Gestion de l'argent selon le critère Kelly

Gestion de l'argent selon le critère Kelly

La gestion des risques et de l'argent sont des sujets absolument critiques dans le trading quantitatif. Nous n'avons pas encore exploré ces concepts en détail au-delà des différentes sources de risque susceptibles d'affecter les performances de la stratégie.

Objectifs des investisseurs

Il peut sembler que le seul objectif important de l'investisseur est simplement de "gagner le plus d'argent possible". Cependant, la réalité du trading à long terme est plus complexe.

Un investisseur de détail plus sophistiqué mesurerait les retraits de compte, mais pourrait également être en mesure de supporter une baisse considérable du capital (disons 50%) s'il était conscient que c'était optimal, dans le sens du taux de croissance, à long terme.

Un investisseur institutionnel envisagerait le risque de manière très différente: il est presque certain qu'il disposera d'un tirage maximal obligatoire (disons 20%) et qu'il envisagerait l'allocation sectorielle et les limites de volume quotidien moyen, ce qui constituerait des contraintes supplémentaires pour le "problème d'optimisation" de l'allocation de capital aux stratégies.

Nous sommes donc dans une situation où nous pouvons trouver un équilibre entre maximiser le taux de croissance à long terme par le biais de l'effet de levier et minimiser notre "risque" en essayant de limiter la durée et l'ampleur du retrait.

Critère Kelly

Dans cet article, le critère Kelly va être notre outil pour contrôler l'effet de levier et l'allocation vers un ensemble de stratégies de trading algorithmiques qui composent un portefeuille multi-stratégie.

Nous définirons l'effet de levier comme le rapport entre la taille d'un portefeuille et le capital réel du compte dans ce portefeuille. Pour clarifier cela, nous pouvons utiliser l'analogie de l'achat d'une maison avec un prêt hypothécaire. Votre acompte (ou dépôt pour ceux d'entre nous au Royaume-Uni!) constitue votre capital de compte, tandis que l'acompte plus la valeur de l'hypothèque constitue l'équivalent de la taille d'un portefeuille. Ainsi, un acompte de 50 000 USD sur une maison de 200 000 USD (avec un prêt hypothécaire de 150 000 USD) constitue un effet de levier de (150000+50000) / 50000=4. Ainsi, dans ce cas, vous seriez 4x assujetti à l'effet de levier sur la maison. Un compte de portefeuille de marge se comporte de la même manière.

Avant d'énoncer le critère de Kelly spécifiquement je veux décrire les hypothèses qui vont dans sa dérivation, qui ont des degrés de précision variables:

• Chaque stratégie de trading algorithmique sera supposée posséder un flux de rendement normalement distribué (c'est-à-dire gaussien). En outre, chaque stratégie a sa propre moyenne fixe et son écart type de rendement. La formule suppose que ces valeurs moyennes et std ne changent pas, c'est-à-dire qu'elles sont les mêmes dans le passé que dans le futur. Ce n'est clairement pas le cas de la plupart des stratégies, alors soyez conscient de cette hypothèse.

• Les rendements considérés ici sont des rendements excédentaires, ce qui signifie qu'ils sont nets de tous les coûts de financement tels que les intérêts payés sur la marge et les coûts de transaction.

• Tous les bénéfices commerciaux sont réinvestis et aucun retrait de capitaux propres n'est effectué.

• Toutes les stratégies sont statistiquement indépendantes (il n'y a pas de corrélation entre les stratégies) et donc la matrice de covariance entre les rendements de la stratégie est diagonale.

Ces hypothèses ne sont pas particulièrement exactes, mais nous examinerons les moyens de les assouplir dans les articles suivants.

Maintenant, nous arrivons au critère Kelly réel! Imaginons que nous ayons un ensemble de stratégies de trading algorithmiques N et que nous souhaitons déterminer à la fois comment appliquer un effet de levier optimal par stratégie afin de maximiser le taux de croissance (mais minimiser les retraits) et comment allouer le capital entre chaque stratégie. Si nous désignons l'allocation entre chaque stratégie i comme un vecteur f de longueur N, s.t. f=(f1,...,fN), alors le critère Kelly pour l'allocation optimale à chaque stratégie fi est donné par:où μi est la moyenne des rendements excédentaires et σi est l'écart type des rendements excédentaires pour une stratégie i. Cette formule décrit essentiellement l'effet de levier optimal qui devrait être appliqué à chaque stratégie.

Bien que le critère Kelly fi nous donne l'effet de levier optimal et l'allocation stratégique, nous devons encore calculer notre taux de croissance composé attendu à long terme du portefeuille, que nous notons par g. La formule est donnée par:où r est le taux d'intérêt sans risque, qui est le taux auquel vous pouvez emprunter auprès du courtier, et S est le ratio annualisé de Sharpe de la stratégie. Ce dernier est calculé à partir des rendements excédentaires moyens annualisés divisés par les écarts types annualisés des rendements excédentaires.

Remarque: Si vous souhaitez lire une approche plus mathématique de la formule de Kelly, veuillez consulter l'article d'Ed Thorp sur le sujet: Le critère Kelly dans les paris sportifs sur le blackjack, et le marché boursier (2007).

Un exemple réaliste

Prenons un exemple dans le cas de la stratégie unique (i=1). Supposons que nous allons long un stock mythique XYZ qui a un rendement annuel moyen de m=10,7% et un écart type annuel de σ=12,4%.

Avec cela, nous pouvons calculer le levier Kelly optimal via f=μ/σ2=0.077/0.1242=5.01. Ainsi, le levier Kelly dit que pour un portefeuille de 100 000 USD, nous devrions emprunter 401 000 USD supplémentaires pour avoir une valeur totale du portefeuille de 501 000 USD. Dans la pratique, il est peu probable que notre courtage nous permette de négocier avec une marge aussi substantielle et donc le critère Kelly devrait être ajusté.

Nous pouvons ensuite utiliser le ratio de Sharpe S et le taux d'intérêt r pour calculer g, le taux de croissance composé attendu à long terme. g=r+S2/2=0,03+0,622/2=0,22, c'est-à-dire 22%.

Critère Kelly dans la pratique

Il est important de savoir que le critère Kelly nécessite un rééquilibrage continu de l'allocation de capital pour rester valide. Il est clair que cela n'est pas possible dans le cadre discret du trading réel et qu'une approximation doit donc être faite. La règle de base ici est de mettre à jour l'allocation Kelly une fois par jour. En outre, le critère Kelly lui-même doit être recalculé périodiquement, en utilisant une moyenne et un écart type avec une fenêtre de rétroaction.

Voici un exemple de rééquilibrage d'un portefeuille selon le critère Kelly, qui peut conduire à un comportement contre-intuitif. Supposons que nous ayons la stratégie décrite ci-dessus. Nous avons utilisé le critère Kelly pour emprunter de l'argent pour augmenter la taille de notre portefeuille à 501 000 USD. Supposons que nous obtenons un rendement de 5% le lendemain, ce qui augmente la taille de notre compte à 526 050 USD. Le critère Kelly nous dit que nous devrions emprunter plus pour maintenir le même facteur d'effet de levier de 5,01.

Considérons maintenant que le lendemain, nous perdons 10% de notre portefeuille (ouch!). Cela signifie que la taille totale du portefeuille est maintenant de 568,359.45 USD (631510.5 × 0.9). Notre capital total du compte est maintenant de 62,898.95 USD (126050−631510.45 × 0.1). Cela signifie que notre facteur de levier actuel est de 568359.45/62898.95 = 9.03. Par conséquent, nous devons réduire notre compte en vendant 253,235.71 USD d'actions afin de réduire notre valeur totale du portefeuille à 315,123.73 USD, de sorte que nous ayons à nouveau un effet de levier de 5.01 (315123.73/62898.95 = 5.01).

Nous avons donc acheté en profit et vendu en perte. Ce processus de vente en perte peut être extrêmement difficile sur le plan émotionnel, mais c'est mathématiquement la chose "correcte" à faire, en supposant que les hypothèses de Kelly aient été satisfaites!

Vous avez peut-être remarqué que les valeurs absolues de l'argent réaffecté entre les jours étaient plutôt sévères. Ceci est une conséquence à la fois de la nature artificielle de l'exemple et de l'effet de levier étendu utilisé.

Comme l'estimation des moyennes et des écarts types sont toujours sujettes à l'incertitude, dans la pratique, de nombreux traders ont tendance à utiliser un régime d'effet de levier plus conservateur tel que le critère Kelly divisé par deux, affectueusement connu sous le nom de "half-Kelly". Le critère Kelly devrait vraiment être considéré comme une limite supérieure de l'effet de levier à utiliser, plutôt qu'une spécification directe. Si ce conseil n'est pas pris en compte, l'utilisation de la valeur directe de Kelly peut conduire à la ruine (c'est-à-dire que l'équité du compte disparaît à zéro) en raison de la nature non gaussienne des rendements de la stratégie.

Faut- il appliquer le critère de Kelly?

Chaque trader algorithmique est différent et il en va de même pour les préférences de risque. Lorsque vous choisissez d'utiliser une stratégie d'effet de levier (dont le critère Kelly est un exemple), vous devez considérer les mandats de risque dans lesquels vous devez travailler. Dans un environnement de détail, vous êtes en mesure de définir vos propres limites de retrait maximales et ainsi votre effet de levier peut être augmenté. Dans un environnement institutionnel, vous devrez considérer le risque d'un point de vue très différent et le facteur d'effet de levier sera un composant d'un cadre beaucoup plus large, généralement sous de nombreuses autres contraintes.

Dans des articles ultérieurs, nous examinerons d'autres formes de gestion de l'argent (et des risques!), dont certaines peuvent aider à surmonter les contraintes supplémentaires évoquées ci-dessus.