Năm 1987 là năm kỷ niệm 100 năm sinh của nhà toán học huyền thoại người Ấn Độ Ramanujan (Srinivasa Ramanujan, 1887-1920). Một loạt các hoạt động được tổ chức để tưởng nhớ ông. Nhà thống kê nổi tiếng đương đại, sinh ra ở Ấn Độ C. Radhakrishna Rao, 1920 cũng được mời nói ba bài. Sau đó, Viện Thống kê Ấn Độ (IndianStatistical Institute) dựa trên các bài phát biểu của Rao, và năm 1989, xuất bản một cuốn sách về thống kê và sự thật cho ông.
Khi còn là sinh viên, tôi học toán học, một loại logic rút ra kết quả từ những giả định nhất định. Sau đó, tôi học thống kê, một phương pháp lý luận học hỏi từ kinh nghiệm, và logic xác nhận giả định từ các kết quả nhất định. Tôi đã nhận ra rằng toán học và thống kê là quan trọng trong mọi nỗ lực của con người để nâng cao kiến thức tự nhiên và quản lý hiệu quả các vấn đề hàng ngày.
Tôi tin rằng:
Trong phân tích cuối cùng, tất cả kiến thức đều là lịch sử.
Theo nghĩa trừu tượng, tất cả các khoa học đều là toán học.
Trong một thế giới hợp lý, tất cả các phán đoán đều là thống kê.
Câu này nói chung về tầm quan trọng của toán học và thống kê, và ý nghĩa của chúng.
Trong một thời gian dài, toán học trung học đã bao gồm các chủ đề về xác suất, trong đó xác suất cổ điển (tức là giải thích xác suất bằng cách sử dụng các khả năng tương tự) cũng chiếm một tỷ lệ khá nhỏ. Do đó, xác suất thường được kết hợp với các tổ hợp sắp xếp. Trong khi đó, các tổ hợp sắp xếp là những câu hỏi về toán học phức tạp hơn. Mặc dù học sinh đôi khi bị những câu hỏi phức tạp đó làm cho họ bị mê hoặc. Nhưng đó chỉ là một khía cạnh kỹ thuật, về mặt nhận thức, thường không quá khó hiểu. Trong những năm gần đây, do tầm quan trọng của thống kê, toán học trung học đã dần thêm các chủ đề thống kê. Trong chương trình giảng dạy của trường trung học cao cấp, bắt đầu từ năm 1995, các giáo viên trung học thường thấy rằng khu vực tin cậy mới tăng lên dễ dàng với sự tự tin, nhưng gây ra nhiều khó khăn không nhỏ.
Arthur Lyon Bowley, 1869-1957, chủ tịch đại hội, đã nói trong bài phát biểu rằng ông không chắc chắn rằng niềm tin này không phải là một trò chơi tin tưởng. Khi khái niệm này được đưa ra, hầu hết các nhà thống kê, bao gồm cả những người được coi là người sáng lập ra phương pháp thống kê hiện đại, và các nhà thống kê ở Anh (Sir Ronald Aylmer Fisher, 1890-1962, thường được R.A.Fisher gọi là một phần của cuốn sách của ông, có thể nhìn vào một đoạn tin tưởng như vậy).
Nhiều năm trôi qua, hơn bảy mươi năm trôi qua, các nhà thống kê ngày nay, tất nhiên, đã hoàn toàn hiểu được ý nghĩa của khoảng tin cậy. Tuy nhiên, ở trường đại học, dù trong các sách giáo khoa như xác suất và thống kê, thống kê và thống kê toán học, khoảng tin cậy thường thuộc về nửa sau của các chủ đề. Đó là sinh viên đại học trong các khóa học liên quan, khi bắt đầu tiếp xúc với khoảng tin cậy, nói chung đã có một cơ sở thống kê xác suất khá đủ.
Tại sao một chủ đề hơi sâu sắc như vậy lại được đưa vào các bài học toán học ở trường trung học? Có lẽ lý do chính là vì nó quan trọng. Điều này chỉ có thể hiểu được bằng cách nhìn vào phạm vi tin tưởng và mức độ tin tưởng của các kết quả khảo sát thường được công bố trên phương tiện truyền thông.
Trong một số sách giáo khoa thống kê, khoảng tin cậy chiếm một phần của một chương. Đối với các tham số khác nhau, phân bố khác nhau, có thể có khoảng tin cậy khác nhau; ngay cả khi cùng một tham số và cùng một phân bố, cũng có thể có các phương pháp khác nhau, để có được khoảng tin cậy khác nhau. Đôi khi do không đủ điều kiện, hoặc các lý do tính toán phức tạp, chỉ cần rút lui và tìm thứ hai, để có được khoảng tin cậy gần gũi. Dĩ nhiên, điều này đòi hỏi một số điều kiện, và sử dụng một số định lý.
Trong bài viết của mình, ông nói:
Thuyết toán thống kê ở cấp trung học chỉ ước tính giá trị mong đợi của các biến số ngẫu nhiên, lý thuyết đằng sau nó là lý thuyết giới hạn trung tâm. Để giới thiệu lý thuyết giới hạn trung tâm, bạn cần giới thiệu sự phân bố bình thường. Phần này chỉ là giới thiệu thông thường để xây dựng trực quan cho sinh viên về lý thuyết giới hạn trung tâm theo cách hoạt động.
Phương pháp giải thích này không chỉ có một số vấn đề, mà còn không thể nói rõ. Nếu như trong câu đầu tiên, lý thuyết đằng sau nó là lý thuyết giới hạn trung tâm, thì không biết từ đâu sinh ra? Đây không phải là quan điểm trong thống kê. Do cách giải thích trong chương trình giảng dạy không rõ ràng, những giáo viên toán trung học nghiêm túc, muốn dạy cho học sinh hiểu, chỉ cần nghiên cứu các nguyên tắc trong đó, giải thích riêng của họ.
Tại sao khái niệm khoảng tin cậy thường rơi vào tình trạng giống như những câu nói của các nhà văn?
Có 6 mặt trong một chuồng, và dưới một chuồng, tại sao bạn sẽ có khả năng số lẻ? Khăn trông không khác nhau, giả sử mọi mặt đều có khả năng xuất hiện giống nhau, tức là 1/6. Các mặt lẻ có 2, 4, và 6 như ba. Do đó, khả năng được tìm kiếm là 3/6. Đây là khả năng cổ điển, giả định cơ bản là khả năng giống nhau. Có một số hiện tượng được quan sát trước, và một số khác là có thể có lợi cho chúng ta.
Vào cuối tháng 7 và đầu tháng 8 năm 2009, Woods (Tiger Woods) đã tham gia Buick Open ở Michigan, Hoa Kỳ. Vòng đầu tiên kết thúc, tụt lại phía sau dẫn đầu đến 8 điểm, xếp hàng 95; gây ra nguy cơ anh ta không thể thoát khỏi sự nghiệp, lần đầu tiên hai trận đấu liên tiếp (trước đó là The Open Championship, thường được gọi ngoài Anh là British Open).
这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。
Một người đàn ông nhìn vào một cô gái, kinh ngạc, nghĩ rằng đây là cô dâu của mình. Sau khi đánh giá đầy tự tin, cơ hội theo đuổi mình là 80%. Những người khác không nhìn tốt, hỏi anh ta con số này là 8%.
Tỷ lệ xác suất chủ quan (subjective probability) cũng có thể dựa trên những sự kiện khách quan. Nhưng ngay cả khi đối mặt với cùng một thông tin, những người khác nhau có thể có những phán đoán khác nhau, do đó đưa ra xác suất chủ quan khác nhau.
Ví dụ như theo đuổi một cô gái, ít cô gái, sẽ cho bạn thử nghiệm, theo đuổi lặp đi lặp lại, và sau đó đếm một vài lần thành công, để xác định xác suất cô ấy sẽ bị bạn theo đuổi. Đối với những hiện tượng không thể quan sát lại, khi nói về xác suất, xác suất chủ quan thường được sử dụng. Mỗi buổi sáng ra ngoài, chúng ta không quen với việc nhìn lên trời và đánh giá xác suất mưa hôm nay là bao nhiêu?
Mặc dù nói về chủ quan, nhưng vẫn phải hợp lý. Ví dụ, bài kiểm tra có khả năng và không có khả năng. Nếu cho rằng khả năng đạt được là 0.9, điều đó không có vấn đề, người ta luôn luôn có một chút tự tin, nhưng nếu đồng thời lo lắng có khả năng 0.8 sẽ không đạt được, thì không thể.
Có một kẻ giết người cùng tên với người con trai, người tốt bụng nói với người mẹ rằng người mẹ đã giết người. Người mẹ nói rằng Nguyễn không giết người, tiếp tục dệt vải. Một lúc sau, người khác nói rằng người mẹ đã xuất hiện. Người mẹ vẫn tiếp tục dệt vải, con trai tốt như vậy có thể giết người như thế nào? Nhưng khi người thứ ba xuất hiện, người mẹ đã giết người, người mẹ đã sợ, bỏ ra công cụ dệt vải để lật tường.
Tất nhiên, bạn có thể không tin tưởng, bất kể kết quả của việc ném, tất cả mọi người đều nghĩ rằng đó chỉ là một tình huống tạm thời, và quyết tâm chắc chắn rằng đây là một tấm đồng công bằng. Điều này không thể không, giống như một người mẹ, thậm chí nhiều hơn nữa nhân chứng, cô sẽ không tin con trai của mình sẽ giết người miễn là cô không nhìn thấy trực tiếp. Hãy biết hiện tượng ngẫu nhiên, các sự kiện chỉ có thể xảy ra nếu xác suất là tích cực, bất kể giá trị xác suất nhỏ như thế nào, tất cả đều có thể xảy ra.
Mặc dù đã có ba giải thích về xác suất trên, nhưng cũng bao gồm nhiều trường hợp trong cuộc sống thực tế, các nhà toán học chắc chắn sẽ không dừng lại ở đây. Họ thích trừu tượng hóa và khái quát hóa. Giống như giải phương trình, họ sẽ tìm kiếm các công thức để biểu thị giải pháp cho một loại phương trình, thay vì chỉ thỏa mãn với việc tìm kiếm giải pháp đặc biệt cho một trường hợp.
Một tập hợp, gọi là không gian mẫu, là tập hợp của tất cả các kết quả có thể của một quan sát. Có thể thực sự có quan sát này, hoặc chỉ ảo. Một số tập hợp con của không gian mẫu, chúng ta quan tâm, đó là một sự kiện. Tất cả các sự kiện cũng tạo thành một tập hợp. Cuối cùng, xác định một hàm xác suất, tức là cho mỗi sự kiện, cho một giá trị giữa 0, 1 cho xác suất của sự kiện đó.
Trong đó không có yêu cầu quá lớn về không gian mẫu, nhưng không thể là một tập hợp trống. Và tập hợp các sự kiện, phải đáp ứng một số điều kiện. Nói đơn giản, đó là các sự kiện mà bạn quan tâm không thể quá ít. Ví dụ, bạn không thể chỉ quan tâm đến một sự kiện A xảy ra mà không quan tâm đến A. Vì vậy, tập hợp các sự kiện phải đủ lớn, ít nhất là tất cả những gì nên được đưa vào.
Trong cấu trúc của không gian xác suất, bất cứ người nào sử dụng cách nào để giải thích xác suất đều có thể biểu diễn và tìm ra ý nghĩa của xác suất mà họ đang làm. Nhưng sau khi được trừu tượng hóa, không còn bị giới hạn trong bảng đồng, cờ bạc, và bài poker, người ta có thể thảo luận về các vấn đề chung hơn và có đủ lý thuyết để khai thác.
Lý thuyết xác suất phát triển chậm hơn so với các lĩnh vực khác của toán học. Tuy nhiên, sau khi được công nhận, lý thuyết xác suất đã phát triển nhanh chóng và sâu sắc và trở thành một lĩnh vực quan trọng trong toán học. Điều này là nhờ vào một nhà xác suất học quan trọng của thế kỷ XX, nhà khoa học Nga Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) đã đặt nền tảng cho lý thuyết xác suất trong cuốn sách nhỏ dưới 100 trang được xuất bản năm 1933. Trong cuốn sách này, ông nói:
Lý thuyết xác suất như một ngành toán học có thể và nên được phát triển từ các nguyên lý theo cách giống như hình học và đại số.
Pierre-Simon, Marquis de Laplace (1749-1827), một người được gọi là Newton của Pháp, đã nói:
The science, which originated in the consideration of games of chance, should have become the most important object of human knowledge. Themost important questions of life are, for the most part, really only problemssof probability. (Science này, vốn bắt nguồn từ việc xem xét các trò chơi may mắn, nên đã trở thành đối tượng quan trọng nhất của kiến thức con người.
Bạn biết rằng đây là một hiện tượng chắc chắn, nhưng bạn vẫn có thể nói rằng khả năng xuất hiện của đầu người là 1 và khả năng xuất hiện của các trường hợp khác là 0; nghĩa là xem đây là một sự ngẫu nhiên ngẫu nhiên.
Một số nhà vật lý cho rằng một tấm đồng được ném, theo các điều kiện như tốc độ, góc độ, độ dẻo dai của mặt đất, hình dạng và trọng lượng của tấm đồng, có thể được tính toán sau khi tấm đồng rơi xuống, nên nó không phải là ngẫu nhiên. Đối với giải lotto, nếu các điều kiện ban đầu được xác định, quả bóng đó sẽ được phát ra, và nó cũng có thể được tính toán, vì vậy nó không phải là ngẫu nhiên.
Một số nhà thần học có thể nghĩ rằng mọi thứ thực sự diễn ra theo ý muốn của Thiên Chúa, nhưng chúng ta không biết. Không chắc chắn là như vậy. Bạn đã xem Jason và Argonauts? Đây là một bộ phim dựa trên thần thoại Hy Lạp, có liên quan đến Aries trong 12 sao, ra mắt năm 1963.
Với sự tiến bộ của công nghệ, mọi người dần dần hiểu được nhiều hiện tượng. Ví dụ, chúng ta biết rằng một khi phụ nữ mang thai, giới tính của em bé đã được xác định. Nhưng đối với một người phụ nữ có bụng lớn, người tốt, vì không biết, họ vẫn có thể đoán xác suất sinh con trai của họ. Vào đêm trước kỳ thi, các sinh viên chuẩn bị kỹ lưỡng, nhưng vẫn lấp đầy đầu óc với những suy đoán, mỗi người cho rằng họ nghĩ ra những câu hỏi có khả năng cao. Sau khi được giáo viên biết, họ cảm thấy vui vẻ.
Nhưng đối với giáo viên của bài toán đã được đề xuất, không có ý nghĩa gì để phán đoán xác suất mà bài toán đó sẽ đưa ra. Bởi đối với anh ta, mỗi bài toán sẽ đưa ra xác suất, chỉ có 1 hoặc 0, không có giá trị nào khác. Tương tự như vậy, đối với những người nhìn thấy trái cây phía sau, xác suất trái cây sẽ là quả táo hoặc quả táo, sẽ chỉ nói 1 hoặc 0.
Trong phần 2, chúng ta giới thiệu xác suất theo cách của không gian xác suất. Vì không gian mẫu có thể ảo, thì sự kiện cũng ảo. Nhưng giả sử thực sự có một quan sát, ví dụ như xả một bốn mặt, bốn mặt, số điểm đánh dấu 1, 2, 3, 4 và quan sát số điểm thu được. Không gian mẫu là tập hợp của 1, 2, 3, 4.
Và ngay cả khi bạn đã chấp nhận khái niệm về không gian xác suất, và các nhà toán học thường đưa ra một số định nghĩa thích thú, bạn vẫn có thể tự hỏi, cái gọi là xác suất 1 điểm xuất hiện là 0.1, điều đó có nghĩa là gì?
假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。
Bạn thực tế, có lẽ không thấy lời giải thích này thực tế lắm. Trước tiên đặt câu hỏi, bạn phải đặt câu hỏi gì là gần vô hạn? Bạn chỉ là ném liên tục, không ngừng, mặt trời mọc, mặt trời lặn, mùa xuân đến mùa thu, tiếp tục ném, ngay cả khi bạn đã thành công trong việc theo dõi, vô hạn vẫn chưa đạt được, bạn vẫn phải ném.
Để giải thích ý nghĩa của giá trị xác suất, bạn sẽ phải xoay vòng một lớp này qua một lớp khác giữa xác suất và vô hạn. Điều này giống như cố gắng định nghĩa cái gọi là điểm, kết quả sẽ giống như rơi vào một nhóm trực tuyến, khó khăn. Cuối cùng, chỉ cần nói rằng điểm là một danh từ không xác định. Nhưng dù sao đi nữa, bạn nên hiểu rằng đối với 4 mặt trên, chỉ ném một lần, không thể hiển thị một số điểm 1 có khả năng xuất hiện 0.1, ý nghĩa là 0.1.
Điều này có nghĩa là một trong những quy luật về số lượng lớn. Theo nghĩa toán học, tần suất tương đối của sự kiện, xác suất gặp gỡ, là xác suất xảy ra của sự kiện. Nhưng trong thế giới ngẫu nhiên, vẫn có một số quy tắc phải tuân theo, và luật số là một trong những điều quan trọng nhất.
Các sự kiện có thể xảy ra miễn là xác suất là dương; vì vậy, bất kể số lượng quan sát lớn hơn, không thể loại trừ sự kiện rất lệch (ví dụ như quan sát 1.000.000 lần, số điểm 1 xuất hiện là 0, hoặc 1.000.000 lần). Tuy nhiên, khi đó, nhà thống kê nhảy ra và có thể kiểm tra xem xác suất xuất hiện của số điểm 1 có thực sự là 0.1 hay không.
Nếu là bất thường, thì giả định ban đầu sẽ không được chấp nhận. Xin lưu ý rằng, nếu giả định một tấm đồng là công bằng, 100 lần được ném, xuất hiện ít nhất 80 lần dương, so với 10 lần được ném, xuất hiện ít nhất 8 lần dương, cái trước là bất thường hơn, bởi vì xác suất xảy ra của nó nhỏ hơn nhiều so với cái sau. Vì vậy, với cùng một số lượng tích cực hơn 80%, số lượng ném lớn hơn sẽ khiến chúng ta tin rằng tấm đồng này không công bằng hơn, và chấp nhận nó, xác suất xuất hiện tích cực của nó ít nhất là 0.8; Điều này cho thấy trong thống kê của chúng tôi, số lượng mẫu lớn hơn sẽ làm cho kết luận chính xác hơn.
Trong một thế giới ngẫu nhiên, chúng ta thường không biết chính xác ai là người thật. Chúng ta thường không thể chứng minh rằng điều đó là sự thật. Nhưng đó là một giả định, xem bạn chấp nhận giả định đó.
Ngoài ra, có một số phương pháp ước tính khác nhau, có thể có được các ước tính khác nhau. Trong toán học, sử dụng các phương pháp khác nhau, phải dẫn đến kết quả tương tự. Trong số liệu thống kê, trừ khi có một số hạn chế, thường không có phương pháp nhất định. Đối với tương lai không thể đoán trước, chúng ta thường phải ước tính, số liệu thống kê có thể đóng một vai trò tốt trong lĩnh vực này.
Chúng ta thường đưa ra ước tính về một số lượng chưa biết. Số lượng chưa biết có thể là xác suất xảy ra một sự kiện, một số tham số phân bố (như giá trị mong đợi và số lượng biến, v.v.) hoặc tuổi thọ của một vật thể. Những số lượng chưa biết này có thể được gọi là tham số. Đôi khi các tham số được ước tính trong một phạm vi và cho phép phạm vi này bao gồm xác suất của tham số đó.
Dữ liệu là cơ sở chính để các nhà thống kê đưa ra quyết định. Nếu không có dữ liệu, họ thường bỏ qua một tình huống đơn giản và phổ biến. Giả sử muốn ước tính khả năng xuất hiện của một mặt dương p trên một tấm đồng. Dĩ nhiên, một số lần được dự đoán, chẳng hạn như n lần, và quan sát kết quả n lần. Quá trình này được gọi là lấy mẫu. Trong trường hợp này, kết quả của các lần dự đoán không quan trọng.
Vì nó liên quan đến hai phân bố, tính toán phức tạp hơn, nếu n đủ lớn (n không thể quá nhỏ), chúng ta thường có thể sử dụng phân bố bình thường để gần. Đây là một định lý quan trọng khác trong lý thuyết xác suất là định lý giới hạn trung tâm.
Đối với ước tính khả năng xuất hiện của mặt đồng, trước khi lấy mẫu, phạm vi tin cậy là một phạm vi ngẫu nhiên, nếu mức độ tin cậy được đặt là 95%, thì có khả năng (hoặc chính xác hơn là có khoảng 0, nếu phạm vi tin cậy chỉ gần gũi) 0.95, và phạm vi tin cậy sẽ chứa p. Sau khi lấy mẫu, có một phạm vi cố định. Sau đó, p sẽ thuộc về phạm vi xác suất, sẽ không phải là 1 và 0, mà không còn là p. Tại sao?
Chúng ta hãy bắt đầu bằng ví dụ sau đây. Giả sử một đại lý đại lý kỷ niệm, khách hàng mua sắm đến một số tiền nhất định, bạn có thể rút 1 quả bóng số từ 1 đến 10. Nếu rút số 5, bạn có thể chi tiêu 30% tại công ty hôm nay. Trước khi rút, bạn biết rằng có 0.1 xác suất để có được phiếu thế chấp, cơ hội không nhỏ.
Có rất nhiều ví dụ như vậy. Trước khi đánh trúng, bạn có thể nói rằng tỷ lệ cược là 0.341 và 0.341 đã không được sử dụng. Một ví dụ nữa. Giả sử một số xổ số được phát hành bởi một ngân hàng, mỗi số từ 1 đến 42 sẽ mở ra 6 yard để giành chiến thắng. Bạn đã đặt cược 6 yard, trước khi thưởng, bạn biết rằng rất dễ dàng để đánh ít nhất 1 yard, vì xác suất là khoảng 0.629.
Xem thêm như trong chương trình giảng dạy, bạn cũng có thể mô phỏng số không định hình xuất hiện dương ((nếu trong chương trình giảng dạy có ít hơn hai chữ cái, thì không hiểu) xác suất là p của tấm đồng n lần, để tìm khoảng tin cậy. Bạn thấy, p là cơ bản được đặt trước, một trong những kết quả mô phỏng là một khoảng cố định, p có rơi vào đó, một cái nhìn hiểu được, làm thế nào để nói rằng khoảng này bao gồm p xác suất là 0.95?
Điều gì là 95%? 0.95 là một giá trị xác suất, và giá trị xác suất không bao giờ là kết quả của một thí nghiệm chỉ xem một lần. Bạn có thể nói rằng nếu lặp lại thí nghiệm, nhưng nhận được nhiều khoảng tin cậy, nó sẽ chứa số lượng khoảng tin cậy của p, chiếm khoảng 95% của tổng số khoảng tin cậy. Vì vậy, ý nghĩa của 0.95 giống như cách giải thích về xác suất của chúng tôi trong phần trước.
Vì xác suất liên quan đến thói quen cuộc sống của chúng ta, nên việc sử dụng xác suất một cách đúng đắn sẽ giúp đưa ra quyết định chính xác hơn trong một thế giới ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nó thường không dễ sử dụng, và các giá trị xác suất thường bị coi là sai.
Trong quá khứ, trong các bài học toán học, mọi người sẽ gặp những vấn đề được gọi là ứng dụng. Vấn đề hiểu, sau khi viết các công thức toán học, đó là giải toán.
Trong phim 21 điểm kết thúc (tên tiếng Anh là 21), giáo sư toán học đặt ra một câu hỏi trong lớp. Có ba cửa, một cửa sau là xe hơi, hai cửa sau là dê. Sau khi bạn chọn cửa thứ nhất, người dẫn chương trình mở cửa thứ hai và thấy dê.
Vâng, bởi vì cơ hội của tôi để có được chiếc xe sẽ tăng từ 33,33% lên 66,67% bằng cách chuyển từ cửa 1 đến cửa 3.
Ông nói: "Very good!" và đồng ý với ý kiến của ông, nghĩa là nên thay đổi.
Một cách nói đúng hơn là nếu người dẫn chương trình biết trước rằng chiếc xe đang ở phía sau cửa đó, thì anh ta sẽ mở một cửa sau đó là cửa dê (đây là một cách hợp lý hơn, nếu không trò chơi sẽ không thể diễn ra) khi đó nếu chọn cửa thứ ba, như học sinh trong bộ phim nói, khả năng nhận được chiếc xe sẽ tăng từ 1/3 lên 2/3; nhưng nếu người dẫn chương trình không biết trước rằng chiếc xe đang ở phía sau cửa thứ một (đây là một trường hợp hiếm có, tất nhiên), chỉ ngẫu nhiên chọn một cửa từ cửa thứ hai và thứ ba, và ngay sau đó là con dê, thì không cần thay đổi, thay thế hoặc không thay thế, có khả năng nhận được chiếc xe, tất cả đều là 1/2).
Tuy nhiên, có lẽ người đọc đã chú ý rằng trong trường hợp người chủ nhà biết trước rằng chiếc xe đang ở phía sau cánh cửa đó, chúng ta thực sự ngụ ý giả định rằng nếu cánh cửa thứ hai và thứ ba đều là dê, người chủ nhà sẽ ngẫu nhiên mở cửa thứ hai hoặc thứ ba. Trong thực tế, có thể có giả định chung hơn. Khi cánh cửa thứ hai và thứ ba đều là dê, giả sử người chủ nhà mở cửa thứ hai hoặc thứ ba với xác suất q1 và? q tương ứng, trong đó 0≤q≤1 và thay đổi cánh cửa thứ ba, có xác suất được chọn xe là 1/1 + q (xem lưu ý 2).
Một ví dụ khác. Một cặp vợ chồng vừa chuyển đến một cộng đồng, mọi người chỉ biết họ có hai đứa trẻ, không biết giới tính. Một ngày, một người quản lý cộng đồng, nhìn thấy một con chim trong gia đình này, đang chơi với một đứa trẻ trong nhà. Nếu đứa trẻ là một cô gái, hỏi hai đứa trẻ này là con gái. Nhiều người nghĩ rằng câu hỏi này không khó, nghĩ rằng khả năng được yêu cầu là 1/3.
Cuối cùng, hãy xem một ví dụ khác thường xuất hiện trong các sách giáo khoa xác suất. Có một vòng tròn trên mặt phẳng, vẽ một dây ngẫu nhiên, và xác suất chiều dài của một tam giác bên cạnh có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng hình học, kết nối của một đơn vị tròn. Nhưng làm thế nào để vẽ một dây ngẫu nhiên?
Những ví dụ trên cho chúng ta thấy, khi xử lý các vấn đề xác suất, tình huống phải được định nghĩa rõ ràng. Trong thuật ngữ, không gian xác suất phải được đưa ra rõ ràng, nếu không sẽ dẫn đến những lời nói khác. Đôi khi không có không gian xác suất, nhưng tình huống đơn giản hơn, mọi người có quan điểm chung, tại sao không đặc biệt nhấn mạnh không gian xác suất, vẫn không có vấn đề. Ví dụ: bạn ném một con số xác suất công bằng, tìm kiếm số lượng lớn hơn 4 xác suất.
Ngoài việc giải thích tình huống, một số khái niệm độc đáo trong xác suất, như xác suất điều kiện, độc lập và lấy mẫu ngẫu nhiên, cũng cần được chú ý cẩn thận khi áp dụng xác suất.