بیزس: احتمال کو حل کرنے کا راز، فیصلوں کے پیچھے ریاضی کی حکمت کی تلاش

بیزوس کی شماریات ریاضی کے میدان میں ایک مضبوط یونیورسٹی ڈگری ہے، جس میں بہت سے شعبوں میں وسیع پیمانے پر ایپلی کیشنز شامل ہیں، بشمول فنانس، طبی تحقیق اور انفارمیشن ٹیکنالوجی؛ یہ ہمیں پچھلے عقائد کو ثبوت کے ساتھ مل کر نئے عقائد کو نکالنے کی اجازت دیتا ہے، جس سے ہمیں زیادہ سمجھدار فیصلے کرنے میں مدد ملتی ہے۔

اس مضمون میں ہم اس شعبے کے بانیوں میں سے کچھ اہم ریاضی دانوں کو مختصر طور پر پیش کریں گے۔

بیزس سے پہلے بیئٹز کی شماریات کو بہتر طور پر سمجھنے کے لئے ہمیں 18 ویں صدی میں واپس جانا ہوگا اور ریاضی دان ڈی موئیر اور اس کے مقالے پر رجوع کرنا ہوگا.

اپنے مقالے میں ، ڈی موئیر نے اپنے دور کے امکانات اور جوا سے متعلق بہت سے مسائل حل کیے۔ جیسا کہ آپ کو معلوم ہوگا ، ان کے ایک مسئلے کے حل سے عام تقسیم کی ابتدا ہوئی ، لیکن یہ ایک اور کہانی ہے۔

ان کے مقالے میں ایک آسان ترین سوال ہے:

آپ کو تین بار لگاتار ایک منصفانہ سکوں کا استعمال کرتے ہوئے تین مثبت امکانات ملتے ہیں۔

مشکلات کو پڑھنے کے بعد آپ کو معلوم ہو گا کہ ان میں سے زیادہ تر سوالات ایک مفروضے سے شروع ہوتے ہیں اور اس کے بعد کسی واقعے کے امکانات کا حساب لگاتے ہیں۔ مثال کے طور پر ، مندرجہ بالا مسئلے میں ایک مفروضہ ہے کہ سکے منصفانہ ہیں اور اس وجہ سے ایک مثبت موقع حاصل کرنے کا امکان 0.5 ہے۔

یہ آج ریاضی کی اصطلاح میں بیان کیا جاتا ہے:

𝑃(𝑋|𝜃)

لیکن کیا ہوگا اگر ہم نہیں جانتے کہ یہ سکے منصفانہ ہیں؟𝜃کیا؟

تھامس بیز اور رچرڈ پریس

تقریباً پچاس سال بعد ، 1763 میں ، ایک مسئلہ پر ایک مقالہ ، جس کا نام ہے "پیدلوں کے حل کے اصول میں مسائل کا حل" [2] ، رائل سوسائٹی آف لندن کے پیدلوں کے فلسفیانہ تبادلوں کے پیدلوں میں شائع ہوا۔

دستاویز کے پہلے چند صفحات میں ریاضی دان رچرڈ پرائس کی طرف سے لکھا گیا ایک متن ہے جو اس کے دوست تھامس بیز کے مرنے سے چند سال قبل لکھے گئے کاغذات کا خلاصہ کرتا ہے۔ اس کے تعارف میں پرائس نے تھامس بیز کی طرف سے کی جانے والی کچھ دریافتوں کی اہمیت کی وضاحت کی ہے جو ڈی موئیر کے موقع کی اصول میں شامل نہیں ہیں۔

اس کے علاوہ ، اس نے ایک خاص سوال کی نشاندہی کی:

ایک نامعلوم واقعہ کے واقع ہونے اور ناکام ہونے کی تعداد کے بارے میں معلوم ہونے کے بعد ، اس کے واقع ہونے کا امکان کسی بھی دو نامزد ہونے والے امکانات کے درمیان ہے۔

دوسرے لفظوں میں، ہم ایک واقعہ کا مشاہدہ کرنے کے بعد نامعلوم پیرامیٹرز تلاش کرتے ہیں.θدو احتمالات کے درمیان کیا امکان ہے۔ یہ دراصل تاریخ میں شماریاتی نتیجہ اخذ کرنے سے متعلق پہلے سوالات میں سے ایک ہے اور اس نے الٹا امکان کا نام دیا ہے۔ ریاضی کی اصطلاح میں:

𝑃( 𝜃 | 𝑋）

یہ یقیناً پس منظر کی تقسیم ہے جسے آج ہم بیزس تھیوری کہتے ہیں۔

بے سبب وجوہات

ان کا کہنا تھا کہ 'ہمیں ان کے بارے میں بہت کچھ پتہ ہے'۔توماس بیزاوررچرڈ پرائسلیکن اس کے لیے ہمیں عارضی طور پر شماریات کے بارے میں کچھ جاننے کی ضرورت ہے۔

ہم 18 ویں صدی میں ہیں اور امکانات ریاضی دانوں کی بڑھتی ہوئی دلچسپی کا شعبہ بن رہے ہیں۔ ریاضی دانوں جیسے ڈیموور یا برنولی نے دکھایا ہے کہ کچھ واقعات کسی حد تک بے ترتیب ہوتے ہیں ، لیکن پھر بھی مقررہ قوانین کے زیر انتظام ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر ، اگر آپ نے متعدد بار ڈاک لگائی ہے تو ، ایک چھٹا وقت چھٹے پر رک جاتا ہے۔ یہ ایسا ہی ہے جیسے کوئی پوشیدہ اصول موقع کی قسمت کا تعین کرتا ہے۔

اب ذرا تصور کریں کہ آپ اس زمانے میں ایک ریاضی دان اور مذہبی عقیدے دار ہیں۔ آپ کو شاید اس خفیہ اصول کے بارے میں جاننے میں دلچسپی ہوگی۔

یہ واقعی میں وہ سوال ہے جو بائیز اور پرائس نے خود پوچھا تھا۔ وہ چاہتے ہیں کہ اس مسئلے کا حل براہ راست اس بات کا ثبوت دینے کے لئے لاگو کیا جائے کہ عالم ارض کا نتیجہ عقل اور ذہانت کا ہونا ضروری ہے۔ لہذا ، خدا کی موجودگی کے لئے حتمی وجہ سے ثبوت فراہم کرنا۔ [2] - یعنی ، بغیر کسی وجہ کی وجہ۔

لاپراس

حیرت انگیز طور پر ، تقریبا two دو سال بعد ، 1774 میں ، واضح طور پر توماس بیز کے ایک مضمون کو نہیں پڑھا تھا ، فرانسیسی ریاضی دان لپراس نے ایک مضمون لکھا تھا جس کا نام تھا ایک متعلقہ واقعہ کی وجہ کو واقعات کے امکانات کے ذریعہ پیدا کرنا۔[3] یہ ایک مضمون ہے جو الٹا امکانات کے مسئلے پر ہے۔ پہلے صفحے پر آپ پڑھ سکتے ہیں:

بنیادی اصول:

اگر ایک واقعہ n مختلف وجوہات کی وجہ سے ہوسکتا ہے تو ، دیئے گئے واقعات کی ان وجوہات کے امکانات کا تناسب ایک دوسرے کے ساتھ برابر ہے ، جبکہ ان وجوہات میں سے ہر ایک کے وجود کا امکان ، دیئے گئے واقعات کی وجوہات کے امکانات کے علاوہ ، ان وجوہات میں سے ہر ایک کے واقعات کے امکانات کا مجموعہ ہے۔

یہ وہی ہے جو ہم آج جانتے ہیں Bayesian Theorem:

​

ان میں سےP(θ)یہ ایک مساوی تقسیم ہے۔

سکوں کا تجربہ

ہم بائیوس کے اعدادوشمار کو اب تک لے کر جا رہے ہیں اور ایک سادہ تجربہ کر رہے ہیں جو ہم پائیون اور PyMC لائبریری کا استعمال کرتے ہوئے کر رہے ہیں۔

فرض کریں کہ ایک دوست آپ کو ایک سکہ دیتا ہے اور آپ سے پوچھتا ہے کہ کیا آپ کو لگتا ہے کہ یہ ایک منصفانہ سکہ ہے۔ چونکہ وہ جلدی میں ہے ، اس نے آپ کو بتایا کہ آپ صرف 10 سکے پھینک سکتے ہیں۔ جیسا کہ آپ دیکھ سکتے ہیں ، اس مسئلے میں ایک نامعلوم پیرامیٹر ہے۔pاور ہم اس کا اندازہ لگانا چاہتے ہیں کہ اس کا کیا امکان ہے کہ ہم ایک سکوں پھینک کر مثبت نمبر حاصل کریں گے۔pاس کا سب سے زیادہ ممکنہ قدر ہے۔

(نوٹ: ہم پیرامیٹرز کے بارے میں بات نہیں کر رہے ہیں)pیہ ایک بے ترتیب متغیر ہے، لیکن یہ پیرامیٹر فکسڈ ہے، اور ہم یہ جاننا چاہتے ہیں کہ یہ سب سے زیادہ امکان ہے کہ اس کے درمیان کیا ہے.))

اس مسئلے کے بارے میں مختلف خیالات کے ل we ، ہم اسے دو مختلف عقائد کے تحت حل کریں گے:

• 1، آپ کو پہلے سے کوئی معلومات نہیں ہے کہ سکوں کی منصفانہ ہے، اور آپ کو برابر امکانات ہیں.pاس صورت میں، ہم نام نہاد غیر معلوماتی سابقہ استعمال کریں گے، کیونکہ آپ نے اپنے عقائد میں کوئی معلومات شامل نہیں کی ہیں۔

• 2، آپ تجربے سے جانتے ہیں کہ اگرچہ سکوں غیر منصفانہ ہو سکتا ہے، یہ بہت غیر منصفانہ بنانے کے لئے مشکل ہے، لہذا آپ کو لگتا ہے کہ پیرامیٹرزpشاید 0.3 سے کم یا 0.7 سے زیادہ نہیں ہے۔ اس صورت میں ہم ایک انفارمیشن پریفیکٹ استعمال کریں گے۔

ان دونوں صورتوں میں، ہمارے پیش گوئی کے عقیدے یہ ہیں:

اگر آپ کو 10 بار سکوں پھینکنے کے بعد دو بار مثبت نتائج ملتے ہیں۔ اس ثبوت کے ساتھ ، ہم اپنے پیرامیٹرز کو تلاش کرنے کے امکانات کہاں ہیں؟p？

اور آپ دیکھ سکتے ہیں کہ پہلی صورت میں ہم نے اس کے بارے میں بات کی تھی.pاس کے علاوہ، یہ بھی کہا جاتا ہے کہ اس کے علاوہ، یہ بھی کہا جاتا ہے کہ اس کے علاوہ، یہ بھی کہا جاتا ہےp=0.2، جو کہ فریکوئینسی سکول کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے اسی طرح کا طریقہ ہے۔ حقیقی نامعلوم پیرامیٹرز 95 فیصد اعتماد کے فاصلے میں ہوں گے، 0.04 اور 0.48 کے درمیان۔

دوسری طرف، ایک اعلی اعتماد کے ساتھ سمجھا جاتا ہے کہ پیرامیٹرpاگر یہ 0.3 اور 0.7 کے درمیان ہونا چاہئے تو ، ہم پس منظر کی تقسیم کو 0.4 کے ارد گرد دیکھ سکتے ہیں ، جو ہمارے ایم ایل ای کی طرف سے دی گئی قیمت سے بہت زیادہ ہے۔ اس صورت میں ، حقیقی نامعلوم پیرامیٹر 95٪ اعتماد کی حد میں ہوگا ، 0.23 اور 0.57 کے درمیان۔

لہذا ، پہلی صورت میں ، آپ اپنے دوست کو بتائیں گے کہ آپ کو یقین ہے کہ یہ سکے منصفانہ نہیں ہیں۔ لیکن دوسری صورت میں ، آپ اسے بتائیں گے کہ آپ کو یقین نہیں ہے کہ یہ سکے منصفانہ ہیں۔

جیسا کہ آپ دیکھ سکتے ہیں، یہاں تک کہ جب ایک ہی ثبوت موجود ہوتا ہے (دس میں سے دو مثبت ہوتے ہیں) ، نتائج مختلف پیشگی عقائد کے تحت مختلف ہوتے ہیں۔ یہ بییوسٹاسٹیٹکس کا ایک فائدہ ہے، جو سائنسی طریقہ کار کی طرح ہے، جو ہمیں اپنے عقائد کو اپ ڈیٹ کرنے کی اجازت دیتا ہے، پیشگی عقائد کو نئے مشاہدات اور شواہد کے ساتھ جوڑ کر۔

اختتام

آج کے مضمون میں ہم بائیئٹس کی شماریات کی ابتدا اور اس کے اہم معاونین کو دیکھیں گے۔ اس کے بعد سے شماریات کے شعبے میں بہت سے دوسرے اہم معاونین (جیفریز ، کوکس ، شینن وغیرہ) ہیں ، جن میں سے کچھ کے بارے میں آپ کو جاننے کی ضرورت ہے۔转载自quantdare.com。