L'appareil qui contrôle la position de la formule de Kelly

L'appareil qui contrôle la position de la formule de Kelly

** Supposons qu'un pari soit joué: la probabilité de gagner est de 60%, la probabilité de perdre est de 40% ; le taux de rendement net est de 100% et le taux de perte est de 100% ; c'est-à-dire que si vous gagnez, vous pouvez gagner 1 $ pour chaque mise, et si vous perdez, vous perdrez 1 $ pour chaque mise.

• Pour cette impasse, le rendement attendu de chaque mise est de 60% * 1-40% * 1 = 20%, le rendement attendu est positif.

  Alors, comment devrions-nous parier?

  Si on ne réfléchit pas sérieusement, si on s'imagine grossièrement, on pourrait penser que, puisque j'attends un rendement de 20% par pari, pour obtenir le meilleur rendement à long terme, je devrais essayer de mettre le plus grand pourcentage possible de capital dans chaque pari.

  Mais il est évident qu'il n'est pas raisonnable de mettre 100% de son capital dans chaque partie de jeu, car une fois que le joueur perd, tout son capital est perdu, il ne peut plus participer au prochain tour et ne peut quitter le terrain.

  On peut donc en conclure que, tant qu'il y a une impasse, la possibilité de perdre tout le capital à la fois, même si elle est très faible, ne peut jamais être pleine. Parce qu'à long terme, un événement de faible probabilité est inévitable, et que dans la vie réelle, la probabilité réelle d'un événement de faible probabilité est beaucoup plus grande que sa probabilité théorique. C'est l'effet de serre en finance.

• 2°, poursuite vers l'impasse 1°. Puisque 100% de chaque mise n'est pas raisonnable, que dire de 99%? Si vous pariez 99% à chaque fois, vous serez non seulement assuré de ne jamais faire faillite, mais avec un peu de chance, vous pourrez peut-être réaliser de gros gains.

  Mais est-ce vraiment comme ça que cela se passe?

  Au lieu d'analyser le problème en théorie, nous pouvons faire une expérience. Nous simulons l'impasse et nous faisons un pari de 99% à chaque fois pour voir ce qui se passe.

  L'expérience d'analyses est très simple et peut être réalisée avec Excel.

  Figure 1

  Comme illustré ci-dessus, la première colonne indique le nombre de tours. La deuxième colonne est celle des victoires et des défaites. Excel produit 1 avec une probabilité de 60%, soit une probabilité de 60% pour un rendement net de 1,40% pour un rendement net de -1, soit une probabilité de 40% pour un rendement net de -1. La troisième colonne est celle de tous les fonds des joueurs à la fin de chaque tour.

  Comme vous pouvez le voir sur le graphique, après avoir joué 10 tours, vous avez gagné 8 tours sur 10, avec une probabilité encore plus grande que 60%, et vous n'avez perdu que deux fois.

  Quand j'ai augmenté le nombre d'expériences pour les multiplier par 1000, 2000, 3000... le résultat est évident: le montant final de l'argent est essentiellement nul.

  Puisque 99% ne fonctionne pas, nous allons essayer d'autres proportions et voir le graphique ci-dessous: On peut voir dans le graphique que lorsque l'on réduit progressivement la position, de 99%, à 90%, 80%, 70 ou 60%, le résultat des mêmes 10 tours est complètement différent. On peut voir dans le graphique que l'argent augmente progressivement après 10 tours au fur et à mesure que la position diminue.

  Si vous regardez ici, vous découvrirez que le problème de l'impasse n'est pas si simple. Même si les pirates ont une telle avance sur l'impasse, il n'est pas toujours facile de gagner de l'argent.

  Alors, comment parier pour maximiser les gains à long terme?

  Est-il préférable d'avoir un ratio plus petit, comme le montre le graphique ci-dessus?

  Alors, quelle est cette proportion optimale?

  C'est le fameux problème de la formule de Kelly!

  Figure 2

  où f est le ratio de mise optimal; p est la probabilité de gagner; rw est le taux de gain net au moment de gagner, par exemple, rw = 1 dans un blocage 1; rl est le taux de perte net au moment de perdre, par exemple, rl = 1 dans un blocage 1; notez que rl > 0;

  Selon la formule de Kelly, on peut calculer que le taux de mise le plus élevé dans le blocage 1 est de 20%.

  Nous pouvons faire une expérience pour approfondir notre compréhension de cette conclusion.

  Figure 3

  Dans le diagramme, nous avons des positions de 10%, 15%, 20%, 30%, 40% respectivement. Leurs colonnes correspondantes sont D, E, F, G, H.

  Quand j'ai transformé le nombre d'expériences en 3000 fois, j'ai vu que le nombre de répétitions était très élevé. Quand j'ai transformé le nombre d'expériences en 5000 fois, j'ai vu que le nombre de fois où j'ai fait des expériences était très élevé. Vous pouvez voir que la colonne F correspond au résultat le plus grand, et que la racine n'est pas une échelle numérique par rapport aux autres colonnes.

  Vous voyez la puissance de la formule de Kelly. Dans l'expérience ci-dessus, si vous choisissez malheureusement un ratio de 40%, c'est-à-dire la colonne H, alors après 5000 paris, votre capital passe de 100 à 22799985.75, un gain énorme. Mais cela équivaut à ne pas gagner d'argent par rapport à un résultat de 20%.

  C'est le pouvoir de la connaissance!

• La formule de Kelly est comprise.

  La déduction mathématique des formules de Kelly et sa complexité nécessitent des connaissances mathématiques très profondes, il n'y a donc pas de sens à discuter ici. Je vais ici approfondir votre compréhension subjective des formules de Kelly à travers quelques expériences.

  Revenons à un autre cas d'impasse. Cas d'impasse 2: la probabilité de gagner et de perdre est de 50%, par exemple, jeter une pièce. Le taux de rendement net est de 1, donc rw = 1, et le taux de perte net est de 0,5, donc rl = 0,5.

  Il est facile de voir que le gain attendu de l'impasse 2 est de 0.25, une autre impasse où les pirates ont un énorme avantage.

  Selon la formule de Kelly, nous pouvons obtenir le meilleur ratio de paris par tour:

  Figure 4

  C'est-à-dire que chaque fois que vous prenez la moitié de l'argent et que vous le pariez, vous obtenez le plus de bénéfices à long terme.

  Je vais essayer d'expliquer ici la notion de taux de croissance moyen r.

  Pour commencer, jetons un coup d'œil à l'expérience 2.1, voici les deux graphiques:

  Figure 5

  Les deux graphiques sont des expériences de simulation de l'impasse 2, dans la deuxième colonne, la probabilité d'une victoire de 50% est de 1, ce qui représente un profit de 100%; la probabilité de 50% est de -0.5, ce qui représente un perte de 50%; la troisième et quatrième colonne sont les fonds détenus après chaque impasse des positions à 100% et 50% respectivement.

  Une comparaison minutieuse des deux diagrammes permet de conclure qu'après un même nombre de tours, le résultat final est lié uniquement au nombre de tours gagnés et de tours perdus dans ces tours, et non à l'ordre des tours gagnés et perdus dans ces tours. Par exemple, dans les deux diagrammes ci-dessus, 4 tours ont été effectués, de même dans chaque diagramme, les deux tours gagnés ont perdu deux tours, mais l'ordre de victoire du premier diagramme est de gagner ou de perdre, et l'ordre de victoire du second diagramme est de gagner ou de perdre. Le résultat final est le même.

  Bien sûr, cette conclusion est très facile à prouver (la règle de substitution par la multiplication, les élèves du primaire le feront), mais cela ne prouve pas que les deux exemples ci-dessus sont suffisamment bien compris.

  Donc, puisque le résultat final n'a rien à voir avec l'ordre des victoires et défaites, supposons que l'impasse 2 continue comme l'expérience 2.2.

  Figure 6

  Nous supposons que la victoire de l'impasse se déroule en alternance, ce qui n'a pas d'effet sur le résultat financier à long terme, en raison de la conclusion n ° 1.

  Avant d'observer l'image nous faisons une définition. Supposons que l'ensemble d'une impasse de plusieurs tours soit considéré comme un ensemble dans lequel la fréquence des résultats est exactement égale à sa probabilité, et que l'ensemble de l'ensemble soit le plus petit nombre de tours dans l'ensemble où toutes les conditions sont remplies, alors nous appelons l'ensemble un ensemble d'impasses. Par exemple, dans l'expérience ci-dessus, un ensemble d'impasses représente un ensemble de deux tours dans lequel on gagne et on perd.

  Regardez attentivement les chiffres marqués en bleu dans le graphique ci-dessus, ils sont à la fin d'une série d'échecs. Vous verrez que ces chiffres sont en croissance constante. Lorsque les positions sont à 100%, les chiffres marqués en bleu ont une croissance de 0%, c'est-à-dire une croissance de 0% du capital après une série d'échecs.

  Il s'agit d'une loi universelle selon laquelle le taux de croissance après chaque groupe de blocage est lié à la position; et plus le taux de croissance après chaque groupe de blocage est élevé, plus les gains finaux sont élevés à long terme.

  On peut calculer le taux de croissance moyen de chaque blocage en fonction du taux de croissance de chaque blocage g. Dans le graphique ci-dessus, si chaque blocage contient deux blocs, alors le taux de croissance moyen de chaque blocage est g.

  Figure 7

  Dans le long terme, pour maximiser la croissance du capital, il suffit de maximiser r, c'est-à-dire de maximiser g. Le ratio de mise optimal f est en fait obtenu en solvant max ((g)).

• 4, les formules de Kelly et d'autres conclusions sur le risque

La légende de Kelly

La formule de Kelly a été créée par le physicien John Larry Kelly d'AT&T Bell Laboratories sur la base des recherches de son collègue Claude Elwood Shannon sur les communications téléphoniques à longue distance. Kelly a résolu le problème de l'application de la théorie de l'information de Shannon à un joueur ayant des informations internes au moment du pari. Le joueur souhaite déterminer le meilleur montant de pari, et ses informations internes n'ont pas besoin d'être parfaites (pas d'informations) pour lui donner un avantage utile. Soup utilise le surplus de travail, après des mois de calculs difficiles, pour écrire un article mathématique intitulé "Le jeu de la stratégie d'optimisation de 21 points". Il utilise ses connaissances pour attaquer tous les casinos de Reno, Nevada, en une nuit, et réussit à gagner des centaines de milliers de dollars à partir de la table de 21 points. Il est également le père des hedge funds quantifiés de Wall Street et a créé le premier hedge fund quantifié dans les années 70.

L'utilisation de la perspective

Comment utiliser la formule Kelly pour gagner de l'argent dans la vie réelle? Il s'agit de créer une impasse qui réponde aux conditions d'utilisation de la formule de Kelly. J'ai récemment fait des recherches sur les systèmes de négociation et je me suis demandé ce qui est le plus important pour un bon système de négociation: un rendement attendu représente 10% de l'importance des bonnes règles de négociation, alors qu'une bonne méthode de contrôle des fonds représente 40% de l'importance, et les 50% restants sont le contrôle psychologique des gens. La formule de Kelly est l'outil qui m'aide à contrôler mes positions financières. Par exemple, un système de négociation d'actions que j'ai étudié précédemment, où les transactions sont effectuées une fois par semaine, avec une probabilité de réussite de 0,8 et une probabilité de défaillance de 0,2; lorsque vous réussissez, vous gagnez 3% (déduction de la commission, de la taxe d'impression), et vous perdez 5% à chaque défaillance. Avant de connaître la formule de Kelly, j'étais un homme aveugle à la bourse, et je ne savais pas si le positionnement était correct ou faux. Après avoir utilisé la formule de Kelly, la position optimale à calculer devrait être de 9,33, c'est-à-dire que si vous voulez obtenir le taux de croissance du capital le plus rapide si vous voulez un taux d'intérêt de 0 pour le prêt, vous devez calculer la formule pour obtenir un taux de croissance moyen de la bourse par transaction d'environ 7,44%, alors que le taux de croissance moyen de la bourse de la bourse est d'environ 1,35 (c'est-à-dire un rendement attendu). Bien sûr, la formule de Kelly ne peut pas être aussi simple dans l'application pratique, et il y a beaucoup de difficultés à surmonter. Par exemple, le coût du capital nécessaire pour un échange d'effet de levier, par exemple, que les fonds ne sont pas infiniment divisible dans la réalité, par exemple, que les marchés financiers ne sont pas aussi simples que la simple impasse mentionnée ci-dessus. La formule de Kelly nous montre le chemin à suivre.