Phòng ngừa rủi ro Delta của các quyền chọn Bitcoin bằng cách sử dụng đường cong Smile

bản tóm tắt

Chúng tôi phân tích hoạt động phòng ngừa delta động mạnh mẽ của các quyền chọn Bitcoin bằng cách sử dụng một tập hợp các đường cong nụ cười ngụ ý và các delta điều chỉnh theo nụ cười khác. Các delta này không phụ thuộc vào mô hình, theo nghĩa là chúng giống nhau đối với mọi mô hình biến động cục bộ và/hoặc ngẫu nhiên bất biến theo tỷ lệ, hoặc chúng dựa trên các tham số hóa đơn giản phụ thuộc vào chế độ của biến động cục bộ. Các delta này rất phổ biến trong giới tạo lập thị trường trên thị trường quyền chọn dành cho tài sản truyền thống vì chúng dễ triển khai. Các nghiên cứu thực nghiệm trước đây về phòng ngừa delta động chỉ dựa trên các quyền chọn chỉ số cổ phiếu, nhưng phân tích dữ liệu duy nhất về giá quyền chọn Bitcoin theo lịch sử hàng giờ cho thấy hành vi của đường cong biến động ngụ ý của Bitcoin rất khác so với hành vi của quyền chọn chỉ số cổ phiếu. Đối với các quyền chọn mua và bán có phạm vi tài trợ rộng và thời hạn cố định tổng hợp là 10, 20 và 30 ngày, chúng tôi so sánh hiệu suất phòng ngừa động của các delta điều chỉnh theo nụ cười khác nhau trong hai giai đoạn một năm. Chúng tôi cũng nghiên cứu việc sử dụng hợp đồng vĩnh viễn thay vì hợp đồng tương lai tiêu chuẩn như một công cụ phòng ngừa rủi ro, vì rủi ro cơ bản của hợp đồng vĩnh viễn thấp hơn nhiều so với hợp đồng tương lai theo lịch. Kết quả được trình bày dưới dạng thống kê có thể kiểm chứng của tỷ lệ phương sai lỗi được bảo hiểm. Trong một số giai đoạn nhất định, việc sử dụng tỷ lệ phòng ngừa đường cong nụ cười ngầm có thể vượt trội hơn đáng kể so với phòng ngừa Black-Scholes Delta đơn giản, đặc biệt là khi sử dụng hoán đổi vĩnh viễn làm công cụ phòng ngừa, mức tăng hiệu quả của quyền chọn bán ngoài giá có thể vượt quá 30%, trong khi khi phòng ngừa các quyền chọn mua ngoài giá trị trong thời gian ngắn trong các giai đoạn đường cong biến động ngụ ý dốc lên, mức tăng hiệu quả trung bình có thể đạt tới 15%. Những lợi thế của việc sử dụng hợp đồng vĩnh viễn đặc biệt rõ ràng vào năm 2021, đặc biệt là đối với các hợp đồng dài hạn khi cơ sở vẫn còn khá lớn.

Từ khóa ：Bảo hiểm phái sinh, đường cong biến động ngụ ý, hợp đồng vĩnh viễn, tài chính mạnh mẽ, bảo hiểm gia tăng năng động

1. Giới thiệu

Bất kỳ nghiên cứu nào về phòng ngừa delta động đều dựa trên mô hình Black và Scholes (1973). Hệ số delta Black-Scholes (BS) chỉ yêu cầu các đạo hàm riêng của giá quyền chọn mô hình liên quan đến giá cơ sở, vì mô hình giả định rằng mối tương quan giữa giá cơ sở và tính biến động của nó bằng không. Tuy nhiên, người ta đều biết rằng các quyền chọn chỉ số chứng khoán có mối tương quan lớn và tiêu cực giữa giá và biến động, dẫn đến độ lệch đáng kể trong đường cong biến động ngụ ý. Theo ý tưởng cơ bản của Bates (2005) và kết quả tổng quát hơn của Alexander và Nogueira (2007a), độ dốc của đường cong biến động ngụ ý có thể được sử dụng để ngụ ý các điều chỉnh đối với BS Delta, không có mô hình, tức là nó là hằng số đối với bất kỳ quy mô nào không phụ thuộc Các mô hình biến thể đều giống nhau. Tuy nhiên, Alexander và Nogueira (2007b) chỉ ra rằng đối với các công cụ có thể giao dịch (ngoài lãi suất), mọi mô hình định giá quyền chọn cổ phiếu ngẫu nhiên và/hoặc biến động cục bộ đều phải bất biến theo quy mô, bất kể các yếu tố bổ sung như bước nhảy hoặc quy trình Lévy. Phức tạp như thế nào các tính năng là. Do đó, bất kỳ sự khác biệt nào giữa hiệu suất phòng ngừa theo kinh nghiệm của hai mô hình biến động tham số (đối với các công cụ có thể giao dịch) chỉ đơn giản là do các mô hình có lỗi hiệu chuẩn khác nhau. Đạo hàm riêng delta (thực tế là gamma) của giá quyền chọn theo giá của công cụ có thể giao dịch về mặt lý thuyết hoàn toàn giống với delta bất biến theo tỷ lệ không có mô hình. Lưu ý 1 Ngoài ra, Delta bất biến theo tỷ lệ đơn giản do Bates (2005) đề xuất lớn hơn (nhỏ hơn) so với Delta BS khi độ dốc của đường cong nụ cười là âm (dương). Vì Coleman và cộng sự (2001) chỉ ra rằng BS delta có xu hướng được phòng ngừa quá mức trong khuôn khổ biến động cục bộ, khi biến động ngụ ý bị lệch âm, delta bất biến theo quy mô sẽ được phòng ngừa quá mức hơn so với BS delta.

Theo mô tả của Alexander và Nogueira (2007a), tổng đạo hàm phương sai tối thiểu (MV) liên quan đến giá là một delta khác có tính đến mối tương quan giá-biến động khác không, nhưng nó phụ thuộc vào mô hình. Tuy nhiên, các tác giả này không thể phân biệt giữa các kết quả thực nghiệm thu được khi sử dụng MV Delta không có mô hình của Lee (2001) và MV Delta dựa trên các mô hình bất biến theo tỷ lệ khác nhau. MV Delta của Lee (2001) cũng được “điều chỉnh theo nụ cười”, nghĩa là nó thêm một thuật ngữ vào BS delta được hiệu chuẩn bằng cách sử dụng các đặc điểm thực nghiệm của đường cong nụ cười biến động ngụ ý. Một cách khác để điều chỉnh BS Delta là sử dụng phương pháp được đề xuất trong công trình quan trọng Smile-Adjusted Delta của Derman và Kani (1994) và Derman (1999) bằng cách thêm một thuật ngữ thể hiện mối tương quan giữa giá và biến động. Những điều này không hoàn toàn không có mô hình, vì điều khoản điều chỉnh phụ thuộc vào tham số hóa của biến động cục bộ, mà bản thân biến động này lại phụ thuộc vào chế độ hiện hành trên thị trường. Tuy nhiên, chúng không có mô hình ở chỗ không có giả định nào được đưa ra về các quá trình thúc đẩy sự phát triển của giá cơ bản, chẳng hạn như sự khuếch tán đột biến cục bộ ngẫu nhiên và không có tham số nào cần được hiệu chỉnh bằng cách sử dụng giá quyền chọn và/hoặc lịch sử cơ bản. dữ liệu.

Thông lệ chuẩn mực đối với các nhà tạo lập thị trường quyền chọn cổ phiếu là phòng ngừa rủi ro bằng cách sử dụng các điều chỉnh đơn giản không cần mô hình đối với BS Delta, vì những điều này được coi là “nguồn tài trợ mạnh mẽ”, tức là tỷ lệ phòng ngừa không phụ thuộc vào mô hình. Đường cong nụ cười ngụ ý và các hàng rào delta điều chỉnh theo đường cong nụ cười khác đặc biệt phổ biến trong giới chuyên gia, như đã được chứng minh qua nhiều bài viết và diễn đàn. Lưu ý 2: Có một số nghiên cứu thực nghiệm trước đây về việc phòng ngừa delta của đường cong nụ cười ngụ ý và/hoặc đường cong điều chỉnh nụ cười, nhưng tất cả đều nghiên cứu các quyền chọn chỉ số cổ phiếu. Không phải tất cả các kết quả đều nhất quán: Vähämaa (2004) cho thấy một số delta điều chỉnh theo đường cong mỉm cười có hiệu suất cao hơn delta BS đối với các quyền chọn FTSE 100, nhưng chỉ trong thời kỳ biến động quá mức; Crépey (2004) xác nhận rằng những kết quả này áp dụng cho các quyền chọn DAX 30; Attie ( 2017) tuyên bố rằng delta ngụ ý nụ cười luôn vượt trội hơn delta BS trong việc phòng ngừa các tùy chọn chỉ số S&P 500; Alexander và cộng sự (2012) mở rộng khuôn khổ của Derman (1999) sang cài đặt chuyển mạch Markov. để phản ánh Delta điều chỉnh nụ cười chính xác áp dụng cho hiện tại chế độ thị trường, cho thấy rằng đối với các tùy chọn S&P 500, BS Delta chỉ có thể được cải thiện bằng cách sử dụng phần mở rộng chuyển đổi Markov này; François và Stentoft (2021) cũng đã nghiên cứu các tùy chọn chỉ số S&P 500 và xác nhận rằng các điều chỉnh tiêu chuẩn không thể vượt trội hơn BS delta hoặc delta-gamma hàng rào, nhưng hàng rào delta-gamma-vega ngụ ý đường cong mỉm cười mới của họ cải thiện đáng kể mô hình BS. Người ta biết rất ít về sự thành công của biện pháp phòng ngừa delta điều chỉnh theo nụ cười so với các loại quyền chọn khác. Lưu ý 3

Mục đích của bài báo này là kiểm tra hiệu suất phòng ngừa delta của nhiều đường cong ngụ ý Smile và các đường cong điều chỉnh Smile khác được áp dụng cho các tùy chọn Bitcoin. Tại thời điểm viết bài này, chỉ có một lượng nhỏ nghiên cứu về quyền chọn Bitcoin. Siu và Elliott (2021), Jalan và cộng sự (2021), và Chen và Huang (2021) đều nghiên cứu các ứng dụng thực nghiệm của các mô hình định giá biến động ngẫu nhiên, nhưng không có bài báo nào nghiên cứu hiệu suất phòng ngừa rủi ro của chúng. Hou et al. (2020) đã xem xét một loạt các mô hình biến động ngẫu nhiên để định giá các quyền chọn Bitcoin. Các tác giả trình bày một loạt kết quả quan trọng làm nổi bật tầm quan trọng của các bước nhảy và đồng nhảy và đề xuất một mô hình biến động ngẫu nhiên với các bước nhảy tương quan (SVCJ) để định giá các quyền chọn Bitcoin. Các mô hình này rất hữu ích để định giá các quyền chọn đặc biệt như quyền chọn cliquet hoặc quyền chọn ratchet. Mặc dù Chi và Hao (2021) xem xét các chiến lược phòng ngừa delta dựa trên GARCH, nghiên cứu của họ tập trung vào việc so sánh các mô hình dự báo biến động đã thực hiện khác nhau. Alexander và cộng sự (2022b) nghiên cứu hành vi của đường cong biến động ngụ ý đối với các quyền chọn Bitcoin để suy ra liệu áp lực cầu của nhà tạo lập thị trường có được thúc đẩy bởi các nhà giao dịch theo hướng hay các nhà giao dịch biến động hay không. Trên thực tế, theo hiểu biết của chúng tôi, chỉ có một nghiên cứu chi tiết khác về việc phòng ngừa quyền chọn Bitcoin (Matic và cộng sự, 2021) và nghiên cứu này sử dụng cách tiếp cận hoàn toàn khác so với bài báo này. Matic và cộng sự (2021) sử dụng biến động ngụ ý hàng ngày được sàn giao dịch Deribit trích dẫn để hiệu chỉnh bề mặt biến động ngụ ý lấy cảm hứng từ biến động ngẫu nhiên tham số và sau đó nội suy biến động ngụ ý của các quyền chọn từ một đến ba tháng theo cách không có chênh lệch giá. Biến động. Mẫu từ tháng 4 năm 2019 đến tháng 3 năm 2020 sau đó được chia thành ba giai đoạn phụ (thị trường tăng giá, thị trường bình lặng và giai đoạn COVID) bằng cách sử dụng quy trình biến động ngẫu nhiên do Duffie và cộng sự (2000) và McNeil và Frey (2000) giới thiệu. Mật độ hạt nhân của bộ lọc GARCH để mô hình hóa giá tiền điện tử cơ bản. Sau đó, họ so sánh hiệu suất phòng ngừa rủi ro của BS Greeks với hiệu suất thu được từ nhiều mô hình khuếch tán nhảy vọt biến động ngẫu nhiên khác nhau. Đối với các quyền chọn có thời hạn một tháng, các tác giả không tìm thấy sự cải thiện đáng kể so với biện pháp phòng ngừa BS đơn giản, nhưng đối với các quyền chọn có thời hạn ba tháng, các mô hình phức tạp hơn sẽ cải thiện đáng kể hiệu suất phòng ngừa.

Không giống như Matic et al. (2021), chúng tôi không so sánh hiệu suất phòng ngừa quyền chọn của các mô hình biến động ngẫu nhiên khác nhau. Một lợi thế thực tế quan trọng của nghiên cứu của chúng tôi là tất cả các giá trị Delta đều rất dễ tính toán. Vì mọi thông tin đều được lấy từ đường cong biến động nụ cười theo cách trực tiếp và mạnh mẽ không cần mô hình nên không cần hiệu chuẩn mô hình. Kết quả phòng ngừa delta của chúng tôi bằng cách sử dụng các điều chỉnh BS Delta khác nhau tùy thuộc vào điều kiện thị trường hiện tại, hình dạng của nụ cười biến động ngụ ý và/hoặc mối tương quan giá-biến động.

Trọng tâm của chúng tôi là các quyền chọn ngắn hạn có thời hạn từ 10 đến 30 ngày, có tính thanh khoản cao hơn nhiều và phạm vi giá thực hiện rộng hơn so với các quyền chọn được nghiên cứu trong Matic et al. (2021). Chúng tôi chọn làm điều này vì các quyền chọn Bitcoin có ngày hết hạn từ một đến ba tháng chỉ chiếm 20% tổng khối lượng giao dịch, trong khi các quyền chọn có ngày hết hạn là 30 ngày hoặc ít hơn chiếm 50% tổng khối lượng giao dịch. Khoảng 80% trong số tất cả khối lượng giao dịch. Hơn nữa, chúng ta cần một đường cong nụ cười thích hợp để điều chỉnh BS Delta theo nụ cười, và phạm vi thanh khoản của các quyền chọn ngắn hạn này khá lớn. Trên thực tế, giá trị của các quyền chọn được sử dụng trong phân tích thực nghiệm của chúng tôi dao động từ 0,7 đến 1,3.

Chúng tôi chỉ xem xét biện pháp phòng ngừa delta động với việc tái cân bằng thường xuyên, diễn ra sau mỗi tám giờ tại thời điểm cấp vốn hoặc hàng ngày vào lúc 00:00 UTC. Việc lựa chọn thiết kế thử nghiệm này dựa trên các đặc điểm mới lạ của thị trường quyền chọn Bitcoin và do đó sẽ được giải thích chi tiết sau. Chi phí giao dịch của hợp đồng tương lai nhỏ hơn nhiều so với hợp đồng quyền chọn. Ví dụ, hợp đồng tương lai có mức chênh lệch dao động từ khoảng 1 đến 5 điểm cơ bản, tùy thuộc vào ngày hết hạn, nhưng các quyền chọn theo giá thị trường ngắn hạn, thường được sử dụng để phòng ngừa rủi ro gamma, thường có mức chênh lệch khoảng 200 đến 300 điểm cơ bản. điểm. Do đó, phòng ngừa gamma tốn kém hơn nhiều so với phòng ngừa delta động thông thường. Chi phí giao dịch để cân bằng lại hàng rào gamma có thể làm xói mòn bất kỳ lợi nhuận nào thu được bằng cách giảm lỗi hàng rào, trong khi chi phí giao dịch để cân bằng lại hàng rào delta là nhỏ, đặc biệt là khi hợp đồng vĩnh viễn được sử dụng làm công cụ phòng ngừa.

Tiếp theo, Phần 2 mô tả thị trường cho các quyền chọn và hợp đồng tương lai Bitcoin; Phần 3 so sánh các đặc điểm của bề mặt biến động ngụ ý cho Bitcoin và các chỉ số chứng khoán và phân biệt các tính năng của chúng; Phần 4 mô tả khuôn khổ thực nghiệm của chúng tôi. Mỗi tỷ lệ phòng ngừa được giới thiệu như một công thức BS đã điều chỉnh ; Phần 5 mô tả dữ liệu của chúng tôi; Phần 6 trình bày kết quả thực nghiệm; và Phần 7 kết luận.

2. Thị trường quyền chọn và tương lai Bitcoin

Tại thời điểm viết bài, có sáu sàn giao dịch tiền điện tử lớn cung cấp giao dịch quyền chọn bằng Bitcoin và các loại tiền tệ khác, cũng như một số mã thông báo, với tổng khối lượng giao dịch trung bình hàng ngày lên tới gần 1 tỷ đô la vào tháng 12 năm 2021. Đặc biệt, khối lượng giao dịch quyền chọn Bitcoin gần đây đã tăng vọt lên mức cao nhất mọi thời đại, với khối lượng giao dịch trung bình hàng tháng tăng gấp đôi và lãi suất mở tăng hơn sáu lần từ tháng 1 năm 2020 đến tháng 12 năm 2021. Phần lớn giao dịch diễn ra trên sàn giao dịch quyền chọn Deribit, được chuyển đến Panama để tránh tuân theo các tiêu chuẩn quốc tế do các cơ quan chính phủ đặt ra như Ủy ban Giao dịch Hàng hóa Tương lai Hoa Kỳ (CFTC) hoặc bất kỳ hình thức quản lý nào khác để bảo vệ quyền lợi của khách hàng. Giống như nhiều sàn giao dịch phái sinh tiền điện tử không được quản lý khác, thường được đăng ký tại các thiên đường thuế ở nước ngoài, nền tảng giao dịch của Deribit hoạt động ²⁴⁄₇ và hầu như không tuân thủ các giao thức “biết khách hàng của bạn”. 4,3 triệu hợp đồng (với giá trị danh nghĩa khoảng 55 tỷ đô la) đã được giao dịch trên Deribit vào năm 2020 và 6,2 triệu hợp đồng (với giá trị danh nghĩa khoảng 290 tỷ đô la) đã được giao dịch vào năm 2021. Kết quả là, chỉ trong vòng hai năm, số lượng hợp đồng được niêm yết đã tăng hơn 45% và số lượng giao dịch danh nghĩa trên Deribit đã tăng hơn 430%. Lưu ý 4 Để hiểu rõ hơn, thị trường quyền chọn S&P 500 của Sàn giao dịch quyền chọn Chicago (CBOE) chỉ tăng trưởng khoảng 10% từ năm 2020 đến năm 2021. Lưu ý 5 Trong thị trường quyền chọn Bitcoin, các hợp đồng mới có quy mô, phạm vi giá thực hiện rộng hơn, thời hạn đáo hạn dài hơn và các tài sản cơ sở mới được phát hành hầu như hàng tháng, mở rộng thị trường phái sinh mới nổi này cho cả nhà giao dịch bán lẻ và tổ chức. Khiến quyền chọn Bitcoin không còn chỉ là một sản phẩm thích hợp . Vào tháng 3 năm 2022, Sàn giao dịch hàng hóa Chicago (CME) đã ra mắt các tùy chọn Bitcoin siêu nhỏ nhằm cạnh tranh với các nền tảng tự quản nhắm vào các nhà giao dịch bán lẻ. Nhưng các tổ chức lớn cũng đang theo dõi thị trường quyền chọn rất chặt chẽ, một số thậm chí còn gọi đây là “bước tiến lớn tiếp theo”. Lưu ý 6 Mặt khác, các giao thức tài chính phi tập trung (DeFi) mới nổi như Opyn hoặc Ribbon Finance cung cấp giao dịch quyền chọn mà không tuân thủ bất kỳ quy định nào. Với khối lượng giao dịch ước tính trên 500 triệu đô la mỗi ngày, đây không còn là thị trường mà các nhà đầu tư truyền thống có thể bỏ qua.

Khối lượng giao dịch khổng lồ trên Deribit khiến nó trở thành sàn giao dịch hấp dẫn nhất cho bất kỳ loại nghiên cứu quyền chọn tiền điện tử nào. Mặc dù CME (và một số sàn giao dịch khác) chỉ liệt kê các quyền chọn Bitcoin, nhưng chỉ có 10%-15% khối lượng giao dịch quyền chọn Bitcoin có thể được quy cho các sàn giao dịch này. Riêng Deribit chiếm hơn 90% khối lượng giao dịch quyền chọn Bitcoin. Lưu ý 7 Một lý do có thể là Deribit hoạt động ²⁴⁄₇, trong khi CME chỉ hoạt động vào các ngày trong tuần. Một lý do khác có thể là các quyền chọn Deribit được ký quỹ và thanh toán bằng Bitcoin, mặc dù giá trị cơ sở của chúng là giá trị USD của chỉ số BTC. Để nhận được khoản thanh toán khi hết hạn, sự chênh lệch giữa giá trị BTC tính bằng USD và giá thực hiện quyền chọn (cũng được báo giá bằng USD) sẽ được tính toán và kết quả sẽ được chuyển đổi thành Bitcoin bằng cách sử dụng giá trị chỉ số BTC khi hết hạn. Lưu ý 8 Sự khác biệt về đơn vị tiền tệ giữa giá thanh toán (tức là Bitcoin) và giá cơ sở (tức là USD) rất giống với khoản thanh toán của quyền chọn FX lượng tử, ngoại trừ việc không có hợp đồng tương lai hoặc quyền chọn theo hướng ngược lại. Nghĩa là, không có sản phẩm phái sinh nào dựa trên giá trị của một đô la Bitcoin, cũng không có bất kỳ lựa chọn nào sử dụng giá trị của một đô la Bitcoin làm tài sản cơ sở. Vì lý do này, quyền chọn Bitcoin được gọi là “quyền chọn nghịch đảo” và trên thực tế chúng chỉ là một trong số nhiều sản phẩm phái sinh nghịch đảo, bao gồm cả hợp đồng tương lai nghịch đảo, được giao dịch nhiều trên nhiều sàn giao dịch phái sinh tiền điện tử. Chúng hấp dẫn vì giao dịch phái sinh trên các giao dịch chéo tiền pháp định-tiền điện tử có thể được thực hiện mà không cần sử dụng tiền pháp định làm tài sản thế chấp trong tài khoản ký quỹ hoặc để thanh toán hợp đồng.

Liệu Bitcoin có thể tồn tại như một thị trường tiền tệ theo nghĩa truyền thống hay không vẫn là vấn đề gây tranh cãi (Sauer, 2016), nhưng các thị trường tiền tệ phi tập trung hoạt động mạnh dành cho Bitcoin (và các loại tiền tệ và mã thông báo khác) thực sự tồn tại ở nhiều trang web Farming và các nhóm thanh khoản khác nhau. Lưu ý 9 Do đó, chúng ta có thể chuyển đổi từ USD sang Bitcoin để đo lường hiệu ứng phòng ngừa rủi ro của bất kỳ mô hình nào bằng USD.

Bất kể bạn chọn phương pháp phòng ngừa nào, bản thân việc phòng ngừa cũng rất đơn giản. Nhà giao dịch mở một vị thế trong quyền chọn và nắm giữ một vị thế ngược lại trong tài sản cơ sở với quy mô vị thế bằng giá trị Delta của quyền chọn. Trên thị trường truyền thống, công cụ phòng ngừa rủi ro thường là hợp đồng tương lai có cùng thời hạn với quyền chọn, vì giá thanh toán không phải là công cụ dễ giao dịch. Đối với Chỉ số BTC, vì chỉ số này dựa trên giá Bitcoin trung bình trên nhiều sàn giao dịch khác nhau nên những nhận xét tương tự cũng được áp dụng. Nhưng điều này không có nghĩa là công cụ phòng ngừa phải là hợp đồng tương lai nghịch đảo có cùng thời hạn với quyền chọn, vì có một số giải pháp thay thế sáng tạo để lựa chọn công cụ phòng ngừa có thể giao dịch bằng Bitcoin. Đầu tiên, có ba loại hợp đồng tương lai có ngày hữu hạn khác nhau: hợp đồng tương lai tuyến tính tiêu chuẩn, không khác gì hợp đồng tương lai trên các loại tài sản truyền thống; hợp đồng tương lai tuyến tính trên Bitcoin so với các đồng tiền ổn định USD (như Tether), được giao dịch bất cứ khi nào giá của đồng tiền ổn định thay đổi từ mức neo giá vào USD; , điều này dẫn đến rủi ro cơ sở; và hợp đồng tương lai nghịch đảo, có đặc tính tương tự như hợp đồng tương lai tuyến tính USD nhưng được ký quỹ và thanh toán giống như tiền điện tử. Lưu ý 10

Quyền chọn Bitcoin cũng có công cụ phòng ngừa rủi ro sử dụng các hợp đồng độc đáo dành cho thị trường tiền điện tử. Các hợp đồng như vậy thường được gọi là hợp đồng tương lai vĩnh viễn, hoặc hoán đổi vĩnh viễn, hoặc đơn giản là “hợp đồng vĩnh viễn”, và đây là loại hợp đồng phái sinh tiền điện tử phổ biến nhất cho đến nay. Giá của chúng gắn chặt với giá giao ngay, sử dụng cơ chế “tài trợ” tự động trả hoặc nhận một phần nhỏ vị thế ròng sau mỗi tám giờ. Cách tính phần trăm này, được gọi là “tỷ lệ tài trợ”, khác nhau tùy từng sàn giao dịch. Lưu ý 11 Người trả và người nhận phụ thuộc vào việc giá hợp đồng vĩnh viễn cao hơn hay thấp hơn giá giao ngay (BTC). Khi giá hợp đồng vĩnh viễn cao hơn giá giao ngay, tỷ lệ tài trợ là dương và người dùng nắm giữ vị thế hợp đồng vĩnh viễn dài hạn phải trả phí, trong khi người dùng nắm giữ vị thế bán khống sẽ nhận được phí. Điều ngược lại đúng khi giá hợp đồng vĩnh viễn thấp hơn giá giao ngay. Các khoản thanh toán tài trợ thường xuyên giữa các vị thế mua và bán giúp giá hợp đồng vĩnh viễn luôn gần với giá giao ngay.

Trên Binance, sàn giao dịch tiền điện tử và phái sinh lớn nhất thế giới, hai phần ba sản phẩm giao dịch là hợp đồng tương lai vĩnh viễn. Tỷ lệ giữa giá giao ngay và giá phái sinh này có vẻ là chuẩn mực trên thị trường tiền điện tử, như báo cáo CryptoCompare (2022) cho thấy. Tính đến thời điểm viết bài này, tám sàn giao dịch tiền điện tử báo cáo khối lượng giao dịch tương lai trung bình hàng ngày vượt quá 1 tỷ đô la, phần lớn trong số đó là các hợp đồng vĩnh viễn. Lưu ý 12 Tại đây, các sàn giao dịch không được quản lý như Binance, OKEx và Bybit chiếm hơn 65% tổng số giao dịch tương lai. Ngược lại, các sàn giao dịch được quản lý, đặc biệt là CME và FTX US, có thị phần thấp hơn nhiều, chỉ khoảng 25%. Hợp đồng tương lai Deribit có khối lượng giao dịch trung bình hàng ngày trên 4 tỷ đô la, cung cấp đủ thanh khoản để coi hợp đồng tương lai này là công cụ phòng ngừa rủi ro phù hợp. Tuy nhiên, giống như các sàn giao dịch khác, phần lớn giao dịch được thực hiện theo hợp đồng vĩnh viễn thay vì hợp đồng tương lai theo lịch. Để thấy điều này, Hình 1 mô tả số tiền giao dịch danh nghĩa của các hợp đồng này được ghi lại hàng ngày nhưng được làm mịn bằng cách sử dụng đường trung bình động 7 ngày trong khoảng thời gian hai năm bắt đầu từ tháng 1 năm 2020. Rõ ràng, hợp đồng tương lai vĩnh viễn có khối lượng lớn hơn nhiều so với hợp đồng tương lai có ngày hữu hạn, mặc dù đối với hợp đồng tương lai có ngày hữu hạn, chúng tôi đã tổng hợp dữ liệu khối lượng hàng ngày cho cả ba loại hợp đồng tương lai, cũng như dữ liệu cho từng ngày hết hạn. Năm 2021, khối lượng giao dịch hợp đồng vĩnh viễn tăng gần gấp bốn lần so với năm trước. Bảng 1 minh họa thực nghiệm sự phát triển của khối lượng giao dịch. Biểu đồ hiển thị khối lượng giao dịch trung bình hàng ngày và lãi suất mở cho ba sản phẩm phái sinh Bitcoin chính trên sàn giao dịch Deribit. Khối lượng và lãi suất mở trên tất cả các sản phẩm đã tăng đáng kể từ năm 2020 đến năm 2021, chủ yếu là do sự quan tâm đến không gian tiền điện tử từ các ngân hàng lớn và các công ty giao dịch độc quyền.

Hình 1. Khối lượng giao dịch trung bình hàng ngày của hợp đồng tương lai và hợp đồng vĩnh viễn trên Deribit.

Hình 1 cho thấy khối lượng trung bình hàng ngày của các hợp đồng vĩnh viễn (màu xanh) và tổng khối lượng trung bình của tất cả các hợp đồng tương lai khác (màu đỏ) từ tháng 1 năm 2020 đến tháng 1 năm 2022. Khối lượng giao dịch hàng ngày được tính bằng cách nhân tổng số hợp đồng được giao dịch trên Deribit trong vòng 24 giờ với giá trị danh nghĩa là 10 đô la, sau đó lấy giá trị trung bình trong bảy ngày qua. Kết quả tính bằng hàng tỷ đô la Mỹ.

Bảng 1. Khối lượng và lãi suất mở của các sản phẩm phái sinh Bitcoin Deribit.

3. Sự biến động ngụ ý của Bitcoin

Hình 2 minh họa động lực thực nghiệm của đường cong biến động ngụ ý có nguồn gốc từ các quyền chọn Deribit, được vẽ trong khoảng thời gian hai năm rưỡi theo cấu trúc hàng ngày. Trục giá trị tiền tệ biểu thị đường cong biến động ngụ ý bởi giá từ quyền chọn mua ngoài giá trị tiền tệ đến quyền chọn bán ngoài giá trị tiền tệ, trong đó giá trị tiền tệ của quyền chọn bán ngoài giá trị tiền tệ sâu là 0,7, giá trị tiền tệ của các quyền chọn mua ngoài giá trị tiền tệ là 1,3 và giá trị tiền tệ của các quyền chọn ngang giá tiền tệ là 1,3. Cả quyền chọn mua và quyền chọn bán đều có giá trị tiền tệ là 1 và chúng tôi nội suy dữ liệu để biểu diễn các mức giá trị tiền tệ này tại thời hạn cố định là 30 ngày. Phần tiếp theo sẽ cung cấp thêm thông tin chi tiết về dữ liệu và cách lọc dữ liệu.

Hình 2. Đường cong biến động ngụ ý của Bitcoin.

Đường cong biến động ngụ ý cho các quyền chọn Bitcoin có thời hạn hết hạn cố định là 30 ngày, bao gồm dữ liệu hàng ngày từ ngày 1 tháng 1 năm 2020 đến ngày 30 tháng 6 năm 2022, được lấy từ các quyền chọn không có giá trị thực và quyền chọn có giá trị thực. Giá thực hiện dao động từ 30% thấp hơn đến 30% cao hơn giá trị chỉ số Bitcoin cơ bản hiện tại.

Hình dạng của đường cong thay đổi rất nhiều theo thời gian. Ngay sau sự kiện “Thứ Năm Đen Tối” vào tháng 3 năm 2020, khi giá Bitcoin giảm hơn 30% trong vài giờ, đường cong biến động ngụ ý đã có hình dạng lệch tiêu cực, đây là đặc điểm điển hình của các quyền chọn chỉ số cổ phiếu. Nghĩa là, tính biến động của quyền chọn bán ngoài giá trị thực cao hơn nhiều so với quyền chọn mua ngoài giá trị thực. Tuy nhiên, nhìn chung, quyền chọn Bitcoin có mức độ biến động ngụ ý cao hơn nhiều so với quyền chọn chỉ số chứng khoán. Trong hầu hết thời gian lấy mẫu, đường cong biến động ngụ ý có hình dạng giống “cây gậy khúc côn cầu”, trong khi trong thời gian đặc biệt yên tĩnh, đường cong này phẳng ra thành một nụ cười đối xứng nhẹ. Ngoài ra còn có những trường hợp độ lệch dương, trong đó tính biến động của quyền chọn mua ngoài giá trị thực cao hơn nhiều so với quyền chọn bán ngoài giá trị thực. Những đặc điểm này không phổ biến trên thị trường quyền chọn chỉ số cổ phiếu, nơi thuật ngữ “độ lệch” thay vì “nụ cười” thường được sử dụng để mô tả chúng. Để hỗ trợ cho quan điểm này, Hình 3 cung cấp một góc nhìn khác về nụ cười biến động ngụ ý. Biểu đồ này cho thấy mức độ biến động ngụ ý của Bitcoin ở các mức độ tiền tệ khác nhau (biểu đồ trên cùng), cũng như độ lệch so với mức độ biến động của ATM, tức là sự khác biệt giữa mức độ biến động của tiền cố định và mức độ biến động của ATM (biểu đồ dưới cùng). Trong hầu hết các mẫu, quyền chọn bán không có giá trị thực với hệ số giá trị thực là 0,7 có mức biến động ngụ ý cao nhất. Trên thị trường (chứng khoán) truyền thống, các quyền chọn bán nằm ngoài giá trị thực này là một biện pháp bảo hiểm hấp dẫn chống lại tình trạng giá cổ phiếu giảm. Ví dụ, trong S&P 500, đường cong biến động ngụ ý có hình dạng rõ rệt và gần như lệch tuyến tính có nghĩa là các quyền chọn tăng giá nhiều nhất sau khi tài sản cơ bản giảm là những quyền chọn có giá trị tiền tệ thấp nhất. Ngược lại, Hình 3 cho thấy trước sự cố ngày 12 tháng 3 năm 2020, đường cong biến động ngụ ý của Bitcoin tương đối đối xứng. Các quyền chọn ATM có mức biến động thấp nhất ở mức khoảng 50%, trong khi các quyền chọn bán ngoài giá trị thực và các quyền chọn mua ngoài giá trị thực có mức biến động gần như nhau nhưng đều cao hơn, với mức biến động của quyền chọn tiền là 0,7 và 1,3. khoảng 75%. Tuy nhiên, có một nụ cười bất đối xứng rõ ràng trong vụ sụp đổ, với các quyền chọn bán không có giá trị thực thu được mức phí bảo hiểm cao hơn từ các nhà đầu tư không thích rủi ro trong trường hợp giá lại giảm mạnh. Biến động ngụ ý của quyền chọn bán trong 30 ngày nằm ngoài giá trị thực đột nhiên tăng vọt lên gần 200%. Bitcoin lần đầu tiên chứng kiến ​​sự lệch hướng tiêu cực rõ ràng, nhưng hình dạng vẫn phẳng hơn nhiều so với hình dạng lệch thường thấy trong các quyền chọn chỉ số cổ phiếu. Sự bất đối xứng này vẫn tồn tại, nhưng khi mức độ biến động ngụ ý giảm xuống, hình dạng của đường cong biến động ngụ ý lại bắt đầu có hình nụ cười.

Hình 3. Sự biến động ngụ ý của Bitcoin và độ lệch ATM.

Biểu đồ hiển thị đường cong biến động ngụ ý cho các quyền chọn Bitcoin có thời hạn 30 ngày và phạm vi thời gian từ ngày 1 tháng 1 năm 2020 đến ngày 30 tháng 6 năm 2022. Đường cong được tính toán bằng cách sử dụng các quyền chọn ngoài giá trị thực và ngang giá trị thực, với giá thực hiện dao động từ mức giảm 30% đến mức tăng 30% theo giá trị hiện tại của Chỉ số Bitcoin.

Dựa trên dữ liệu mẫu của chúng tôi, biến động ngụ ý ATM (at the money) dường như là điểm thấp nhất của đường cong nụ cười và thường bị lệch về phía tiêu cực trong hầu hết thời gian. Tuy nhiên, không giống như các quyền chọn chỉ số cổ phiếu, đường cong mỉm cười thể hiện độ lệch dương đáng kể trong giai đoạn biến động cao. Ví dụ, trong đợt tăng giá của Bitcoin vào tháng 6 năm 2021, độ dốc của đường cong nụ cười tăng lên và duy trì ở mức dương trong vài tháng. Trong khi mối tương quan giữa giá chỉ số chứng khoán và sự biến động hầu như luôn lớn và tiêu cực thì mối tương quan giữa giá Bitcoin và sự biến động ngụ ý của nó dường như phụ thuộc vào điều kiện thị trường. Từ tháng 8 năm 2019 đến tháng 11 năm 2020, mối tương quan giữa giá Bitcoin và biến động ngụ ý của ATM 30 ngày là khoảng -0,42; trong năm tháng tiếp theo, mối tương quan tăng lên 0,74; và vào năm 2022, mối tương quan tăng lên 0,74. Từ tháng 7 đến tháng 11 Năm 2017, mối tương quan giữa giá và biến động là 0,08.

Tuy nhiên, một số đặc điểm tương tự như những đặc điểm của biến động ngụ ý của các quyền chọn chỉ số chứng khoán: (i) biến động của các giá trị ảo khác nhau có mối tương quan cao với biến động theo giá trị thực của cùng một thời hạn đáo hạn, như thể hiện trong Hình 3; (ii) Biến động ngụ ý của Bitcoin là Cấu trúc thuật ngữ biến động cho thấy những biến động thường xuyên giữa hợp đồng tương lai đảo ngược có độ biến động cao và hợp đồng tương lai hướng tới tương đối bình lặng. Hình 4 cho thấy, tương tự như cấu trúc thời hạn biến động của chỉ số chứng khoán, biến động ngụ ý của Bitcoin có những biến động nhỏ hơn và xu hướng tương tự trong hầu hết thời kỳ tương lai nghịch đảo.

Hình 4. Cấu trúc thuật ngữ biến động ngụ ý của Bitcoin.

Cấu trúc kỳ hạn biến động ngụ ý của các quyền chọn Bitcoin, bao gồm ngày hết hạn cố định 10 ngày, 20 ngày và 30 ngày, từ ngày 1 tháng 1 năm 2020 đến ngày 31 tháng 12 năm 2021, được tính dựa trên các quyền chọn theo giá thị trường. Trong những giai đoạn tương đối bình lặng, cấu trúc kỳ hạn cho thấy tương lai tích cực, trong khi trong những đợt sụp đổ (đặc biệt là vào tháng 3 năm 2020 và tháng 6 năm 2021) thì ngược lại.

Chúng tôi sẽ tiếp tục phần còn lại của bài viết này bằng cách sử dụng các đặc điểm của quyền chọn và hợp đồng tương lai Bitcoin mà chúng tôi đã nêu ở trên. Người nắm giữ Bitcoin lâu dài có thể mua quyền chọn bán ngoài giá trị thực để bảo vệ trước tình trạng giá giảm đáng kể và cân nhắc phòng ngừa vị thế giao ngay một cách hợp lý. Tuy nhiên, các nhà tạo lập thị trường và các nhà giao dịch chuyên nghiệp khác tích cực tham gia vào hoạt động phòng ngừa rủi ro delta động vì việc phòng ngừa rủi ro quyền chọn rất quan trọng đối với họ với tư cách là nhà cung cấp thanh khoản. Họ có thể sử dụng BS Delta để thực hiện biện pháp phòng ngừa này, nhưng xét đến mức độ phổ biến của việc điều chỉnh Smile Curve Delta trong số các nhà giao dịch quyền chọn cổ phiếu, sẽ rất thú vị khi xem xét hiệu quả của Delta này đối với quyền chọn Bitcoin. Chúng tôi đã xem xét các tài liệu thảo luận về hiệu quả của delta điều chỉnh theo đường cong mỉm cười đối với các quyền chọn chỉ số cổ phiếu phòng ngừa và chỉ ra rằng trong nhiều trường hợp, BS Delta có hiệu quả tương đương với bất kỳ delta điều chỉnh theo đường cong mỉm cười nào. Tuy nhiên, không có nghiên cứu nào trước đây khám phá câu hỏi này đối với các tùy chọn Bitcoin và rõ ràng là—từ hành vi rất khác biệt của đường cong biến động ngụ ý của Bitcoin mà chúng ta vừa thảo luận và một loạt các công cụ phòng ngừa rủi ro mới có sẵn cho Bitcoin—rằng chúng ta không thể chỉ đơn giản là suy rộng những gì được biết về quyền chọn chỉ số chứng khoán để rút ra kết luận về việc phòng ngừa quyền chọn Bitcoin. Do đó, mục đích của nghiên cứu này là giới thiệu và so sánh nhiều delta điều chỉnh theo đường cong mỉm cười thường được các học viên sử dụng để phân tích hiệu quả của chúng trong việc giảm thiểu độ lệch chuẩn của các lỗi phòng ngừa quyền chọn bitcoin dựa trên các lựa chọn công cụ phòng ngừa khác nhau. Trên thực tế, nghiên cứu này thậm chí có thể được mở rộng hơn nữa tới cấp độ trao đổi, nơi các quyền chọn được giao dịch và/hoặc phòng ngừa rủi ro. Ví dụ, liệu có tốt hơn khi sử dụng hợp đồng tương lai hoặc hợp đồng vĩnh viễn của Binance hay Deribit để phòng ngừa rủi ro cho các quyền chọn được niêm yết trên sàn giao dịch Deribit không? Nhưng chúng tôi không thảo luận chi tiết về vấn đề phòng ngừa quyền chọn Bitcoin trong nghiên cứu này. Ít nhất là hiện tại, tại thời điểm viết bài, thị trường quyền chọn Deribit chiếm hơn 90% tổng khối lượng quyền chọn Bitcoin và trao đổi cá nhân với những người tạo lập thị trường quyền chọn Deribit cho thấy họ chỉ sử dụng nền tảng tương lai Deribit cho các hoạt động phòng ngừa rủi ro delta.

4. Tỷ lệ phòng ngừa

Trong thiết kế thử nghiệm của mình, chúng tôi viết một quyền chọn chuẩn châu Âu cho hợp đồng tương lai chỉ số Bitcoin trị giá một Bitcoin và phòng ngừa bằng cách nắm giữ vị thế mua trong một số lượng hợp đồng tương lai nhất định. Hợp đồng tương lai hết hạn T cho phép các nhà giao dịch tham gia vào thỏa thuận mua hoặc bán một lượng Bitcoin nhất định tại thời điểm tương lai T theo tỷ giá hối đoái Bitcoin-USD đã thỏa thuận. Tài sản cơ bản cho hợp đồng tương lai và quyền chọn là Chỉ số Bitcoin Deribit BTC, đây là chỉ số tổng hợp không thể giao dịch. Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể phòng ngừa các quyền chọn đáo hạn T bằng vị thế hợp đồng vĩnh viễn thay vì hợp đồng tương lai đáo hạn T. Chúng ta có thể bỏ qua thời gian chạy t trong ký hiệu của mình mà không gây nhầm lẫn và chúng ta biểu thị giá tại thời điểm t của một quyền chọn nghịch đảo với giá thực hiện K và ngày hết hạn T là f(K,T|F,σ), trong đó F là Giá vĩnh viễn hoặc giá tương lai hết hạn tại T, tại thời điểm t, σ:=σt(K,T|F) biểu thị mức độ biến động ngụ ý của quyền chọn, đây cũng là mức độ biến động tại thời điểm t. Bằng cách kết hợp mối quan hệ giữa tính biến động và tài sản cơ bản trong khuôn khổ phòng ngừa rủi ro của mình, chúng tôi đặt mục tiêu đạt được delta chính xác hơn so với BS delta, cụ thể là delta δadj điều chỉnh theo nụ cười dựa trên quy tắc chuỗi.

Trong đó δBS là delta BS chuẩn, νBS là độ nhạy biến động của giá quyền chọn BS (vega) và σF = ∂σ/∂F là độ nhạy biến động với giá, tức là sự thay đổi trong độ biến động ngụ ý đối với những thay đổi trong tài sản cơ sở . . Mặc dù BS delta và vega có công thức dạng đóng và dễ tính toán, việc định lượng σF lại tương đối khó và có nhiều phương pháp khác nhau.

Sự điều chỉnh đầu tiên đối với BS delta mà chúng ta thảo luận bắt nguồn từ nhiều cách khác nhau để tham số hóa độ biến động cục bộ tùy thuộc vào trạng thái hiện tại của thị trường hoặc “chế độ thị trường”. Khái niệm về tính biến động cục bộ đã được phát triển trong nhiều tài liệu học thuật, bắt đầu với các bài báo kinh điển của Dupire (1994) và Derman et al. (1996). Điều đáng quan tâm ở đây là “mô hình cố định”, được Derman (1999) ủng hộ trong bối cảnh phòng ngừa quyền chọn chỉ số cổ phiếu, áp dụng các tham số biến động cục bộ khác nhau tại các nút của cây nhị phân mô hình hóa sự tiến triển của giá tài sản cơ bản. Derman et al. (1996) đề xuất xấp xỉ σF là độ dốc của biến động ngụ ý liên quan đến giá thực hiện: Ghi chú 13

Trong đó, σK=∂σ/∂K biểu thị đạo hàm của độ biến động theo giá thực hiện và k phải phụ thuộc vào cơ chế thị trường hiện tại. Trên thực tế, Derman (1999) đã giới thiệu ba “mô hình độ bám dính” khác nhau để thể hiện hành vi biến động cục bộ theo các chế độ thị trường khác nhau. Mô hình Sticky Strike (SS) mô tả tình hình thị trường có xu hướng và giả định rằng tính biến động không phụ thuộc vào biến động giá trong tương lai của tài sản cơ sở và giống như giả định BS, là hằng số và giống nhau đối với mỗi quyền chọn. Trong cơ chế này, delta bằng BS delta. Lưu ý 14 Mô hình Sticky Money (SM) (đôi khi còn gọi là Sticky Delta) xem xét thị trường có phạm vi biến động. Theo cơ chế này, tính biến động của quyền chọn chỉ phụ thuộc vào giá trị tiền tệ của quyền chọn đó (hoặc tương đương là delta của quyền chọn). Do đó, độ biến động cục bộ là như nhau tại mọi nút của cây, nhưng mỗi quyền chọn có một cây khác nhau với độ biến động cục bộ khác nhau, tùy thuộc vào giá trị tiền tệ của quyền chọn. Khi giá của tài sản cơ sở thay đổi, giá trị tiền tệ của quyền chọn cũng thay đổi và chúng ta phải chuyển sang một cây khác để định giá quyền chọn. Cuối cùng, mô hình Sticky Tree (ST) nắm bắt được hành vi biến động cục bộ trong thời gian thị trường suy giảm nhanh, tức là mô tả sự điều chỉnh đường cong mỉm cười khi có mối tương quan âm mạnh giữa biến động và giá tài sản cơ bản. Tên của mô hình cây ẩn này xuất phát từ mô hình biến động cục bộ do Derman và Kani (1994) đề xuất. Tương tự như vậy, độ biến động cục bộ là một hàm xác định, nhưng nó có thể khác nhau tại mỗi nút trong cây và cùng một cây được sử dụng để định giá tất cả các quyền chọn. Trong ba loại tham số hóa biến động cục bộ khác nhau này, giá trị k trong công thức (2) sẽ khác nhau tùy thuộc vào cơ chế thị trường, như thể hiện bên dưới:

Crépey (2004) và Alexander et al. (2012) đều mở rộng phép xấp xỉ (2) để bao gồm sự phụ thuộc trạng thái của k. Cũng lưu ý rằng bằng cách kết hợp các phương trình (1) và (2) của Alexander et al. (2012) với phương trình (3) của Alexander và Nogueira (2007b) và thực hiện một số thao tác đại số, có thể thấy rằng đường cong nụ cười của Bates ( 2005) ngầm định là delta bất biến theo tỷ lệ (được tổng quát hóa trong Alexander và Nogueira (2007a)) giống hệt với phép tính gần đúng tiền cố định (SM).

Do tính biến động cao của Bitcoin, phạm vi giá thực hiện có thể thay đổi đáng kể theo thời gian. Do đó, để cung cấp khuôn khổ nghiên cứu các quyền chọn có cùng đặc điểm trong khung thời gian dài hơn, chúng tôi chuyển từ giá thực hiện sang các chỉ báo có giá trị thực. Chúng tôi định nghĩa tính tiền tệ m là m=K/F và hiện sử dụng θ(m,T|F)=σ(mK,T|F) để biểu diễn độ biến động ngụ ý. Biểu thị các đạo hàm riêng của θ(m,T|F) đối với F và m lần lượt là θF(m,T|F) và θm(m,T|F), chúng ta có thể viết lại delta đã điều chỉnh (7) thành:

Chúng tôi sử dụng giả thuyết biến động cục bộ do Derman (1999) đề xuất để ước tính độ nhạy biến động-giá θF. Cấu trúc cây được sử dụng để mô phỏng sự phát triển của giá quyền chọn sẽ khác nhau tùy thuộc vào ba mô hình thị trường có thể có: Thị trường xu hướng ổn định (SS), Thị trường phạm vi (SM) và Thị trường sụp đổ đột ngột (ST). Do đó, khi chuyển đổi delta cố định của Derman (1999) thành thước đo tiền tệ, giá trị κ trong (5) sẽ khác nhau tùy thuộc vào mô hình thị trường.

Như trước đây, Delta không có mô hình, ẩn ý về nụ cười, bất biến theo tỷ lệ do Bates (2005) và Alexander và Nogueira (2007a) đề xuất giống hệt với thước đo tiền tệ cố định (SM) Delta của Derman và Kani (1994).

Tiếp theo, chúng ta xem xét phương sai tối thiểu (MV) Delta δmv, tức là Delta giảm thiểu phương sai tức thời của danh mục đầu tư phòng ngừa Delta. Ở đây chúng tôi tuân theo một phép tính gần đúng do Bakshi và cộng sự (1997) đưa ra nhằm giảm thiểu phương sai cục bộ. Lee (2001) cho thấy sự điều chỉnh này trong tỷ lệ phòng ngừa MV có cùng đ�