Quản lý tiền thông qua tiêu chí Kelly

Quản lý tiền thông qua tiêu chí Kelly

Quản lý rủi ro và tiền bạc là những chủ đề hoàn toàn quan trọng trong giao dịch định lượng. Chúng tôi vẫn chưa khám phá các khái niệm này một cách chi tiết hơn là nêu ra các nguồn rủi ro khác nhau có thể ảnh hưởng đến hiệu suất chiến lược.

Mục tiêu của nhà đầu tư

Có vẻ như mục tiêu quan trọng duy nhất của nhà đầu tư chỉ đơn giản là "làm càng nhiều tiền càng tốt". Tuy nhiên, thực tế của giao dịch dài hạn phức tạp hơn.

Nhiều nhà giao dịch bán lẻ coi mục tiêu duy nhất là tăng vốn chủ sở hữu tài khoản càng nhiều càng tốt, với ít hoặc không xem xét đến rủi ro của một chiến lược. Một nhà đầu tư bán lẻ tinh vi hơn sẽ đo lường khoản rút, nhưng cũng có thể chịu được sự sụt giảm vốn chủ sở hữu (ví dụ 50%) nếu họ biết rằng nó là tối ưu, theo nghĩa là tốc độ tăng trưởng, trong dài hạn.

Một nhà đầu tư tổ chức sẽ nghĩ rất khác về rủi ro. Nó gần như chắc chắn rằng họ sẽ có một yêu cầu rút vốn tối đa (giả sử 20%) và rằng họ sẽ xem xét phân bổ ngành và giới hạn khối lượng hàng ngày trung bình, tất cả đều là những hạn chế bổ sung đối với "vấn đề tối ưu hóa" phân bổ vốn cho các chiến lược. Những yếu tố này thậm chí có thể quan trọng hơn là tối đa hóa tốc độ tăng trưởng dài hạn của danh mục đầu tư.

Do đó, chúng ta đang ở trong một tình huống mà chúng ta có thể đạt được sự cân bằng giữa tối đa hóa tốc độ tăng trưởng dài hạn thông qua đòn bẩy và giảm thiểu rủi ro của chúng ta bằng cách cố gắng hạn chế thời gian và mức độ rút vốn.

Tiêu chuẩn Kelly

Trong bài viết này, tiêu chí Kelly sẽ là công cụ của chúng tôi để kiểm soát đòn bẩy và phân bổ cho một tập hợp các chiến lược giao dịch thuật toán tạo thành một danh mục đầu tư đa chiến lược.

Chúng ta sẽ định nghĩa đòn bẩy như là tỷ lệ giữa kích thước của một danh mục đầu tư với vốn chủ sở hữu tài khoản thực tế trong danh mục đầu tư đó. Để làm rõ điều này, chúng ta có thể sử dụng sự tương tự của việc mua một ngôi nhà với thế chấp. Tiền đặt cọc của bạn (hoặc tiền gửi cho những người ở Anh!) tạo thành vốn chủ sở hữu tài khoản của bạn, trong khi tiền đặt cọc cộng với giá trị thế chấp tạo thành tương đương với kích thước của danh mục đầu tư. Do đó, khoản đặt cọc 50.000 USD trên một ngôi nhà 200.000 USD (với thế chấp 150.000 USD) tạo thành đòn bẩy của (150000 + 50000) / 50000 = 4.

Trước khi chúng ta nêu tiêu chí Kelly cụ thể tôi muốn phác thảo các giả định đi vào dẫn xuất của nó, mà có mức độ chính xác khác nhau:

• Mỗi chiến lược giao dịch thuật toán sẽ được giả định là có một dòng lợi nhuận được phân phối bình thường (tức là Gaussian). Hơn nữa, mỗi chiến lược có trung bình cố định và độ lệch chuẩn của lợi nhuận của riêng nó. Công thức giả định rằng các giá trị trung bình và std này không thay đổi, tức là chúng giống nhau trong quá khứ và trong tương lai. Điều này rõ ràng không phải là trường hợp của hầu hết các chiến lược, vì vậy hãy nhận thức được giả định này.

• Các lợi nhuận được xem xét ở đây là lợi nhuận vượt quá, có nghĩa là chúng được tính trừ tất cả các chi phí tài chính như lãi suất được trả trên ký quỹ và chi phí giao dịch.

• Tất cả lợi nhuận giao dịch được tái đầu tư và không có việc rút vốn chủ sở hữu được thực hiện. Điều này rõ ràng không áp dụng trong một môi trường tổ chức nơi phí quản lý được đề cập ở trên được rút và các nhà đầu tư thường rút tiền.

• Tất cả các chiến lược đều độc lập về mặt thống kê (không có mối tương quan giữa các chiến lược) và do đó ma trận covariance giữa các lợi nhuận chiến lược là chéo.

Những giả định này không đặc biệt chính xác nhưng chúng ta sẽ xem xét những cách để giảm bớt chúng trong các bài viết sau.

Bây giờ chúng ta đến với tiêu chí Kelly thực tế! Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một tập hợp các chiến lược giao dịch thuật số N và chúng ta muốn xác định cả cách áp dụng đòn bẩy tối ưu cho mỗi chiến lược để tối đa hóa tốc độ tăng trưởng (nhưng giảm thiểu các khoản rút) và cách phân bổ vốn giữa mỗi chiến lược. Nếu chúng ta biểu thị phân bổ giữa mỗi chiến lược i như một vector f có chiều dài N, s.t f=(f1,...,fN), thì tiêu chí Kelly cho phân bổ tối ưu cho mỗi chiến lược fi được đưa ra bởi:Trong đó μi là lợi nhuận dư thừa trung bình và σi là độ lệch chuẩn của lợi nhuận dư thừa cho một chiến lược i. Công thức này về cơ bản mô tả đòn bẩy tối ưu nên được áp dụng cho mỗi chiến lược.

Trong khi tiêu chí Kelly fi cung cấp cho chúng tôi đòn bẩy tối ưu và phân bổ chiến lược, chúng tôi vẫn cần thực sự tính toán tốc độ tăng trưởng hợp chất dài hạn dự kiến của danh mục đầu tư, mà chúng tôi biểu thị bằng g. Công thức cho điều này được cung cấp bởi:Trong đó r là lãi suất không rủi ro, đó là lãi suất mà bạn có thể vay từ nhà môi giới, và S là tỷ lệ Sharpe hàng năm của chiến lược.

Lưu ý: Nếu bạn muốn đọc một cách tiếp cận toán học hơn về công thức Kelly, vui lòng xem bài báo của Ed Thorp về chủ đề: Tiêu chí Kelly trong cá cược thể thao blackjack, và thị trường chứng khoán (2007).

Một thí dụ thực tế

Hãy xem xét một ví dụ trong trường hợp chiến lược duy nhất (i=1). Giả sử chúng ta mua cổ phiếu huyền thoại XYZ có lợi nhuận trung bình hàng năm là m=10,7% và độ lệch chuẩn hàng năm là σ=12,4%. Ngoài ra giả sử chúng ta có thể vay với lãi suất không rủi ro là r=3,0%.

Với điều này, chúng ta có thể tính đòn bẩy Kelly tối ưu thông qua f=μ/σ2=0.077/0.1242=5.01. Do đó, đòn bẩy Kelly nói rằng đối với danh mục đầu tư 100.000 USD, chúng ta nên vay thêm 401.000 USD để có tổng giá trị danh mục đầu tư là 501.000 USD. Trong thực tế, môi giới của chúng tôi không có khả năng cho phép chúng tôi giao dịch với biên độ đáng kể như vậy và do đó tiêu chí Kelly sẽ cần phải được điều chỉnh.

Sau đó, chúng ta có thể sử dụng tỷ lệ Sharpe S và lãi suất r để tính g, tỷ lệ tăng trưởng hỗn hợp dài hạn dự kiến. g=r+S2/2=0,03+0,622/2=0,22, tức là 22%.

Tiêu chuẩn Kelly trong thực tế

Điều quan trọng cần lưu ý là tiêu chí Kelly đòi hỏi phải cân bằng lại liên tục phân bổ vốn để duy trì giá trị. Rõ ràng điều này không thể trong thiết lập riêng biệt của giao dịch thực tế và do đó phải thực hiện ước tính. Quy tắc tiêu chuẩn ở đây là cập nhật phân bổ Kelly một lần mỗi ngày. Hơn nữa, chính tiêu chí Kelly nên được tính lại định kỳ, sử dụng trung bình cuối cùng và lệch chuẩn với cửa sổ nhìn lại. Một lần nữa, đối với một chiến lược giao dịch khoảng một lần mỗi ngày, việc nhìn lại này nên được thiết lập ở mức 3-6 tháng lợi nhuận hàng ngày.

Đây là một ví dụ về việc cân bằng lại danh mục đầu tư theo tiêu chí Kelly, có thể dẫn đến một số hành vi phản trực giác. Giả sử chúng ta có chiến lược được mô tả ở trên. Chúng ta đã sử dụng tiêu chí Kelly để vay tiền mặt để kích thước danh mục đầu tư của chúng ta lên đến 501.000 USD. Giả sử chúng ta có lợi nhuận 5% vào ngày hôm sau, làm tăng kích thước tài khoản của chúng ta lên 526.050 USD. Tiêu chuẩn Kelly cho chúng ta biết rằng chúng ta nên vay nhiều hơn để giữ cùng một yếu tố đòn bẩy 5,01.

Bây giờ hãy xem xét rằng vào ngày hôm sau chúng ta mất 10% trong danh mục đầu tư của chúng tôi (ouch!). Điều này có nghĩa là tổng kích thước danh mục đầu tư hiện là 568,359.45 USD (631510.5 × 0.9). Tổng vốn chủ sở hữu tài khoản của chúng tôi hiện là 62,898.95 USD (126050−631510.45 × 0.1). Điều này có nghĩa là yếu tố đòn bẩy hiện tại của chúng tôi là 568359.45/62898.95 = 9.03. Do đó, chúng tôi cần giảm tài khoản của mình bằng cách bán 253,235.71 USD cổ phiếu để giảm tổng giá trị danh mục đầu tư của chúng tôi xuống còn 315,123.73 USD, do đó chúng tôi có đòn bẩy 5.01 một lần nữa (315123.73/62898.95 = 5.01).

Do đó, chúng ta đã mua vào lợi nhuận và bán vào lỗ. Quá trình bán vào lỗ này có thể cực kỳ khó khăn về mặt cảm xúc, nhưng đó là "đúng" về mặt toán học, giả sử rằng các giả định của Kelly đã được đáp ứng! Đó là cách tiếp cận để theo để tối đa hóa tốc độ tăng trưởng hợp chất dài hạn.

Bạn có thể đã nhận thấy rằng giá trị tuyệt đối của tiền được phân bổ lại giữa các ngày là khá nghiêm trọng. Đây là hậu quả của cả bản chất nhân tạo của ví dụ và đòn bẩy rộng được sử dụng.

Vì ước tính trung bình và độ lệch chuẩn luôn luôn chịu sự không chắc chắn, trong thực tế nhiều nhà giao dịch có xu hướng sử dụng một chế độ đòn bẩy bảo thủ hơn như tiêu chí Kelly chia cho hai, được gọi là half-Kelly.

Bạn nên dùng tiêu chuẩn Kelly?

Mỗi nhà giao dịch thuật toán là khác nhau và điều tương tự cũng đúng với sở thích rủi ro. Khi chọn sử dụng một chiến lược đòn bẩy (như tiêu chí Kelly là một ví dụ), bạn nên xem xét các nhiệm vụ rủi ro mà bạn cần làm việc. Trong môi trường bán lẻ, bạn có thể đặt giới hạn rút tiền tối đa của riêng bạn và do đó đòn bẩy của bạn có thể được tăng lên. Trong một môi trường tổ chức, bạn sẽ cần xem xét rủi ro từ một quan điểm rất khác nhau và yếu tố đòn bẩy sẽ là một thành phần của một khuôn khổ lớn hơn nhiều, thường dưới nhiều hạn chế khác.

Trong các bài viết sau, chúng ta sẽ xem xét các hình thức quản lý tiền bạc (và rủi ro!), một số hình thức có thể giúp bạn vượt qua những hạn chế bổ sung được thảo luận ở trên.