Công thức Kelly về các thiết bị điều khiển vị trí

Công thức Kelly về các thiết bị điều khiển vị trí

** Giả sử ngẫu nhiên 1: Bạn có khả năng thắng 60% và thua 40%;; tỷ lệ lợi nhuận ròng là 100% khi thắng và 100% khi thua. Đó là, nếu bạn thắng, bạn có thể kiếm được 1 đô la cho mỗi lần đặt cược, nếu bạn thua, bạn sẽ mất 1 đô la cho mỗi lần đặt cược.

• 1, đối với tình thế bất ổn này, lợi nhuận mong đợi của mỗi lần đặt cược là 60% * 1-40% * 1 = 20%, lợi nhuận mong đợi là dương tính.

  Vậy chúng ta nên đặt cược như thế nào?

  Nếu không suy nghĩ kỹ lưỡng, hãy tưởng tượng một cách thô sơ, chúng ta sẽ cảm thấy rằng vì tôi mong đợi lợi nhuận 20% trên mỗi lần đánh bạc, vì vậy để đạt được lợi nhuận lâu dài nhất, tôi nên cố gắng đặt nhiều tiền hơn vào mỗi lần đánh bạc - tỷ lệ tối đa là 100%.

  Nhưng rõ ràng là không hợp lý khi đặt 100% vốn vào mỗi lần đánh bạc, bởi vì một khi một lần đánh bạc thua, tất cả vốn sẽ bị mất đi, bạn sẽ không thể tham gia vào vòng tiếp theo nữa, bạn chỉ có thể rời khỏi sân. Và trong thời gian dài, đánh bạc thua một lần sự kiện này chắc chắn sẽ xảy ra, vì vậy trong thời gian dài chắc chắn sẽ phá sản.

  Vì vậy, một kết luận được đưa ra ở đây: nếu một tình trạng bế tắc tồn tại, khả năng mất toàn bộ vốn ngay lập tức, ngay cả khi điều này có thể rất nhỏ, sẽ không bao giờ được lấp đầy. Bởi vì trong thời gian dài, các sự kiện nhỏ có thể xảy ra, và trong cuộc sống thực sự, các sự kiện nhỏ có thể xảy ra nhiều hơn so với khả năng lý thuyết của nó. Đây là hiệu ứng đuôi béo trong tài chính.

• 2, tiếp tục quay trở lại tình trạng bế tắc 1. Nếu mỗi lần đặt cược là 100% là không hợp lý, thì 99% thì sao. Nếu mỗi lần đặt cược là 99%, bạn không chỉ đảm bảo sẽ không bao giờ phá sản, mà nếu may mắn, bạn có thể đạt được lợi nhuận lớn.

  Có phải thực tế là như vậy không?

  Chúng ta không cần phải phân tích vấn đề này theo lý thuyết, chúng ta có thể thử nghiệm. Chúng ta mô phỏng tình trạng bế tắc này và đặt cược 99% mỗi lần để xem kết quả sẽ ra sao.

  Một thí nghiệm mô phỏng rất đơn giản, có thể được thực hiện bằng Excel.

  Hình 1

  Như hình trên, hàng đầu là số lần; hàng thứ hai là thắng/chết, excel sẽ tạo ra 1 theo xác suất 60%, tức là 60% xác suất lợi nhuận ròng, với xác suất 1,40% xác suất tạo ra-1, tức là 40% xác suất lợi nhuận ròng là 1; hàng thứ ba là tất cả số tiền của người đánh bạc vào cuối mỗi vòng.

  Bạn có thể thấy từ biểu đồ rằng sau khi thực hiện 10 vòng, số lần thắng trong 10 vòng là 8, so với 60% xác suất, chỉ thua hai lần. Nhưng ngay cả khi vậy, số tiền cuối cùng chỉ còn lại 2.46 đô la, về cơ bản là mất mát.

  Khi tôi tăng số lần thử nghiệm lên đến 1000 lần, 2000 lần, 3000 lần... thì kết quả rất rõ ràng là cuối cùng số tiền trong tay của bạn sẽ về cơ bản là 0.

  Vì 99% không hiệu quả, chúng ta hãy thử một vài tỷ lệ khác và xem hình dưới đây: Từ biểu đồ có thể thấy rằng khi giảm dần vị thế, từ 99%, trở thành 90%, 80%, 70%, 60%, kết quả của cùng 10 vòng hoàn toàn khác nhau. Từ biểu đồ có vẻ như bạn có thể thấy rằng khi vị trí dần giảm dần, số tiền sau 10 vòng dần lớn hơn.

  Khi bạn nhìn vào đây, bạn sẽ dần nhận ra rằng vấn đề của tình trạng bế tắc không đơn giản như vậy.

  Vậy, làm thế nào để đặt cược để có lợi nhuận lâu dài nhất?

  Có phải tỷ lệ nhỏ hơn là tốt hơn như biểu đồ trên? Không nên, bởi vì rõ ràng bạn không thể kiếm tiền khi tỷ lệ trở thành 0.

  Vậy tỷ lệ tối ưu là bao nhiêu?

  Đó là vấn đề được giải quyết bởi công thức Kelly nổi tiếng!

  Hình 2

  Trong đó f là tỷ lệ đặt cược tốt nhất; p là xác suất thắng; rw là tỷ lệ lợi nhuận ròng khi thắng, ví dụ như rw = 1 trong tình huống ngập mờ 1; rl là tỷ lệ mất ròng khi thua, ví dụ như rl = 1 trong tình huống ngập mờ 1; lưu ý ở đây rl > 0;.

  Theo công thức Kelly, tỷ lệ đặt cược tối đa có thể được tính là 20% trong tình huống bế tắc 1.

  Chúng ta có thể tiến hành một thí nghiệm để hiểu rõ hơn về kết luận này.

  Hình 3

  Trong hình này, chúng ta đặt các vị trí là 10%, 15%, 20%, 30%, 40%; chúng tương ứng với D, E, F, G, H.

  Khi tôi thử nghiệm 3000 lần, Khi tôi thử nghiệm 5000 lần, tôi thấy rằng tôi đã thực hiện được rất nhiều thử nghiệm. Bạn có thể thấy từ đó rằng các kết quả của F là lớn nhất, và không phải là một số lượng lớn so với các hàng khác.

  Bạn đã thấy sức mạnh của công thức Kelly. Trong thí nghiệm trên, nếu bạn không may mắn chọn tỷ lệ là 40%, tương ứng với hàng H, sau 5000 lần đánh bạc, số tiền của bạn đã tăng từ 100 lên 22799985.75, nhưng lợi nhuận rất lớn. Nhưng so với kết quả tỷ lệ 20%.

  Đó là sức mạnh của kiến thức!

• 3, hiểu được công thức Kelly

  Việc suy luận toán học về công thức Kelly và sự phức tạp của nó đòi hỏi một kiến thức toán học rất sâu sắc, vì vậy không có ý nghĩa gì để thảo luận ở đây. Ở đây tôi sẽ làm sâu sắc hơn sự hiểu biết chủ quan về công thức Kelly thông qua một số thí nghiệm.

  Chúng ta hãy xem xét một tình huống bế tắc khác. Bị tắc 2: Bạn có tỷ lệ thua và thắng 50%, ví dụ như ném đồng xu.

  Thật dễ dàng để nhìn thấy rằng lợi nhuận mong đợi của Bị tắc 2 là 0.25, một bế tắc mà người chơi có lợi thế rất lớn.

  Theo công thức Kelly, chúng ta có thể lấy tỷ lệ cược tốt nhất cho mỗi vòng là:

  Hình 4

  Điều này có nghĩa là mỗi khi đặt cược một nửa số tiền, bạn sẽ có lợi nhuận cao nhất trong thời gian dài.

  Dưới đây tôi sẽ thử nghiệm khái niệm về tốc độ tăng trung bình r.

  Trước tiên, hãy xem thử nghiệm 2.1, hai hình dưới đây:

  Hình 5

  Cả hai biểu đồ đều là các thí nghiệm thực hiện giả định tình trạng bế tắc 2, trong đó trong hàng thắng lợi hàng thứ hai, thí nghiệm có khả năng 50% tạo ra 1, tức là 100% lợi nhuận; 50% có khả năng tạo ra -0.5, tức là 50% mất mát; và hàng thứ ba và thứ tư là số tiền có sau mỗi lần bế tắc dưới 100% và 50% của vị trí.

  Một sự so sánh cẩn thận giữa hai biểu đồ cho thấy kết luận là sau cùng một số lần, kết quả cuối cùng chỉ liên quan đến số lần thắng và thua trong số lần đó, chứ không liên quan đến thứ tự thắng và thua trong số lần đó. Ví dụ, trong hai biểu đồ trên, 4 vòng cũng được thực hiện, cũng như trong mỗi biểu đồ, người thắng hai vòng thua hai vòng, nhưng thứ tự thua của biểu đồ đầu tiên là thắng thua, thứ tự thua của biểu đồ thứ hai là thua, và kết quả cuối cùng là như nhau.

  Dĩ nhiên, kết luận này rất dễ dàng để chứng minh (định luật nhân thay thế, học sinh tiểu học sẽ), nhưng không chứng minh ở đây, hai ví dụ trên là đủ để hiểu rõ.

  Vì vậy, vì kết quả cuối cùng không liên quan đến thứ tự chiến thắng và thua, chúng ta giả sử ngõ cụt 2 diễn ra như thí nghiệm 2.2.

  Hình 6

  Chúng ta giả sử rằng chiến thắng trong tình trạng bế tắc diễn ra luân phiên, vì kết luận thứ nhất là điều này không ảnh hưởng gì đến số tiền kết quả trong thời gian dài.

  Trước khi nhìn vào hình ảnh của chính mình, chúng ta đã tạo ra một định nghĩa. Giả sử xem một tình thế chết người trong một tập thể, trong đó tần suất xuất hiện của các kết quả khác nhau là chính xác bằng với xác suất của nó, và tổng thể này là số ít nhất trong tổng số các tình huống mà tất cả các điều kiện được đáp ứng, thì chúng ta sẽ gọi tổng thể này là một tập hợp chết người. Ví dụ, trong thí nghiệm trên, một tập hợp chết người đại diện cho việc thực hiện hai cuộc chết người trong đó mỗi người thắng một lần thua một lần.

  Nhìn kỹ vào những con số được đánh dấu màu xanh trên biểu đồ trên, chúng là kết thúc của một tập hợp ngõ cụt. Bạn sẽ thấy rằng những con số này giữ mức tăng trưởng ổn định. Khi vị trí là 100%, con số được đánh dấu màu xanh có tỷ lệ tăng trưởng là 0%, tức là tỷ lệ tăng trưởng vốn sau một tập hợp ngõ cụt là 0%. Điều này cũng giải thích rằng không thể kiếm tiền trong thời gian dài trong tập hợp ngõ cụt 2 khi mỗi lần đặt cược đầy đủ.

  Đây là một quy luật phổ biến, tỷ lệ tăng trưởng sau mỗi đợt ngưng hoạt động liên quan đến vị trí. Và càng tăng tỷ lệ tăng trưởng sau mỗi đợt ngưng hoạt động, thì lợi nhuận cuối cùng sẽ càng cao trong thời gian dài.

  Theo tỷ lệ tăng trưởng của mỗi tập hợp, tỷ lệ tăng trưởng trung bình của mỗi tập hợp có thể được tính g. Trong hình trên, nếu mỗi tập hợp chứa hai tập hợp, thì tỷ lệ tăng trưởng trung bình của mỗi tập hợp là:

  Hình 7

  Trong thời gian dài, để tăng trưởng vốn tối đa, chỉ cần tối đa hóa r, tức là tối đa hóa g; và tỷ lệ đặt cược tối ưu f cũng được đưa ra bằng cách giải quyết max ((g)).

• 4, Công thức Kelly, những kết luận khác về rủi ro

Huyền thoại Kelly

Công thức Kelly ban đầu được nhà vật lý John Larry Kelly của AT&T Bell Laboratories xây dựng dựa trên nghiên cứu của đồng nghiệp Claude Elwood Shannon về tin nhắn đường dây đường dài. Kelly giải quyết vấn đề về lý thuyết thông tin của Shannon được áp dụng cho một tay cược có thông tin nội bộ khi đang đùa. Người cờ bạc muốn quyết định số tiền đặt cược tốt nhất, và thông tin nội bộ của anh ta không cần phải hoàn hảo (không có tin tức) để có được một lợi thế hữu ích. Công thức Kelly sau đó được Edward Thorpe, một đồng nghiệp khác của Shannon, áp dụng cho 21 điểm và thị trường chứng khoán. Sau một vài tháng tính toán khó khăn, ông đã viết một bài toán về toán học có tựa đề "Chiến lược chọn ưu thế của 21 điểm". Ông đã sử dụng kiến thức của mình để tấn công tất cả các sòng bạc ở Reno, Nevada trong một đêm và thành công trong việc giành được hàng chục ngàn đô la từ bàn 21 điểm. Ông cũng là người cha đẻ của quỹ đầu cơ giao dịch định lượng trên Phố Wall ở Mỹ, sáng tạo ra quỹ đầu tư đầu tiên định lượng trong thập niên 1970.

Sử dụng viễn cảnh

Làm thế nào để sử dụng công thức Kelly để kiếm tiền trong cuộc sống thực? Đó là việc tạo ra một tình trạng bế tắc đáp ứng các điều kiện sử dụng công thức Kelly. Gần đây, tôi đã nghiên cứu các hệ thống giao dịch và điều quan trọng nhất đối với một hệ thống giao dịch tốt là gì? Một lợi nhuận mong đợi chiếm 10% tầm quan trọng của các quy tắc mua bán tích cực, trong khi một cách kiểm soát tiền tốt chiếm 40% tầm quan trọng, và 50% còn lại là khả năng kiểm soát tâm lý của con người. Và công thức Kelly chính là công cụ giúp tôi kiểm soát vị trí tài chính. Ví dụ, một hệ thống giao dịch chứng khoán mà tôi đã nghiên cứu trước đây, nó giao dịch một lần mỗi tuần với tỷ lệ giao dịch thành công mỗi tuần là 0.8, tỷ lệ thất bại là 0.2; khi thành công, bạn kiếm được 3% (trừ phí hoa hồng, thuế in ấn) và mất 5% mỗi lần thất bại. Trước khi biết công thức Kelly, tôi là một người giao dịch đầy đủ mù quáng, và tôi không biết vị trí được thiết lập đúng hay sai, rất ảo tâm lý. Sau khi sử dụng công thức Kelly, vị trí tốt nhất được tính toán nên là 9.33, nghĩa là nếu bạn muốn có tỷ lệ lãi suất vay là 0, bạn cần phải tính toán tỷ lệ tăng trưởng vốn nhanh nhất. Dĩ nhiên, công thức Kelly không thể đơn giản như vậy trong ứng dụng thực tế, và vẫn còn nhiều khó khăn cần phải vượt qua. Ví dụ, chi phí vốn cần thiết cho sàn giao dịch đòn bẩy, ví dụ, tiền trong thực tế không phải là vô hạn phân chia, ví dụ, thị trường tài chính không đơn giản như tình thế bế tắc đơn giản được đề cập ở trên. Nhưng dù sao đi nữa, công thức Kelly chỉ đường cho chúng ta đi.