Handelsphilosophie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1987 war das hundertjährige Jubiläum des legendären indischen Mathematikers Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Zu seinem Gedenken gab es eine Reihe von Veranstaltungen. Der in Indien geborene C. Radhakrishna Rao (1920), ein bekannter zeitgenössischer Statistiker, wurde zu drei Vorträgen eingeladen.

• ### In der Einleitung zu der ersten Ausgabe schreibt Rauch:

In meiner Studentenzeit habe ich Mathematik als Logik der Folgerungen aus den gegebenen Voraussetzungen studiert. Später habe ich Statistik als eine rationale Methode des Lernens aus der Erfahrung studiert und die Logik der Voraussetzungen der Bestätigung aus den gegebenen Ergebnissen. Ich habe erkannt, dass Mathematik und Statistik in all den Bemühungen der Menschheit um die Förderung der natürlichen Kenntnisse und die effektive Verwaltung der täglichen Angelegenheiten von Bedeutung sind.

Ich glaube:

• In der letzten Analyse ist alles Wissen Geschichte.

• In einem abstrakten Sinne sind alle Wissenschaften Mathematik.

• In der Welt der Vernunft sind alle Urteile statistisch.

  Dieser Satz beschreibt in etwa die Bedeutung von Mathematik und Statistik und ihre jeweiligen Bedeutungen.

  In der Mathematik der Oberstufe werden seit langem die Themen der Wahrscheinlichkeit behandelt, wobei die klassische Wahrscheinlichkeit (d. h. mit dem gleichen Wahrscheinlichkeitsbalken, der die Wahrscheinlichkeit interpretiert) einen beträchtlichen Anteil ausmacht. Wahrscheinlichkeit wird daher oft mit der Reihenfolge verbunden, während die Reihenfolge eine komplizierte Mathematik ist. Obwohl die Schüler manchmal von den komplexen Themen verwirrt werden, ist dies nur ein technischer Aspekt, was in Bezug auf die Wahrnehmung meistens nicht so verwirrend ist.

  Der Vertrauensbereich wurde von einem anderen berühmten Statistiker, dem polnischen Geborenen Jerzy Neyman (1894-1981), der erst 1938 in die USA emigrierte, 1934 in einer Rede zum ersten Mal vorgeschlagen. Nach seiner Rede sagte der Präsident des Kongresses, Arthur Lyon Bowley (1869-1957), in seiner Rede, dass er nicht sicher sei, ob dieser Vertrauensbereich ein Vertrauensspiel sei. Als der Gedanke des Vertrauensbereichs von Neyman vorgebracht wurde, waren die meisten Statistiker, einschließlich des englischen Forschers Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962), der als der Begründer der modernen Statistik gilt, nicht einverstanden.

  Heute, mehr als siebzig Jahre später, haben die Statistiker die Bedeutung des Vertrauensbereichs natürlich vollständig verstanden. Nur in den Universitäten, sei es in Lehrbüchern wie Wahrscheinlichkeit und Statistik, Statistik oder Mathematik, gehört der Vertrauensbereich normalerweise zu den Themen der zweiten Hälfte. Das heißt, Universitätsstudenten haben in den entsprechenden Kursen eine ausreichende Basis für Wahrscheinlichkeitsstatistik, wenn sie mit dem Vertrauensbereich in Berührung kommen.

  Die wichtigsten Gründe für diese Vermutung sind ihre Bedeutung. Das kann man nur erkennen, wenn man in den Medien die Vertrauensspanne und das Vertrauen in die Ergebnisse verschiedener Umfragen sieht.

  In manchen Lehrbüchern gibt es verschiedene Vertrauensbereiche für verschiedene Parameter, unterschiedliche Verteilungen, unterschiedliche Vertrauensbereiche; auch wenn die gleichen Parameter und die gleiche Verteilung verwendet werden, können verschiedene Methoden verwendet werden, um verschiedene Vertrauensbereiche zu erhalten. Manchmal sind die Bedingungen nicht ausreichend oder die Berechnung ist kompliziert.

  Die Analogie zwischen normalen Verteilungen, Vertrauensbereichen und Vertrauensniveaus wird in der Analogie so dargestellt:

  Dieser Abschnitt dient lediglich als allgemeine Einführung, um die Intuition des Schülers für die Zentralpol-Beschränkung aktiv aufzubauen. Zu einem festen Vertrauensniveau gibt man eine Vertrauensintervallformel und lässt die Schüler dann in einer Zufriedenheitstabelle mit einer simulierten oder experimentellen Spekulation eine positive Wahrscheinlichkeit von p auf der Kupferplatte n Mal eingeben, um die Vertrauensintervallformel zu übertragen, um die Bedeutung des Vertrauensniveaus zu erklären; und erklärt damit, mit welchem Vertrauensintervall die meisten Schüler p erfassen.

  Dieser Satz hat einige Probleme, aber auch nicht klar zu sagen. Wie in dem ersten Satz der Theorie, die hinter dem Satz steht, ist die zentrale endgültige Logik. Ich weiß nicht, woher das kommt.

  Warum wird das Konzept der Vertrauensspanne so oft in eine ähnliche Situation wie die von Liu Xiaobo verwickelt? Wenn man nachdenkt, haben viele Lernende nicht richtig verstanden, was Wahrscheinlichkeit bedeutet.

• Die Bedeutung von Wahrscheinlichkeit

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Satz 6 Seiten hat und unter einem Satz eine gerade Zahl steht? Der Satz sieht nicht anders aus, wenn man davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit für jede Seite gleich ist, d. h. ¹⁄₆. Die Parse hat 2, 4 und 6 und so weiter. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist ³⁄₆ ‒ das ist die sogenannte klassische Wahrscheinlichkeit, die die gleiche Wahrscheinlichkeit darstellt.

Ende Juli und Anfang August 2009 nahm Tiger Woods an der Buick Open in Michigan teil. Er beendete die erste Runde mit 8 Punkten Rückstand und belegte Platz 95. Dies führte zu einer möglichen Auslösung seiner Karriere, als er zum ersten Mal zwei aufeinanderfolgende Partien spielte.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Woods mit 54 Löchern die Führung über die Endrunde gewann, war 35 Siege und 1 Niederlage, wie die Vergangenheit zeigte. Wollen Sie nicht raten, ob er später gewann? Es gibt Sportwettkämpfe, die oft in der Vergangenheit verwiesen werden können, aber die gleiche Wahrscheinlichkeit ist zu dieser Zeit nicht geeignet.

Ein Mann schaut auf ein Mädchen und ist überrascht, dass es seine Braut fürs Leben ist. Nach der Beurteilung ist er zuversichtlich und hat eine Chance von acht Prozent, selbstverständlich zu folgen. Die anderen sehen es nicht gut und fragen ihn, wie diese Zahl von acht Prozent auftaucht. Der Mann führt eine Geschichte an, die ein Zeichen nach dem anderen zeigt, dass das Mädchen ihm gut gefällt. Diese Wahrscheinlichkeit von 0,8 ist die sogenannte subjektive Wahrscheinlichkeit.

Subjektive Wahrscheinlichkeiten können natürlich auch auf der Erkenntnis von Objektiven Fakten basieren. Es ist nur so, dass verschiedene Personen, auch wenn sie mit den gleichen Informationen konfrontiert sind, unterschiedliche Beurteilungen treffen können, wodurch verschiedene subjektive Wahrscheinlichkeiten gegeben werden.

Wenn du zum Beispiel Mädchen verfolgst, gibt es ungefähr wenige Mädchen, die dich dazu bringen, Experimente durchzuführen, sie immer wieder zu verfolgen, und dann die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sie von dir verfolgt wird, indem du einige davon erfolgreich abzählst. Für solche Phänomene, die nicht wiederholt beobachtet werden können, kommt die subjektive Wahrscheinlichkeit oft in Frage, wenn es um Wahrscheinlichkeit geht.

Obwohl es sehr subjektiv ist, ist es trotzdem vernünftig. Zum Beispiel, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eine Prüfung belegt wird, 0,9 beträgt, ist das in Ordnung, man sollte immer etwas zuversichtlich sein, aber wenn man gleichzeitig befürchtet, dass die Wahrscheinlichkeit von 0,8 nicht belegt wird, ist das nicht in Ordnung. Die Wahrscheinlichkeit, dass verschiedene Möglichkeiten auftreten, beträgt 1 .

Die drei oben genannten Interpretationen sind übliche Interpretationen der Wahrscheinlichkeit, meistens sind es einige Denkweisen, mit denen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bewertet wird. Obwohl sie für verschiedene Situationen gelten, können sie häufig miteinander interagiert werden. Jeder hat die Legende eines Mordes gehört, bei dem ein gleichnamiger Enkelmann den Mord begangen hat, und der Wohlwollende erzählte der Enkelmutter, dass die Enkelmutter den Mord begangen hat. Die Mutter sagte, dass der Enkel nicht getötet habe, und fuhr fort zu weben. Nach einer Weile sagte jemand, dass der Enkelmutter den Mord begangen habe.

Natürlich können Sie nicht glauben, dass das Ergebnis des Werfens, was auch immer, alle glauben, dass es nur eine vorübergehende Situation ist, und der Wille ist fest davon überzeugt, dass dies eine faire Kupferplatte ist. Es ist nicht so, dass dies nicht funktioniert, wie es eine Mutter geben würde, auch wenn mehr Zeugen vorliegen würden, die nicht glauben würden, dass ihr Sohn jemanden töten würde, solange sie es nicht mit eigenen Augen gesehen hätte.

Obwohl die drei oben genannten Interpretationen von Wahrscheinlichkeiten auch viele Situationen im wirklichen Leben umfassen, hören die Mathematiker natürlich nicht auf. Sie mögen Abstraktionen und Verallgemeinerungen. Wie bei der Lösung von Gleichungen werden Formeln gesucht, um eine Lösung für eine bestimmte Art von Gleichung zu geben, anstatt sich nur mit der Lösung eines Einzelfalls zufrieden zu geben.

Was heißt es, in einer theoretischen Art und Weise, um eine Wahrscheinlichkeit einzuführen? Zuerst gibt es eine Sammlung, die als Stichprobenraum bezeichnet wird, als die Sammlung aller möglichen Ergebnisse einer bestimmten Beobachtung. Es kann wirklich diese Beobachtung geben, oder nur virtuell. Bestimmte Untergruppen des Stichprobenraums, die uns interessieren, sind einzelne Ereignisse.

Dabei wird nicht viel auf die Stichprobenfläche verlangt, aber es darf keine leere Sammlung sein. Die Sammlung von Ereignissen muss mehrere Bedingungen erfüllen. Einfach ausgedrückt: Es darf nicht zu wenige Ereignisse geben, die Sie interessieren. Zum Beispiel kann man nicht nur an einem Ereignis A interessiert sein, aber an A nicht interessiert sein. Daher sollte die Sammlung von Ereignissen groß genug sein, so dass zumindest einige davon einbezogen werden.

In der Struktur des Wahrscheinlichkeitsraums kann jeder, der die Wahrscheinlichkeit interpretiert, ihre eigene Bedeutung finden. Aber durch die Abstraktion ist es nicht mehr auf Kupferplatten, Stifte und Pokerkarten beschränkt, sondern kann über allgemeinere Probleme diskutiert werden, und es gibt genügend Theorien, die erschlossen werden können.

Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitslehre erfolgte im Vergleich zu anderen Bereichen der Mathematik erst später. Nach der Rationalisierung jedoch entwickelte sich die Wahrscheinlichkeitslehre rasch weit und wurde zu einem bedeutenden Bereich der Mathematik. Dies ist dem bedeutenden russischen Wahrscheinlichkeitswissenschaftler des 20. Jahrhunderts Andrei Nikolaevich Kolmogorov zu verdanken.

Die Theorie der Wahrscheinlichkeit als mathematische Disziplin kann und sollte aus Axiomen in genau der gleichen Weise wie Geometrie und Algebra entwickelt werden.

• ### Wo sind die Chancen?

Pierre-Simon Laplace, Marquis de Laplace (1749-1827), der auch als französischer Newton bezeichnet wird, sagte:

Diese Wissenschaft, die in der Betrachtung von Glücksspielen entstand, sollte das wichtigste Objekt menschlichen Wissens geworden sein. Die wichtigsten Fragen des Lebens sind zum größten Teil wirklich nur Probleme der Wahrscheinlichkeit.

Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf Zufall. Aber nicht alles in der Welt ist Zufall, wir haben gesagt, es gibt auch Notwendigkeit. Angenommen, wir werfen eine oder zwei Seiten der Kupferplatte des menschlichen Kopfes, und beobachten, um die andere Seite zu bekommen.

Einige Physiker glauben, dass bei einem Werfen von Kupferplatten die Richtung nach oben berechnet werden kann, wenn die Geschwindigkeit, der Winkel, die Elastizität des Bodens, die Form und das Gewicht der Kupferplatte angegeben sind. Daher ist dies kein Zufall. Was die Öffnung von Lotto angeht, so wird die Zahlenkugel ausgeschaltet, sofern die Anfangsbedingungen gemessen werden können.

Einige Theologen mögen glauben, dass alles tatsächlich nach Gottes Willen geschieht, aber wir wissen es nicht. Vielleicht ist es so. Hast du Jason und die Argonauten gesehen? Dies ist ein Film aus dem Jahr 1963, der auf der griechischen Mythologie basiert und mit dem Aries-Sternzeichen in den Zwölf Sternzeichen in Verbindung steht. Ich habe ihn als Kind gesehen, aber ich bin immer noch beeindruckt.

Mit dem Fortschritt der Technologie hat man allmählich begriffen, dass viele Phänomene zusammenhängen. Zum Beispiel wissen wir, dass das Geschlecht des Babys feststeht, sobald eine Frau schwanger ist. Aber die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau mit einem großen Bauch, der Wohltäter, unbekannt ist, kann immer noch vermutet werden. Am Vorabend der Prüfung haben die Schüler, obwohl sie sich sorgfältig vorbereitet haben, immer noch ihre Vermutungen ausgeschöpft, und jeder von ihnen denkt, dass die Wahrscheinlichkeit sehr hoch ist.

Aber für den Lehrer, der die Frage gestellt hat, ist es nicht sinnvoll, die Wahrscheinlichkeit zu beurteilen, dass die Frage gestellt wird. Für ihn ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Frage gestellt wird, nur 1 oder 0, keine anderen Werte. Ebenso kann man nur 1 oder 0 sagen, wenn man die Frucht hinter sich sieht. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Frucht eine Orange oder eine Apfel ist.

• ### Wahrscheinlichkeit der Erklärung

In Abschnitt 2 führen wir die Wahrscheinlichkeit auf die Weise des Wahrscheinlichkeitsraums ein. Da der Stichprobenraum virtuell sein kann, sind die Ereignisse dann auch virtuell. Aber nehmen wir an, dass es tatsächlich eine Beobachtung gibt, z. B. eine 4-Fläche, die jeweils die Punkte 1, 2, 3, 4 markiert und die Punkte beobachtet. Der Stichprobenraum ist eine Sammlung von 1, 2, 3, 4. Die Sammlung der Ereignisse kann die größte sein, d. h. die Sammlung, die aus allen Söhnen dieses Raums besteht.

Selbst wenn Sie die Vorstellung von einem Wahrscheinlichkeitsraum akzeptieren, die Mathematiker sowieso gerne definieren, können Sie sich fragen, was die Wahrscheinlichkeit von 0,1 für die Punktzahl 1 bedeutet. Ist es 10 mal pro Wurf, dass die Punktzahl 1 einmal erscheint?

Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl 1 n Mal a Mal auftritt, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit a/n mit 0,1 von der absoluten Differenz einer bestimmten positiven Zahl (unabhängig davon, wie klein sie ist) größer ist und sich mit n nahe an die Unendlichkeit nähert und sich an 0 nähert.

Sie, der pragmatische, finden diese Erklärung wahrscheinlich nicht sehr praktisch. Zuerst stellen Sie die Frage, was eine Annäherung an die Unendlichkeit ist. Sie werfen ständig, unaufhörlich, Sonnenaufgang und Sonnenuntergang, Frühling und Herbst, weiter werfen, auch wenn die Nachjagd erfolgreich ist, ist die Unendlichkeit noch nicht erreicht. Der Mathematik-Absolvent, als er hörte, dass Sie nach der Unendlichkeit fragen, ist wie ein Fisch, das ist einer der wenigen Tricks, die er in den vier Jahren der Mathematik gelernt hat.

Wenn man versucht, die Bedeutung eines Wahrscheinlichkeitswertes zu erklären, wird man sich in der Wahrscheinlichkeit und unendlich groß, Ebenen um Ebenen drehen. Das ist so, als würde man versuchen, zu definieren, was ein Punkt genannt wird, und das Ergebnis wird wie in einer Linie zu stecken, Lernschwierigkeiten. Letztendlich ist der Punkt ein undefiniertes Nomen. Aber in jedem Fall sollten Sie verstehen, dass es für die oben genannten 4 Seiten, nur um 1 Mal zu werfen, nicht möglich ist, die Wahrscheinlichkeit 0.1 zu zeigen, was bedeutet, dass 0.1.

Das ist eine einfache Version des Gesetzes der großen Zahlen. Mathematisch bedeutet das, dass die relative Häufigkeit der Ereignisse, die Wahrscheinlichkeit der Begegnung, die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse zusammenfällt. In einer zufälligen Welt gibt es immer noch einige Gesetze, die befolgt werden müssen, und das Gesetz der großen Zahlen ist eines der wichtigsten. Natürlich haben wir bereits darauf hingewiesen, dass es praktisch nicht möglich ist, Ereignisse unbegrenzt zu beobachten.

Ein Ereignis kann passieren, solange die Wahrscheinlichkeit positiv ist. Also kann man, egal wie groß die Anzahl der Beobachtungen ist, nicht ausschließen, dass ein sehr voreingenommenes Ereignis auftritt (z. B. bei einer Beobachtung von 1.000.000 Mal ist die Anzahl der Punkte 1, die 0 oder 1.000.000 Mal auftreten). Aber dann springt der Statistiker heraus und kann überprüfen, ob die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl 1 auftritt, wirklich 0.1 ist.

Wenn es sich um ungewöhnlich handelt, ist die ursprüngliche Annahme nicht akzeptabel. Als Nebenbemerkung, wenn angenommen wird, dass eine Kupferplatte fair ist, werden 100 Würfe mit mindestens 80 positiven Ergebnissen, verglichen mit 10 Würfen mit mindestens 8 positiven Ergebnissen, die erstere ist ungewöhnlicher, da die Wahrscheinlichkeit, dass sie auftritt, viel geringer ist als die letztere.

In der Welt der Zufälligkeit ist es oft unbekannt, was wahr ist. Wir können oft nicht beweisen, dass etwas wahr ist. Es ist nur eine Hypothese, die wir annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die 4-Facet-Nummer 1 auftritt, ist 0,1, und selbst wenn wir sie mehrmals werfen, können wir nicht beweisen, dass sie falsch ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt 1 auf einer 4er-Fläche erscheint, kann auch geschätzt werden. Es gibt verschiedene Schätzmethoden, die unterschiedliche Schätzungen ermöglichen. In der Mathematik müssen verschiedene Methoden verwendet werden, um zu demselben Ergebnis zu gelangen.

• ### Vertrauensbereich

Die unbekannte Menge kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sein, die Parameter einer Verteilung (z. B. Erwartungen und Variablen) oder die Lebensdauer eines Objekts. Diese unbekannten Mengen werden als Parameter bezeichnet. Manchmal werden die Parameter in einem Bereich geschätzt, der die Wahrscheinlichkeit dieses Parameters umfasst.

Daten sind die Hauptgrundlage für die Entscheidungsfindung der Statistiker. Wenn Daten fehlen, werden sie oft nicht ausgearbeitet. Schauen Sie sich eine einfache und häufige Situation an. Angenommen, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit einer Positivplatte p schätzen. Natürlich werden mehrere Würfe gemacht, z. B. n Mal, und die Ergebnisse von n Mal beobachtet.

Da es sich hierbei um eine binäre Verteilung handelt, ist die Berechnung etwas komplizierter, und wenn n groß genug ist (n ist nicht zu klein), können wir sie oft mit Hilfe der Normalverteilung annähern. Dies ist mit Hilfe eines weiteren wichtigen Gesetzes in der Wahrscheinlichkeitstheorie, dem Central Limit Theorem, möglich. Es muss erwähnt werden, dass die Zentrallimit Theorie nur dann verwendet wird, wenn sie mit einer Normalverteilung annähert wird, und nicht für alle Abhängigkeitsbereiche.

Die Wahrscheinlichkeit p, dass eine positive Seite auf der geschätzten Kupferplatte erscheint, wird vor der Probenahme als Zufallsbereich betrachtet. Wenn der Vertrauensgrad auf 95% gesetzt wird, gibt es eine Wahrscheinlichkeit von 0,95, dass der Vertrauensbereich p enthält. Nach der Probenahme wird ein fester Bereich erhalten.

Wir zeigen das folgende Beispiel an. Angenommen, ein Warenhaus feiert sein Jubiläum, und die Kunden kaufen einen bestimmten Betrag, können Sie 1 von 1 bis 10 auswählen. Wenn Sie 5 auswählen, erhalten Sie heute einen 30%-Gutschein für die Ausgaben des Unternehmens.

Es gibt viele solche Beispiele. Wenn man vor dem Schlag die Handwaffe schwingt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass man einen Einsatz macht, 0.341, und wenn man nicht den Einsatz macht, ist der Einsatz nicht der Einsatz, und 0.341 ist nicht von Nutzen. Ein weiteres Beispiel.

Wie in der Lernplanung gesagt, kann auch die Zufallszahlen-Simulation positive erscheinen (in der Lernplanung gibt es keine positiven Zufallszahlen, was nicht zu verstehen ist) mit einer Wahrscheinlichkeit von p, die Kupferplatte n-mal, um Vertrauen zu bekommen. Sie sehen, p ist grundsätzlich vorab festgelegt, simulieren Sie eine der festen Bereiche, in die p fällt, auf den ersten Blick, wie kann man sagen, dass die Zone die Wahrscheinlichkeit von p umfasst?

Was ist mit diesen 95%? 0,95 ist ein Wahrscheinlichkeitswert, und ein Wahrscheinlichkeitswert ist nie nur das Ergebnis eines Experiments, das nur einmal gesehen wird. Es kann so etwa gesagt werden, dass, wenn ein Experiment wiederholt wird und viele Vertrauensbereiche erhalten werden, die Anzahl der Vertrauensbereiche p enthalten wird, was etwa 95% der Gesamtzahl der Bereiche ausmacht.

• ### Die Situation interpretieren

Wahrscheinlichkeiten sind mit unseren Lebensgewohnheiten verbunden, und wenn wir sie gut nutzen können, können wir in einer zufälligen Welt präzisere Entscheidungen treffen. Wahrscheinlichkeiten sind jedoch oft nicht einfach anzuwenden, und die erhaltenen Wahrscheinlichkeitswerte werden oft als falsch angesehen.

In der Vergangenheit haben wir in Mathematikkursen auf so genannte Anwendungsfragen gestoßen. Wenn wir die Frage verstanden haben und die mathematischen Formeln geschrieben haben, ist es Mathematik. Dann können wir die ursprüngliche langwierige Erzählung beiseite lassen.

In dem Film “21” stellt der Mathematikprofessor in der Klasse eine Frage. Es gibt drei Türen, hinter einer Tür steht ein Auto, hinter zwei Türen eine Ziege.

Yes, because my chance of getting the carwill increase from 33.33% to66.67% by switching from door 1 to door 3.

Der Professor sagt: “Very good!” und stimmt mit ihm überein.

Wenn der Moderator im Voraus weiß, dass das Auto hinter der Tür ist, dann öffnet er 1 Tür und dann die Ziegentür. (Dies ist ein vernünftiger Ansatz, sonst ist das Spiel nicht möglich.) Wenn er die dritte Tür auswählt, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, wie der Schüler im Film beschreibt, um ¹⁄₃ auf ²⁄₃.

Aber vielleicht hat der Leser bemerkt, dass wir auch eine Hypothese anstellen, wenn der Moderator im Voraus weiß, dass das Auto hinter dieser Tür ist. Wenn die Türen 2 und 3 alle von Ziegen sind, öffnet der Moderator die Tür 2 oder 3 zufällig (d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von ¹⁄₂). In der Tat kann es eine allgemeinere Hypothese geben. Wenn die Türen 2 und 3 alle von Ziegen sind, nehmen wir an, dass der Moderator die Tür 2 oder 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von q = 1?q öffnet, wobei 0≤q≤1 .

Ein anderes Beispiel: Ein Ehepaar, das gerade in eine Gemeinde gezogen ist und von dem nur bekannt ist, dass es zwei Kinder hat, ohne dass das Geschlecht bekannt ist. Eines Tages sieht ein Gemeindeverwalter die Mutter des Hauses mit einem Kind im Haus spielen. Wenn es ein Mädchen ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind, sehr hoch.

Ein weiteres Beispiel, das in Lehrbüchern zur Wahrscheinlichkeitslehre häufig vorkommt: Es gibt einen Einheitskreis in der Ebene, in dem eine Schnur zufällig gezeichnet wird, und die Wahrscheinlichkeit, dass die Schnur größer ist als die Länge der Randlänge eines gleichseitigen Dreiecks mit der Innenseite des Kreises. Mit Hilfe der Geometrie kann die Länge der Randlänge eines gleichseitigen Dreiecks mit der Innenseite des Einheitskreises ermittelt werden.[Wir nehmen also eine Zahl von 0,1] und wir nehmen eine Zahl von 0,1] und wir nehmen eine Zahl von 0,1] und wir nehmen eine Zahl von 0,1.[Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Abstands von 0,1] ist die Länge dieses Abstands. Aber was ist mit einer zufälligen Zeichenfolge? Es gibt viele Interpretationen für den Begriff zufälliger Zeichenfolge.

Diese Beispiele zeigen uns, dass die Situation bei der Bearbeitung von Wahrscheinlichkeitsfragen klar definiert sein muss. In der Terminologie bedeutet es, dass der Wahrscheinlichkeitsraum eindeutig angegeben werden muss, da dies zu Meinungsverschiedenheiten führen wird. Manchmal wird der Wahrscheinlichkeitsraum nicht angegeben, aber die Situation ist einfacher, und alle haben eine gemeinsame Meinung, ohne dabei besonders darauf hinzuweisen, was der Wahrscheinlichkeitsraum ist.

Neben der kontextuellen Interpretation sind einige der einzigartigen Konzepte der Wahrscheinlichkeit, wie z. B. die bedingte Wahrscheinlichkeit, die Unabhängigkeit und die Zufallsstichprobe, auch bei der Anwendung der Wahrscheinlichkeit zu beachten.