L'année 1987 marque le centenaire de la naissance du légendaire mathématicien indien Ramanujan (Srinivasa Ramanujan, 1887-1920). Une série d'activités est organisée en sa mémoire. Le célèbre statisticien contemporain, né en Inde, Rao (C. Radhakrishna Rao, 1920), est également invité à donner trois conférences.
En tant qu'étudiant, j'ai étudié les mathématiques, une logique qui déduit les résultats d'une hypothèse donnée. Plus tard, j'ai étudié la statistique, une méthode rationnelle qui apprend de l'expérience et la logique qui prouve les hypothèses d'une hypothèse donnée. J'ai réalisé que les mathématiques et les statistiques jouent un rôle important dans tous les efforts de l'homme pour améliorer les connaissances naturelles et gérer efficacement ses affaires quotidiennes.
Je suis convaincu:
Dans l'analyse finale, tout savoir est historique.
Dans le sens abstrait, toutes les sciences sont des mathématiques.
Dans le monde de la raison, tous les jugements sont statistiques.
Ce passage décrit de manière générale l'importance des mathématiques et des statistiques, ainsi que leurs implications respectives.
Pendant longtemps, les mathématiques du secondaire ont couvert les sujets de probabilité, dont les probabilités classiques (c'est-à-dire l'explication de la probabilité par des probabilités identiques) ont également constitué une proportion non négligeable. Par conséquent, les probabilités sont souvent associées à des combinaisons d'arrangements, tandis que les combinaisons d'arrangements sont des combinaisons mathématiques plus négligeables. Bien que les étudiants soient parfois distraits par des sujets complexes, les étudiants sont parfois distraits. Mais ce n'est qu'un aspect technique, au niveau cognitif, qui n'est généralement pas trop déroutant.
L'histoire de l'histoire de la statistique, l'intervalle de confiance, est une autre statisticien de renom, Jerzy Neyman (1894-1981), né en Pologne et immigré aux États-Unis en 1938. Il est mon grand-père, c'est-à-dire le professeur-directeur de mon professeur-directeur. Il a été introduit dans une conférence en 1934. À la fin de sa conférence, le président de la conférence Arthur Lyon Bowley (1869-1957) a déclaré dans un discours: "Je ne suis pas sûr que cette confiance ne soit pas un jeu de confiance".
Les années ont passé, plus de soixante-dix ans ont passé, et les statisticiens d'aujourd'hui ont bien sûr parfaitement compris le sens de l'intervalle de confiance. Mais dans les universités, les intervalles de confiance appartiennent généralement à la seconde moitié des manuels de probabilité et de statistique, de statistique et de statistique mathématique. C'est-à-dire que les étudiants universitaires ont généralement une base statistique de probabilité suffisante lorsqu'ils entrent en contact avec l'intervalle de confiance dans les cours concernés.
Pourquoi ce sujet, qui est un peu profond, a-t-il été intégré dans les manuels de mathématiques du secondaire? Je suppose que c'est principalement à cause de son importance. Cela se comprend à la fois par la confiance et le niveau de confiance dans les médias, qui publient souvent les résultats des enquêtes.
Dans certains manuels de statistique, l'intervalle de confiance représente une partie importante d'un chapitre. Des intervalles de confiance différents peuvent être utilisés pour différents paramètres, différentes distributions; même avec les mêmes paramètres et la même distribution, il est possible d'utiliser différentes méthodes pour obtenir des intervalles de confiance différents. Parfois, pour des raisons d'insuffisance de conditions ou de complexité de calcul, il suffit de revenir en arrière et d'obtenir un intervalle de confiance approximatif. Bien sûr, cela nécessite des conditions et l'utilisation de certains théorèmes.
Il y a une différence entre la distribution normale, l'intervalle de confiance et le niveau de confiance.
Les calculs statistiques au niveau secondaire ne font que des estimations des valeurs attendues des variables aléatoires, et la théorie derrière elle est la théorie de la limite centrale. Pour introduire la limite centrale, il faut introduire une distribution normale. Cette partie est uniquement une introduction universelle pour donner aux élèves une idée de la limite centrale de manière active.
Cette interprétation de ce passage pose non seulement plusieurs problèmes, mais ne peut pas être dite claire. Si la première phrase de ce passage est basée sur la théorie de l'hypothèse de l'extrême limite centrale, on ne sait pas d'où elle vient. Cette opinion n'est pas statistique.
Pourquoi la notion d'intervalle de confiance est-elle si souvent réduite à l'état d'échec, comme l'explique le professeur de mathématiques?
Pourquoi une pile a-t-elle 6 faces, et sous une pile, on obtient des probabilités d'un nombre pair? Les paires ne semblent pas différentes, on suppose que chaque face a la même probabilité d'apparaître, c'est-à-dire 1/6 alors que les faces paires ont 2, 4, et 6 etc. Ainsi, la probabilité recherchée est de 3/6. C'est ce qu'on appelle la probabilité classique, l'hypothèse de base est que la pile a les mêmes possibilités. Il y a plusieurs possibilités de phénomènes à observer en premier, et nous sommes intéressés par plusieurs autres.
Fin juillet et début août 2009, le champion du monde de golf Tiger Woods participe au Buick Open au Michigan. Il termine le premier tour en se plaçant à 8 points du leader, au 95e rang. Il risque de ne pas échapper à sa carrière, et pour la première fois de sa carrière, il est éliminé deux matches de suite.
这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。
Quelqu'un regarde une fille, stupéfait, et pense que c'est la mariée de sa vie. Après l'évaluation, il est plein de confiance, il a 80% de chances de s'identifier. Les autres ne sont pas contents et lui demandent comment il a eu ce chiffre de 8%.
Les probabilités subjectives peuvent bien sûr être basées sur des faits objectifs. Mais même face à la même information, différentes personnes peuvent avoir des jugements différents, et donc donner des probabilités subjectives différentes.
Par exemple, pour une fille, il y a peu de filles qui vous demandent de faire des expériences, de la chasser à plusieurs reprises, puis de compter quelques-unes qui réussissent plusieurs fois, pour déterminer la probabilité qu'elle soit atteinte par vous. Pour ce genre de phénomènes qui ne peuvent pas être observés à plusieurs reprises, la probabilité subjective est souvent utilisée quand on parle de probabilité.
Bien que l'on puisse dire qu'il est subjectif, il faut quand même être raisonnable. Par exemple, un examen a une probabilité de réussite ou d'échec. Si l'on pense que la probabilité de réussite est de 0,9, ce n'est pas un problème, il faut toujours être un peu confiant, mais si l'on craint en même temps que la probabilité de réussite soit de 0,8, ce n'est pas possible.
Les trois explications ci-dessus sont des interprétations courantes de la probabilité, c'est-à-dire plusieurs pensées sur la taille et la probabilité d'un événement. Bien que pour des situations différentes, elles peuvent souvent être utilisées en interaction. Nous avons tous entendu parler d'un homicide du même nom que son oncle, et les gens bien intentionnés ont dit à sa mère que sa mère avait tué son oncle. Sa mère a dit que Liu Yuguo n'avait pas tué son oncle et avait continué à tisser du tissu.
Bien sûr, vous pouvez être incrédule, quel que soit le résultat du tirage, tout le monde pense que ce n'est qu'une situation éphémère, et la volonté est fermement convaincue qu'il s'agit d'une plaque de cuivre équitable. Ce n'est pas impossible, comme si une mère, même si elle a plus de témoins, ne croyait pas que son fils tuerait tant qu'elle ne l'a pas vu de ses propres yeux. Sachez que les phénomènes aléatoires, les événements sont possibles tant que la probabilité est positive, quelle que soit la valeur de probabilité, tout est possible.
Bien que les trois explications de probabilité ci-dessus couvrent de nombreuses situations de la vie réelle, les mathématiciens ne s'arrêtent pas là. Ils aiment l'abstraction et la généralisation. Comme les équations, ils recherchent des formules pour exprimer une solution à un certain type d'équation, plutôt que de se contenter de trouver une solution à un cas particulier. Une fois que vous avez une connaissance complète du système de nombres réels, vous définissez le système de nombres réels de manière axiomatique.
Qu'est-ce qu'on appelle une méthode rationalisée pour introduire une probabilité? Il faut d'abord un ensemble, appelé l'espace d'échantillons, qui est le ensemble de tous les résultats possibles d'une observation. Cette observation peut être réelle ou virtuelle. Certains sous-ensembles de l'espace d'échantillons, qui nous intéressent, sont des événements individuels. Tous les événements constituent également un ensemble.
Il n'y a pas trop d'exigences quant à l'espace de l'échantillon, mais il ne peut pas être un ensemble vide. Un ensemble d'événements doit satisfaire à certaines conditions. En termes simples, il ne peut pas y avoir trop d'événements qui vous intéressent. Par exemple, vous ne pouvez pas être intéressé par un événement A et ne pas être intéressé par un événement A. Il doit donc y avoir un ensemble d'événements suffisamment grand pour que tout soit inclus.
Dans l'architecture de l'espace de probabilité, peu importe la manière dont on interprète la probabilité, chacun peut s'exprimer et trouver le sens de la probabilité qu'il veut. Mais une fois l'abstraction terminée, on ne se limite plus à la planche de cuivre, aux cravates et aux cartes de poker, et on peut discuter de questions plus générales, et il y a suffisamment de théories à explorer.
Le développement de la théorie des probabilités est plus tardif que dans d'autres domaines des mathématiques. Mais après sa rationalisation, la théorie des probabilités a rapidement pris de l'ampleur et est devenue un domaine important des mathématiques. Tout cela est dû à l'important probabiliste du XXe siècle, le russe Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) qui a posé les bases de la théorie des probabilités dans son petit livre de moins de 100 pages, publié en 1933. Dans ce livre, il dit:
La théorie de la probabilité comme discipline mathématique peut et devrait être développée à partir d'axiomes de la même manière que la géométrie et l'algèbre.
Le marquis de Laplace (Pierre-Simon, Marquis de Laplace, 1749-1827), surnommé le Newton français, a déclaré:
Cette science, qui a son origine dans la considération des jeux de hasard, devrait être devenue l'objet le plus important de la connaissance humaine. Les questions les plus importantes de la vie sont, pour la plupart, vraiment seulement des problèmes de probabilité.
La probabilité est pour un phénomène aléatoire. Mais tout n'est pas aléatoire, nous l'avons dit, il y a aussi une inévitabilité. Supposons que vous lanciez une ou deux faces de la tête d'un homme et que vous observez et obtenez cette face. Vous savez que c'est un phénomène inévitable, mais vous pouvez toujours dire que la probabilité d'une tête d'homme est de 1 et que les autres sont de 0.
Certains physiciens pensent, sans doute, que la planche de cuivre projetée, en fonction de la vitesse, de l'angle, de l'élasticité du sol, de la forme et du poids de la planche de cuivre, peut être calculée après la pose de la planche de cuivre, et donc ce n'est pas aléatoire. Quant au loterie, si les conditions initiales peuvent être déterminées, la balle est ouverte et calculée, ce n'est pas aléatoire non plus.
Certains théologiens pourraient penser que tout se passe en fait selon la volonté de Dieu, mais nous ne savons pas. Nous ne pouvons pas être sûrs que c'est le cas. Avez-vous vu Jason et les Argonautes? C'est un film basé sur le mythe grec, sur le signe du Bélier dans le zodiaque 12, sorti en 1963.
Avec les progrès de la technologie, les gens comprennent progressivement le déroulement de nombreux phénomènes. Par exemple, nous savons que les femmes, une fois enceintes, le sexe de l'enfant est déterminé. Mais pour une femme qui a un gros ventre, les bonnes choses ne savent pas, ils peuvent encore deviner la probabilité de leur fille. La veille de l'examen, les étudiants, bien que sérieusement préparé, mais encore en train de deviner dans leur cerveau, chacun d'entre eux pensent que la probabilité est grande.
Mais pour le professeur d'un problème déjà proposé, il n'a pas d'importance de juger de la probabilité que ce problème soit trouvé. Car pour lui, chaque problème a une probabilité d'obtenir seulement 1 ou 0, aucune autre valeur. De même, pour celui qui voit le fruit derrière lui, la probabilité que ce soit une grenouille ou une pomme ne dira que 1 ou 0. Le hasard est différent du hasard.
Dans la section 2, nous introduisons la probabilité par l'intermédiaire d'un espace de probabilités. Puisque l'espace d'échantillons peut être virtuel, alors l'événement est virtuel. Mais supposons qu'il y ait vraiment une observation, comme projeter un objet à quatre faces, avec les points 1, 2, 3, 4 et les points obtenus. L'espace d'échantillons est alors un ensemble de 1, 2, 3, 4. L'ensemble des événements peut être le plus grand, c'est-à-dire le ensemble composé de tous les sous-ensembles de l'espace d'échantillons.
Même si vous avez déjà accepté la notion d'espace de probabilité, car les mathématiciens donnent souvent des définitions amusantes, vous vous demandez peut-être ce que signifie la probabilité d'apparition d'un nombre de points 0.1.
假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。
Si vous êtes pragmatique, vous ne trouverez probablement pas que cette explication est très pratique. D'abord, vous devez vous demander ce qu'est le rapprochement de l'infini. Vous ne pouvez pas arrêter de lancer, le soleil se lève, le soleil se couche, le printemps et l'automne, et vous pouvez continuer à lancer, même si vous avez réussi, l'infini n'est pas encore atteint.
Pour expliquer la signification de la valeur de probabilité, il faudra tourner une fois de plus la probabilité et l'infini. C'est comme essayer de définir ce que l'on appelle un point, le résultat sera comme tomber dans un groupe en ligne, à la perfection. Enfin, je dirais que le point est un nom sans définition. Mais, de toute façon, vous devriez comprendre que pour les 4 facettes ci-dessus, lancer une seule fois, c'est impossible de montrer que le nombre 1 a une probabilité de 0.1, ce qui signifie que 0.1. La probabilité n'est pas seulement le résultat de quelques coups de poing.
L'explication de l'étudiant en mathématiques précédent peut alors être utilisée. C'est une version simplifiée de la loi des grands nombres. En mathématiques, cela signifie que la fréquence relative des événements, la probabilité d'événement, est convergente à la probabilité d'événement.
Les événements sont possibles tant que la probabilité est positive. Ainsi, peu importe le nombre d'observations, il n'est pas exclu que des événements très biaisés (comme des observations 1,000,000, où le nombre de fois où le point 1 apparaît est 0, ou 1,000,000) se produisent. Cependant, les statisticiens ont sauté et peuvent faire une vérification pour déterminer si la probabilité d'apparition du point 1 est vraiment 0.1, ce qui appartient à la catégorie des hypothèses de test en statistique.
Si l'hypothèse initiale appartient à l'inhabituel, elle n'est pas acceptable. En outre, si l'on suppose qu'une planche de cuivre est équitable, elle est lancée 100 fois et présente au moins 80 positifs, contre 10 lancements et présente au moins 8 positifs, le premier étant plus inhabituel, car sa probabilité d'apparition est bien inférieure à celle du second. Ainsi, en obtenant le même nombre de positifs de plus de 80%, le plus grand nombre de lancements nous fera croire que la planche de cuivre est injuste, et accepter sa probabilité d'apparition positive est au moins de 0.8; ce qui indique que dans nos statistiques, le plus grand échantillon rendra la conclusion plus précise.
Dans un monde aléatoire, on ne sait pas exactement qui est vrai. On ne peut souvent pas prouver que ce qu'on a fait est vrai. Mais c'est une hypothèse, que l'on accepte. La probabilité que le nombre de points de 4 faces 1 se produise est 0.1, et même si on le lance plusieurs fois, on ne peut pas prouver sa véracité.
En outre, il existe différentes approches pour estimer la probabilité de l'apparition d'un point 1 sur quatre facettes différentes. Dans les mathématiques, il faut utiliser des méthodes différentes pour obtenir les mêmes résultats. On appelle cela la convergence des chances. Mais dans les statistiques, il n'y a souvent pas de méthode unique, sauf si certaines restrictions sont imposées.
Nous faisons souvent des estimations sur une quantité inconnue. Une quantité inconnue peut être la probabilité d'un événement, des paramètres d'une distribution (tels que les valeurs attendues et les variables, etc.) ou la durée de vie d'un objet. Ces quantités inconnues sont communément appelées paramètres.
Les données sont la base principale sur laquelle les statisticiens prennent des décisions. Lorsqu'il n'y a pas de données, ils ne font souvent pas attention à la situation simple et courante. Supposons qu'il s'agisse d'estimer la probabilité d'apparition d'une face positive sur une plaque de cuivre p. Naturellement, il est préférable de projeter plusieurs fois, par exemple n fois, et d'observer les résultats n fois.
Comme il s'agit d'une distribution binaire, le calcul est plus compliqué, si n est suffisamment grand (n ne peut pas être trop petit), nous pouvons souvent approcher à l'aide d'une distribution normale.
Pour l'estimation de la probabilité de l'apparition d'une plaque de cuivre positive p, avant l'échantillonnage, l'intervalle de confiance est un intervalle aléatoire, si le niveau de confiance est fixé à 95%, il y a (ou plus précisément, il y a une probabilité de 0,95 si l'intervalle de confiance est seulement approximatif), l'intervalle de confiance contient p; après l'échantillonnage, un intervalle fixe est obtenu.
Nous allons commencer par l'exemple suivant. Supposons qu'à l'occasion de l'anniversaire d'une entreprise de supermarchés, les achats des clients atteignent un certain montant, vous pouvez tirer 1 billet de loterie parmi les numéros 1 à 10. Si vous tirez le numéro 5, vous obtiendrez 30% de billet de crédit-bail pour les dépenses de la société aujourd'hui. Avant le tirage au sort, vous savez qu'il y a une probabilité de 0,1 d'obtenir un billet de crédit-bail, la chance n'est pas petite.
Il y a beaucoup d'exemples. Avant de frapper le bâton, on peut dire que la probabilité de frapper est de 0,341, après avoir frappé ou non, 0,341 n'a pas été mis en jeu. Donnez un autre exemple. Supposons qu'une loterie émise par une banque ouvre 6 yards de 1 à 42 pour chaque numéro de loterie.
Voyez-vous, p est fondamentalement prédéfini, un des résultats d'analyses est un intervalle fixe, p est-il tombé à l'intérieur, un coup d'œil, comment peut-on dire que la probabilité de couverture de cette zone est de 0.95? Même si vous n'êtes pas un simulateur, mais en fait prendre une plaque de cuivre, alors p est seulement inconnu, mais pour une certaine (par exemple, une unité de la plaque de cuivre ne sait pas) la probabilité de la plaque de cuivre après le lancement, n'est pas aléatoire, elle ne couvre que la même valeur p, ou ne couvre pas p. Ainsi, comment peut-on dire que la plaque de cuivre, 95% de la confiance de chaque personne obtenue, a une dépendance individuelle, tout le monde peut déclarer que la couverture de sa zone est de 950.
Quel est l'intérêt de ce 95%? 0.95 est une valeur de probabilité, et la valeur de probabilité n'est jamais un résultat d'une expérience que l'on regarde une seule fois. On peut dire à peu près que si l'on répète l'expérience et qu'on obtient beaucoup d'intervalles de confiance, il contiendra le nombre d'intervalles de confiance de p, qui représente environ 95% de l'ensemble des intervalles.
Comme la probabilité est liée à nos habitudes de vie, une bonne utilisation de la probabilité nous aidera à prendre des décisions plus précises dans un monde aléatoire. Cependant, il est souvent difficile de l'appliquer et les valeurs de probabilité obtenues sont souvent considérées comme fausses.
Dans le passé, dans les cours de mathématiques, on rencontrait ce qu'on appelle des problèmes d'application. Les problèmes, vous comprenez, après avoir écrit des formules mathématiques, c'est de résoudre les mathématiques.
Dans le film Final 21 (titre anglais: 21), le professeur de mathématiques pose une question en classe. Il y a trois portes, dont une porte pour la voiture et deux pour la chèvre.
Oui, parce que mes chances d'obtenir la voiture passeront de 33,33% à 66,67% en passant de la porte 1 à la porte 3.
Le professeur a répondu: "Very good!" et a dit: "Je suis d'accord avec lui, c'est à changer".
La façon la plus correcte de le dire serait que si le présentateur savait à l'avance que la voiture était derrière cette porte, il ouvrirait une porte après la porte de la chèvre (c'est une méthode plus raisonnable, sinon le jeu ne se déroulerait pas) alors si on choisit la troisième porte, comme le dit l'étudiant du film, la probabilité d'obtenir la voiture augmentera de 1/3 à 2/3; mais si le présentateur ne sait pas à l'avance que la voiture est derrière cette première porte (ce qui est bien sûr rare), il choisira au hasard une porte après la deuxième et la troisième porte, et juste après la porte, la chèvre, alors il n'y a pas besoin de changer, de changer ou non, la probabilité d'obtenir la voiture est de 1/2).
Mais le lecteur a peut-être remarqué que, dans le cas où le présentateur savait à l'avance que la voiture était derrière cette porte, nous avons en fait fait fait une hypothèse. C'est-à-dire que si les 2e et 3e portes sont toutes des chèvres, le présentateur ouvre la 2e ou la 3e porte au hasard (c'est-à-dire à une probabilité de 1/2 chacun). En fait, il peut y avoir une hypothèse plus générale.
Prenons un autre exemple: un couple qui vient d'emménager dans un quartier et dont on sait seulement qu'ils ont deux enfants, sans connaître le sexe. Un jour, l'administrateur de la communauté voit une souris qui joue avec un enfant dans la maison. Si l'enfant est une fille, la probabilité est que les deux enfants soient des filles. Beaucoup de gens pensent que ce n'est pas un problème difficile.
Enfin, voir un autre exemple qui apparaît souvent dans les manuels de théorie des probabilités. Il y a un cercle unitaire sur le plan, dessinez une corde au hasard, la probabilité de la longueur des côtés d'un triangle est plus grande que la longueur des côtés de l'intersection de ce cercle. Utilisez la géométrie, l'intersection des unités du cercle et la longueur des côtés du triangle.
Les exemples ci-dessus nous montrent que la situation doit être clairement définie lorsque l'on traite des problèmes de probabilité. En termes de termes, l'espace de probabilité doit être clairement donné, sinon cela conduira à des divergences. Parfois, bien qu'il n'y ait pas d'espace de probabilité, la situation est plus simple, tout le monde a un point de vue commun, pourquoi l'espace de probabilité n'est pas particulièrement souligné, ce n'est pas un problème.
En plus de l'interprétation contextuelle, certains concepts uniques de la probabilité, tels que la probabilité conditionnelle, l'indépendance et l'échantillonnage aléatoire, doivent également être pris en compte lors de l'application de la probabilité.