی نہیں رکتے، سورج نکلتا ہے، موسم بہار آتا ہے اور گرمیوں میں آتا ہے، پھر بھی پھینکتے رہتے ہیں، یہاں تک کہ اگر آپ کے کواڈ نے کامیابی حاصل کی ہے، تو لامحدود ابھی تک نہیں پہنچا ہے۔ ریاضی کے اس گریجویٹ نے آپ سے پوچھا کہ لامحدود، مچھلی کی طرح پانی ہے، یہ ان چند منفرد تجاویز میں سے ایک ہے جو انہوں نے ریاضی کے چار سالہ ونڈو میں سیکھی ہیں۔ آپ کو لامحدود کے بارے میں بات کرنا چھوڑنا پڑتی ہے، کیونکہ یہاں تک کہ کواڈ نے بھی دن کی پیروی کی، آپ کو بھی لگتا ہے کہ جب آپ کامیاب ہو جاتے ہیں؟ آپ امکانات کو کیسے بیان کرسکتے ہیں، اور لامحدود بھی شامل ہیں؟ لیکن ایک چیز جو آپ جلدی نہیں کرتے ہیں وہ یہ ہے کہ میں غیر امکانات کی قدر کو سمجھتا ہوں، لیکن آپ مجھے اس کی وضاحت کیسے کر سکتے ہیں؟

  امکانات کی قدر کو سمجھنے کی کوشش کرنے کے لئے، امکانات اور لامحدود بڑے، پرتوں کے بعد پرتوں کو تبدیل کرنا پڑے گا. یہ ایک نقطہ کی وضاحت کرنے کی کوشش کرنے کی طرح ہے، اور اس کا نتیجہ آن لائن گروپ میں گر جائے گا، سیکھنے کے لئے مشکل ہے. آخر میں، یہ کہنا ضروری ہے کہ، نقطہ ایک غیر متعین اسم ہے. لیکن کسی بھی صورت میں، آپ کو یہ سمجھنا چاہئے کہ مندرجہ بالا 4 پہلوؤں کے لئے، صرف ایک بار پھینک دیا، نقطہ 1 کا امکان 0.1 ظاہر ہوتا ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ 0.1 ہے. امکانات صرف چند بار چمکنے کا نتیجہ نہیں ہیں. امکانات کے بڑے نمونے میں، طاقت ظاہر ہوتی ہے. امکانات کی قدر کا مطلب، کیونکہ یہ قابل قبول منطق کے ساتھ بیان نہیں کیا جا سکتا ہے. پھر پیچھے ہٹیں اور پوچھیں، کیا آپ لوگوں کو مائیکروویو امکانات کی قدر کے بارے میں تھوڑا سا سمجھا سکتے ہیں؟ یا اگر یہ مجازی نہیں ہے، تو صرف کچھ امکانات کی تلاش میں ہیں) اور آپ کو معلوم ہے کہ امکانات کی تعداد 1 ہے، آپ کو معلوم ہے کہ یہ سچ نہیں ہے، یا آپ غلط ہیں.

  اس سے پہلے کے ریاضی کے گریجویٹ کی وضاحت ، اس وقت کام آسکتی ہے۔ یہ بڑی تعداد کے قوانین میں سے ایک کا ایک آسان ورژن ہے۔ ریاضی میں اس کا مطلب ہے کہ واقعات کی واقع ہونے کی نسبتا frequency تعدد ، ملاقات کا امکان واقع ہونے کے امکانات پر منحصر ہے۔ یہ جاننا کہ بے ترتیب دنیا میں ، کچھ قوانین پر عمل کرنا باقی ہے ، اور بڑی تعداد کا قانون ان میں سے ایک بہت اہم ہے۔ یقینا we ہم نے اشارہ کیا ہے کہ واقعتا it واقعات کو لامحدود تعداد میں مشاہدہ نہیں کیا جاسکتا ہے۔ کیا یہ کہا جاسکتا ہے کہ واقعات کی واقع ہونے کی نسبتا frequency تعدد ، جب مشاہدات کی تعداد کافی بڑی ہے ، واقع ہونے کے امکانات کے قریب ہونا ضروری ہے؟ یہ بھی سچ نہیں ہے۔

  واقعات اس وقت تک ہوسکتے ہیں جب تک کہ ان کا امکان مثبت ہو۔ لہذا ، چاہے مشاہدات کی تعداد کتنی ہی بڑی کیوں نہ ہو ، بہت زیادہ انحراف کو خارج نہیں کیا جاسکتا ہے۔ تاہم ، اس وقت شماریات دان چھلانگ لگاتے ہیں ، اور یہ معلوم کرنے کے لئے ایک ٹیسٹ کرسکتے ہیں کہ آیا نقطہ 1 کا امکان واقعی 0.1 ہے ، جو شماریات میں ٹیسٹنگ مفروضے کی حد میں آتا ہے۔ آسان الفاظ میں ، یہ ایک مفروضے کے تحت مشاہدہ کیا جاتا ہے کہ اس طرح کے نتائج ، غیر معمولی ہیں یا نہیں۔ غیر معمولی کہا جاتا ہے ، اس کا مطلب یہ ہے کہ ہونے کا امکان بہت کم ہے ، کسی پیش گوئی سے کم ہے۔

  اگر یہ غیر معمولی ہے تو ، ابتدائی مفروضہ قبول نہیں کیا جانا چاہئے۔ اس کے علاوہ ، اگر ایک تانبے کی پلیٹ منصفانہ ہے تو ، 100 بار پھینک دیا جاتا ہے ، کم از کم 80 مثبت ہوتے ہیں ، 10 بار پھینکنے کے مقابلے میں ، کم از کم 8 مثبت ہوتے ہیں۔ سابقہ زیادہ غیر معمولی ہے ، کیونکہ اس کے ہونے کا امکان اس کے مقابلے میں بہت کم ہے۔ لہذا ، اسی طرح 80 فیصد سے زیادہ مثبت تعداد حاصل کرنے کے بعد ، زیادہ سے زیادہ پھینکنا ہمیں اس تانبے کی پلیٹ غیر منصفانہ ہونے پر زیادہ یقین دلائے گا ، جبکہ اس کے مثبت ہونے کا امکان کم از کم 0.8 ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ ہمارے اعدادوشمار میں ، نمونہ میں زیادہ سے زیادہ ، نتیجہ زیادہ درست ہوگا۔

  بے ترتیب دنیا میں ، کون سا سچ ہے ، اکثر نامعلوم ہوتا ہے۔ ہم اکثر اس بات کو ثابت کرنے کے قابل نہیں ہوتے ہیں کہ یہ سچ ہے۔ لیکن یہ ایک مفروضہ ہے ، اس پر غور کریں کہ آپ اس مفروضے کو قبول کرتے ہیں۔ 4 چہرے کے نقطہ نمبر 1 کی موجودگی کا امکان ، چاہے وہ واقعی 0.1 ہو ، اس کی سچائی ثابت نہیں ہوسکتی ہے ، یہاں تک کہ اگر کئی بار پھینک دیا جائے تو بھی۔ صرف یہ کہا جاسکتا ہے کہ اعداد و شمار سے پتہ چلتا ہے کہ مچھلی مچھلی کو قبول کرتی ہے ، یا مچھلی مچھلی کو قبول نہیں کرسکتی ہے۔ یہاں ایک ایسا طریقہ کار ہے جس سے فیصلہ کیا جاسکتا ہے کہ اسے قبول کرنا ہے یا نہیں۔

  مزید برآں ، ایک چار پہلوؤں کے لئے ، 1 پوائنٹس کے امکان کا اندازہ بھی لگایا جاسکتا ہے ، مختلف اندازوں کے طریقے ہیں ، مختلف تخمینے حاصل کیے جاسکتے ہیں۔ ریاضی میں ، مختلف طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ، ایک ہی نتائج کا نتیجہ اخذ کرنا ضروری ہے۔ نام نہاد اتفاق رائے۔ لیکن شماریات میں ، جب تک کہ کچھ حدود نہ کی جائیں ، ہمیشہ کوئی یکساں طریقہ نہیں ہوتا ہے۔ غیر متوقع مستقبل کے لئے ، ہمیں اکثر اندازہ لگانا پڑتا ہے ، اور شماریات اس سلسلے میں بہت اچھا کردار ادا کرتی ہے۔ تانبے کی پلیٹ کے مثبت ہونے کا امکان ، اور مریضوں کی بقا وغیرہ ، سب کا اندازہ لگایا جاسکتا ہے۔ لیکن بعض اوقات یہ محسوس ہوتا ہے کہ ایک اندازہ ، اگرچہ واضح ہے ، لیکن اندازہ لگانا مشکل ہے کہ حقیقی قدر سے ملتا جلتا ہے ، ایک یا دو بار نظر ڈالنا ، اکثر اس کا اندازہ نہیں لگایا جاتا ہے۔ اعتماد کے علاقوں کے تصور کی وجہ سے ، وغیرہ۔

• اعتماد کا فرق

  ہم اکثر کسی نامعلوم مقدار کا تخمینہ لگاتے ہیں۔ نامعلوم مقدار کسی واقعے کے ہونے کا امکان، کسی تقسیم کے پیرامیٹرز (جیسے متوقع اقدار اور متغیرات وغیرہ) یا کسی شے کی زندگی وغیرہ ہوسکتی ہے۔ یہ نامعلوم مقداریں، عام طور پر پیرامیٹرز کے نام سے جانا جاتا ہے۔ بعض اوقات پیرامیٹرز کا تخمینہ ایک علاقے میں لگایا جاتا ہے اور اس علاقے کو اس پیرامیٹر کا امکان دیا جاتا ہے۔ یہ علاقائی تخمینہ کہا جاتا ہے، اور حاصل ہونے والا علاقہ، اعتماد کا علاقہ کہا جاتا ہے۔ اور علاقے میں شامل ہونے والے پیرامیٹرز کا امکان، اس علاقے میں اعتماد کا پانی کہا جاتا ہے (جیسے کنڈینسیلیول) ۔ امکانات کے درمیان، اعتماد کی سطح ایک قدر ہے جو 0 سے 1 کے درمیان ہے، اکثر پہلے سے دی جاتی ہے، اور فیصد کے تناسب کے طور پر بیان کی جاتی ہے۔ 90٪، 95٪، 99٪، وغیرہ عام طور پر قابل قدر ہیں۔

  اعداد و شمار شماریات دانوں کے فیصلے کرنے کا بنیادی ذریعہ ہیں۔ اعداد و شمار کی کمی کے بعد ، وہ اکثر ایک سادہ اور عام صورتحال کا جائزہ لیتے ہیں۔ فرض کریں کہ ایک تانبے کی پلیٹ کے مثبت ہونے کے امکانات کا اندازہ لگانا ہے۔ قدرتی طور پر ، کئی بار ، جیسے n بار ، اور نتائج کا مشاہدہ کرنا۔ اس عمل کو نمونہ کہا جاتا ہے۔ اس معاملے میں ، ہر بار کے نتائج اہم نہیں ہیں۔ مجموعی طور پر مثبت تعداد ، a کی شکل میں۔ a کو جانتے ہوئے ، تمام معلومات پر قابو پالیا جاتا ہے۔ اعتماد کی سطح دی گئی ہے ، اور n اور a کا استعمال کرتے ہوئے ، ایک اعتماد کا علاقہ ملتا ہے ، لیکن یہ واحد نہیں ہے۔ نیز ، p کے لئے ، مختلف اعتماد کے علاقوں کے فارمولے ہیں۔ لیکن اساتذہ نے اس طرح لکھا ، جیسے کہ اعتماد کا واحد فارمولہ۔

  یہاں دو تقسیموں سے متعلق ہونے کی وجہ سے ، حساب کتاب زیادہ پیچیدہ ہے ، اگر n کافی بڑا ہے (n بہت چھوٹا نہیں ہے) تو ہم عام طور پر معمول کی تقسیم کے ذریعہ قریب آسکتے ہیں۔ یہ احتمال کے نظریہ میں ایک اور اہم اصول ہے ، جو مرکزی حد تھیوریم ہے۔ یہ ذکر کرنا ضروری ہے کہ صرف معمول کی تقسیم کے ساتھ قریب آنے پر ہی مرکزی حد تھیوریم کا استعمال کیا جانا چاہئے ، نہ کہ اعتماد کے علاقوں میں۔

  اس بات کا اندازہ لگانے کے لئے کہ ایک مثبت امکان p کا سامنا کرنا پڑتا ہے ، نمونے لینے سے پہلے ، اعتماد کا فاصلہ ایک بے ترتیب فاصلہ ہوتا ہے ، اگر اعتماد کی سطح 95٪ ہے تو ، 0.95 کا امکان ہوتا ہے ((یا اس سے زیادہ درست طریقے سے ، اگر اعتماد کا فاصلہ صرف قریب ہوتا ہے تو) ، اعتماد کا فاصلہ p پر مشتمل ہوتا ہے۔ نمونہ لینے کے بعد ، ایک مقررہ فاصلہ مل جاتا ہے۔ پھر p اس فاصلہ کا امکان ہے ، 1 نہیں ہوگا ، 0 نہیں ہوگا ، اور p نہیں ہوگا۔ کیوں؟ بہت سے لوگ اس کے بارے میں اکثر الجھن میں رہتے ہیں۔

  ہم مندرجہ ذیل مثال سے شروع کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ کسی دکان کی سالگرہ کا جشن منایا جاتا ہے ، اور صارفین کی خریداری ایک خاص رقم تک پہنچ جاتی ہے ، تو وہ 1 سے 10 تک کی ایک لاٹری جیت سکتے ہیں۔ اگر آپ 5 کو کھینچتے ہیں تو ، آج اس کمپنی میں خرچ ہونے والے 30٪ رہن ٹکٹ حاصل کرسکتے ہیں۔ آپ جانتے ہیں کہ قرعہ اندازی سے پہلے رہن ٹکٹ حاصل کرنے کا 0.1 کا امکان ہے ، موقع چھوٹا نہیں ہے۔ ایک بار جب آپ نے کھینچ لیا ، اور آپ نے 3 دیکھا ، تو رہن ٹکٹ حاصل کرنے کا امکان بالکل صفر ہے۔

  اس طرح کی مثالیں بہت ہیں ؛ ہتھیار مارنے سے پہلے ، آپ کو یہ کہنا ہے کہ 0.341 کا امکان ہے ، اگر آپ نے اسے نہیں کھویا تو ، 0.341 کو کھیلنے کے لئے نہیں بھیجا گیا ہے۔ ایک اور مثال دیں۔ فرض کریں کہ کسی بینک کی طرف سے جاری کردہ لاٹری ، ہر شمارے میں 1 سے 42 تک ، 6 یارڈ کا فاتح نمبر کھلتا ہے۔ آپ نے 6 یارڈ کی شرط لگائی ، اور آپ جانتے ہیں کہ فاتحہ سے پہلے ، یہ آسان ہے کہ کم از کم 1 یارڈ میں جیتنا ، کیونکہ امکان تقریبا 0.629 ہے۔

  اس کے علاوہ ، جیسا کہ نصاب میں کہا گیا ہے ، یہ بھی ممکن ہے کہ بے ترتیب عددی جدول کی نقالی میں مثبت ظاہر ہو ((نصاب میں کم زاویہ مثبت دو حرف ، اس کا مطلب سمجھ میں نہیں آتا ہے) اعتماد کی حد حاصل کرنے کے ل the ، پی کا امکان n بار ہوتا ہے۔ آپ دیکھیں ، p بنیادی طور پر پہلے سے طے شدہ ہے ، ماڈل کے نتائج میں سے ایک مقررہ حد ، کیا پی اس میں گر گیا ہے ، ایک نظر ڈالیں ، کیسے یہ کہا جاسکتا ہے کہ اس حد کا احاطہ کرنے کا امکان 0.95 ہے؟ یہاں تک کہ اگر آپ ماڈل نہیں ہیں ، لیکن عملی طور پر ایک تانبے کی پلیٹ ڈالتے ہیں ، تو p صرف نامعلوم ہے ، لیکن کسی خاص کے لئے (یعنی یہ معلوم نہیں ہے کہ تانبے کی پلیٹ کی اکائیوں کو معلوم ہے) ڈالنے کے بعد مقررہ اعتماد کی حد ، بے ترتیب ہے ، یہ صرف ایک ہی p کا احاطہ کرے گا ، یا p کا احاطہ نہیں کرے گا۔ اس طرح ، سوچیں ، تانبے کی پلیٹ ، ہر شخص کے 95٪ اعتماد کا احاطہ کرنے والا ، انفرادی طور پر کیسے بیان کرسکتا ہے ، اس کی حد کا احاطہ

  اس 95 فیصد کا کیا فائدہ ہے؟ 0.95 ایک امکانات کی قدر ہے، اور امکانات کی قدر کبھی بھی صرف ایک بار دیکھنے کے تجربے کے نتائج نہیں ہیں۔ تقریبا یہ کہا جا سکتا ہے کہ اگر ایک بار پھر تجربہ کیا جائے اور بہت سے اعتماد کے فاصلے حاصل کیے جائیں تو اس میں p کے اعتماد کے فاصلے کی تعداد شامل ہوگی، جو تمام فرقوں کی تعداد کا تقریباً 95 فیصد ہے۔ لہذا، 0.95 کا مطلب وہی ہے جو ہم نے پچھلے حصے میں امکانات کی وضاحت کی تھی۔ لیکن نوٹ کریں کہ ایک ہی p کے لئے، اگر پورے کلاس میں 40 افراد ہیں، تو 40 95 فیصد اعتماد کے فاصلے حاصل نہیں ہوتے ہیں، جن میں سے p کے فاصلے 85 فیصد سے زیادہ نہیں ہوتے ہیں (اگرچہ 34 سے زیادہ بھی نہیں ہوتے ہیں) ۔ یہ امکان تقریبا 0.01388 (نوٹ 2) بہت بڑا نہیں ہے، لیکن جب تک کلاس کافی زیادہ ہوتی ہے، یہ مشکل نہیں ہوتا ہے۔ 98 کے نصاب میں کہا گیا ہے کہ زیادہ تر طالب علموں کے لئے اعتماد کے فاصلے کا تصور بے ترتیب طور پر شامل ہوتا ہے، p کے عدم موجودگی میں۔

• حالات کی ترجمانی

  چونکہ امکانات ہماری زندگی کی عادات سے وابستہ ہیں ، لہذا ان کا استعمال کرنے سے بے ترتیب دنیا میں زیادہ درست فیصلے کرنے میں مدد ملے گی۔ تاہم ، امکانات کو استعمال کرنا آسان نہیں ہوتا ہے ، اور امکانات کی قیمتوں کو اکثر غلط سمجھا جاتا ہے۔ اور یہ بھی کہا جاتا ہے کہ مختلف امکانات کی قیمتیں پیش کی جاتی ہیں۔ انفرادی وجوہات کیا ہیں؟ ایک اہم وجہ یہ ہے کہ حالات کی غلط تشریح ہے۔

  ماضی میں ہم سب کو ریاضی کے کورسز میں، نام نہاد اطلاقاتی مسائل کا سامنا کرنا پڑتا تھا۔ مسئلہ سمجھتا ہے، ریاضی کے فارمولے کو لکھنے کے بعد، ریاضی کو حل کرنا تھا۔ اس وقت آپ پہلے سے ہی اس لمبی کہانی کو چھوڑ سکتے ہیں۔ لیکن امکانات میں، کچھ سادہ لگتی ہے کہ حالات، مختلف تشریحات کی وجہ سے، جنوب اور شمال کے نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے میں نتیجے

  فلم کا اختتام 21 (انگریزی نام 21 ہے) میں ، ریاضی کے پروفیسر نے کلاس میں ایک سوال پیش کیا۔ تین دروازے ہیں ، جن میں سے ایک دروازے کے بعد کار ہے ، اور دوسرے دو دروازے بکری ہیں۔ آپ نے پہلا دروازہ منتخب کیا ، اور میزبان نے دوسرا دروازہ کھول دیا ، اور بکری دیکھی۔ آپ نے پوچھا کہ کیا آپ کو تیسرا دروازہ منتخب کرنا چاہئے؟ ایک طالب علم نے جواب دیا:

  ہاں، کیونکہ گاڑی حاصل کرنے کے میرے امکانات 33.33 فیصد سے بڑھ کر 66.67 فیصد ہو جائیں گے اگر میں دروازہ 1 سے دروازہ 3 پر چلا جاؤں۔

  پروفیسر نے کہا: "بہت اچھا! " اور اس کے ساتھ اتفاق کیا ، یعنی اسے تبدیل کرنا چاہئے۔ کچھ لوگوں نے اس پر سوال اٹھایا۔

  اس کے مقابلے میں درست طریقہ یہ ہونا چاہئے کہ اگر میزبان کو پہلے سے معلوم ہو کہ گاڑی اس دروازے کے پیچھے ہے تو وہ ایک دروازہ کھولے گا جس کے بعد بکری کا دروازہ ہے۔ (یہ ایک زیادہ معقول طریقہ ہے ، ورنہ کھیل جاری نہیں رہ سکتا) اس وقت اگر تیسرا دروازہ منتخب کیا جائے تو ، جیسا کہ فلم کے طالب علم نے کہا ہے ، گاڑی حاصل کرنے کا امکان 1/3 سے بڑھ کر 2/3 ہوجائے گا۔ لیکن اگر میزبان کو پہلے سے معلوم نہیں ہے کہ گاڑی اس دروازے کے بعد ہے (یہ یقینی طور پر ایک نایاب معاملہ ہے) ، صرف 2 اور 3 دروازوں میں سے ایک کو منتخب کریں ، اور بالکل دروازے کے بعد بکری ہے ، تو اسے تبدیل کرنے کی ضرورت نہیں ہے ، کیونکہ تبدیل یا نہیں ، گاڑی حاصل کرنے کا امکان ، سب 1/2 ہے۔

  لیکن کیا قارئین نے محسوس کیا ہے کہ اگر میزبان پہلے سے جانتا ہے کہ گاڑی اس دروازے کے پیچھے ہے تو ، ہم حقیقت میں ایک مفروضہ بھی کرتے ہیں۔ یعنی اگر دوسرا اور تیسرا دروازہ بھی بکری کے پیچھے ہے تو ، میزبان تصادفی طور پر (یعنی ہر ایک کے 1/2 امکانات کے ساتھ) دوسرا یا تیسرا دروازہ کھولتا ہے۔ در حقیقت ، ایک زیادہ عام مفروضہ ہوسکتا ہے۔ جب دوسرا اور تیسرا دروازہ بھی بکری کے پیچھے ہے تو ، اگر میزبان q1 اور?q کے امکانات کے ساتھ ، دوسرا یا تیسرا دروازہ کھولتا ہے ، جس میں 0≤q≤1 ہے۔ تیسرا دروازہ تبدیل ہوجاتا ہے ، تو گاڑی کا انتخاب کرنے کا امکان 1/1 + q (نگرانی ملاحظہ کریں) 2 ہے۔ اصل میں ، اس امکان سے متاثر ہوتا ہے کہ میزبان کس طرح دو دروازے کھولتا ہے۔ بہت سے لوگ شاید اس وجہ سے نہیں سوچتے ہیں۔

  ایک اور مثال ملاحظہ کیجیے: ایک جوڑے نے ابھی ابھی ایک کمیونٹی میں منتقل کیا ہے اور سب کو معلوم ہے کہ ان کے پاس دو بچے ہیں، جن کی جنس معلوم نہیں ہے۔ ایک دن کمیونٹی کے ایک منتظم نے اس گھر کی چڑیا کو دیکھا، جو گھر میں ایک بچے کے ساتھ کھیل رہی تھی۔ اگر یہ بچہ لڑکی ہے تو، اس کے دو بچوں کا امکان لڑکیوں کا ہے۔ بہت سے لوگوں کا خیال ہے کہ یہ مسئلہ مشکل نہیں ہے، یہ سوچنے کا امکان 1/3 ہے۔ حقیقت میں یہ مسئلہ ہمارے خیال سے کہیں زیادہ پیچیدہ ہے۔ کلید یہ ہے کہ اس گھر کی چڑیا کو کیسے دیکھا جائے، جس میں گھر میں ایک لڑکی ہے، اور اسے مناسب امکانات کی جگہ میں تبدیل کیا جائے۔ یعنی یہ واضح کیا جائے کہ کس طرح بچے کو گھر میں لے جانا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ واقعہ اس کے برابر نہیں ہے کہ کم از کم ایک لڑکی ہے!

  آخر میں ایک اور مثال دیکھیں جو اکثر احتمالات کے درسی کتابوں میں ظاہر ہوتی ہے۔ ایک یونٹ دائرہ ہوائی جہاز پر ہوتا ہے ، جس میں تصادفی طور پر ایک تار کھینچتا ہے ، جس میں تار کا سائز اس دائرے کے اندرونی حصے سے بڑا ہوتا ہے۔ اس طرح کے مثلث کے کناروں کی لمبائی کو جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے ، دائرے کی یونٹ کے اندرونی حصے کا استعمال کرتے ہوئے تلاش کیا جاسکتا ہے۔ لیکن کس طرح تصادفی طور پر ایک تار کھینچنا ہے؟ یہ جاننا ہے کہ 1 سے n تک n مثبت انٹیجرز میں سے ، تصادفی طور پر 1 نمبر لینا ، جس کا مطلب واضح ہے ، یہ ہے کہ ہر نمبر میں سے ہر ایک کا امکان لیا جاتا ہے 1 / n ؛ خود سے فرق [0] ، [1] تصادفی طور پر 1 نمبر لینا ، جس کا مطلب یہ بھی ہے کہ اس نمبر کا امکان [0] ، [1] کسی بھی حصے میں واقع ہوگا ، اس حصے کی لمبائی کے لئے مختلف ہے۔ لیکن تصادفی تار کھینچنا ، کس طرح ہوتا ہے؟ اس کے لئے ایک ہی طریقہ کار کی وضاحت کرنے کے لئے ، بہت سے مختلف طریقے موجود ہیں ، لہذا ، امکانات

  مندرجہ بالا چند مثالوں سے ہمیں پتہ چلتا ہے کہ احتمال کے مسائل سے نمٹنے کے لئے حالات کو واضح طور پر بیان کیا جانا چاہئے۔ اصطلاح کے لحاظ سے ، احتمال کی جگہ کو واضح طور پر بیان کرنا ہے ، ورنہ یہ ہر ایک کی باتوں کا باعث بنے گا۔ بعض اوقات ، اگرچہ احتمال کی جگہ نہیں دی جاتی ہے ، لیکن حالات آسان ہوتے ہیں ، سب کے پاس ایک مشترکہ خیال ہوتا ہے ، اس وقت امکان کی جگہ پر خصوصی زور کیوں نہیں دیا جاتا ہے ، ابھی تک کوئی مسئلہ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر ، اگر آپ ایک منصفانہ دانہ پھینکتے ہیں تو ، 4 سے زیادہ امکانات کی تعداد کی تلاش کریں۔ اگرچہ یہ صرف ایک سادہ بیان ہے ، لیکن اس میں کوئی شک نہیں ہے۔ جب حالات کے بارے میں شک ہے ، جیسے زاؤ زون نے اکول واٹر میں کہا ، تو آپ اس کی پیروی کرتے ہیں تاکہ آپ کو امکان کی جگہ مل جائے۔ اس طرح ، سیاسی یا معاشرتی طور پر ، جب کوئی اہم تنازعہ ہوتا ہے تو ، آپ کو آئین کی قربانی دینی چاہئے ، اگر آئین کی خلاف ورزی نہیں ہوتی ہے ، اور اس کی بڑی وضاحت کرنا چاہئے۔ اگر آپ کسی مخصوص صورتحال کے بارے میں محتاط ہیں تو ، اعدادوشمار کی

  حالات کی تشریح کے علاوہ ، امکانات میں کچھ منفرد تصورات ، جیسے مشروط امکان ، آزادی ، اور بے ترتیب نمونے لینے ، کو بھی احتیاط سے غور کرنا چاہئے جب امکان کا اطلاق کیا جائے۔